লেভিন হ্রাসের মতো করপ হ্রাস কি সমান

সংজ্ঞা: কার্প হ্রাস

একটি ভাষা একটি ভাষা কার্প হ্রাসযোগ্য হয় যদি একটি বহুবর্ষীয় সময়ের গণনীয় ফাংশন থাকে তবে যেমন প্রতিটি , যদি এবং কেবলমাত্র । $A$ $B$ $f:\{0,1\}^*\rightarrow\{0,1\}^*$ $x$ $x\in A$ $f(x)\in B$

সংজ্ঞা: লেভিন হ্রাস

সার্চ সমস্যা লেভিন একটি সার্চ সমস্যা রূপান্তরযোগ্য হয় আছে যদি বহুপদী সময় ফাংশন যে Karp হ্রাস থেকে এবং বহুপদী টাইম গণনীয় ফাংশন আছে এবং যেমন যে $V_A$ $V_B$ $f$ $L(V_A)$ $L(V_B)$ $g$ $h$

$\langle x, y \rangle \in V_A \implies \langle f(x), g(x,y) \rangle \in V_B$ ,
$\langle f(x), z \rangle \in V_B \implies \langle x, h(x,z) \rangle \in V_A$

এই হ্রাস কি সমতুল্য?

আমি মনে করি দুটি সংজ্ঞা সমান। কোন দুটি জন্য ভাষায় এবং , যদি থেকে Karp রূপান্তরযোগ্য হয় , তারপর থেকে রূপান্তরযোগ্য লেভিন হয় । $\mathsf{NP}$ $A$ $B$ $A$ $B$ $A$ $B$

আমার প্রমাণ এখানে:

যাক এবং স্বেচ্ছাচারী দৃষ্টান্ত হতে যখন হতে যে । ধরুন এবং এবং এর যাচাইকারী । যাক এবং স্বেচ্ছাচারী সার্টিফিকেট হতে এবং অনুযায়ী । অনুসারে হওয়া যাক । $x$ $\overline{x}$ $A$ $x'$ $B$ $V_A$ $V_B$ $A$ $B$ $y$ $\overline{y}$ $x$ $\overline{x}$ $V_A$ $z$ $x'$ $V_B$

নতুন যাচাইকারীতে আঁকো এবং নতুন সার্টিফিকেট সঙ্গে এবং : $V'_A$ $V'_B$ $y'$ $z'$

$V'_A(x,y'):$

$y'=\langle 0,\overline{x},\overline{y}\rangle$ : যদি , প্রত্যাখ্যান করুন। অন্যথায় আউটপুট । $f(x)\ne f(\overline{x})$ $V_A(\overline{x},\overline{y})$
$y'=\langle 1,z\rangle$ : আউটপুট । $V_B(f(x),z)$

$V'_B(x',z'):$

$z'=\langle 0,z\rangle$ : আউটপুট । $V_B(x',z)$
$z'=\langle 1,x,y\rangle$ : যদি , প্রত্যাখ্যান করুন। অন্যথায় আউটপুট । $x'\ne f(x)$ $V_A(x,y)$

বহুপদী টাইম গণনীয় ফাংশন এবং নিচে হিসাবে সংজ্ঞায়িত করা হয়: $g$ $h$

$g(x,y')$

$y'=\langle 0,\overline{x},\overline{y}\rangle$ : আউটপুট । $\langle 1,\overline{x},\overline{y}\rangle$
$y'=\langle 1,z\rangle$ : আউটপুট । $\langle 0,z\rangle$

$h(x',z')$

$z'=\langle 0,z\rangle$ : আউটপুট । $\langle 1,z\rangle$
$z'=\langle 1,x,y\rangle$ : আউটপুট । $\langle 0,x,y\rangle$

যাক সব সার্টিফিকেট সেট হতে অনুযায়ী এবং সব সার্টিফিকেট সেট হতে অনুযায়ী । তারপর সবকটি শংসাপত্র সেট অনুযায়ী হয় যেমন যে , এবং সবকটি শংসাপত্র সেট অনুযায়ী হয় যেমন যে । $Y_x$ $x$ $V_A$ $Z_{x'}$ $x'$ $V_B$ $x$ $V'_A$ $0\overline{x}Y_\overline{x}+1Z_{f(x)}$ $f(x)=f(\overline{x})$ $x'$ $V'_B$ $0Z_{x'}+1\overline{x}Y_\overline{x}$ $x'=f(\overline{x})$

(এটি এবং এর ভাষা থেকে উদ্ভূত ।) $V'_A$ $V'_B$

এখন , বাকি অংশটি চেক করা সহজ। $x'=f(x)$

complexity-theory reductions check-my-proof

— সিসি
সূত্র

আপনার দাবি প্রমাণ করার আগে আপনার কোনও ভাষা লেভিনকে অন্যের জন্য হ্রাসযোগ্য বলে এর অর্থ নির্ধারণ করা উচিত।

— সোসোশি ইতো

উত্তর:

না First প্রথম দ্রষ্টব্য যে লেভিন হ্রাস কেবলমাত্র ক্লাসগুলির ক্ষেত্রেই বোঝা যায় যা শংসাপত্রের একটি অর্থ রয়েছে, যেমন এবং কার্প হ্রাস সাধারণ। কোনও সমস্যার জন্য "শংসাপত্র" শব্দটি তখনই বোধগম্য হয় যখন একটি যাচাইকারী স্থির হয়। লেভিনের হ্রাস অনুমান করে যে যাচাইকারীদের ঠিক করা আছে। আপনি যাচাইকারীদের পরিবর্তন করতে পারবেন না। (নীচে আমি ধরে নিয়েছি যে লেভিন হ্রাসের সংজ্ঞা অনুসারে শংসাপত্রের যাচাইকারীগুলি ঠিক করা হয়েছে)) $\mathsf{NP}$

দ্বিতীয়ত, লেভিন কমানোর অর্থ হল যে একজনের জন্য অন্যের শংসাপত্রের জন্য শংসাপত্রটি সন্ধান করা যায়। এটি সত্য যে প্রাকৃতিক সমস্যার মধ্যে সুপরিচিত কার্প হ্রাস লেভিন হ্রাস হিসাবে দেখা দেয় তবে এটি সাধারণভাবে সত্য হওয়া দরকার না।

আমরা একটি সমস্যা দৃষ্টান্ত কমাতে পারেন, তাহলে সমস্যা এর অর্থ এই নয় আমরা অন্যান্য জন্য একটি শংসাপত্রের থেকে এক জন্য একটি শংসাপত্রের কম্পিউটিং একটি উপায় আছে। $A$ $B$

এটি সত্য হওয়ার জন্য আমাদের এই সত্যটি প্রয়োজন যে সিদ্ধান্তের সাথে সম্পর্কিত একটি শংসাপত্র অনুসন্ধানের সমস্যাটি সিদ্ধান্ত সমস্যার সাথে বহুপদী সময় হ্রাসযোগ্য। এটি সমস্যার ক্ষেত্রে সত্য তবে সাধারণভাবে এমনকি । সমস্যার ক্ষেত্রেও এটি সত্য নয় বলে জানা যায় । $\mathsf{NP\text{-}complete}$ $\mathsf{NP}$

— Kaveh
সূত্র

আমি আপনার প্রথম বক্তব্যের সাথে একমত যে কার্প হ্রাসের চেয়ে কার্প হ্রাস বেশি সাধারণ। এটা মতে, আমি মনে করি আমার সমস্যা হিসেবে রুপান্তরিত করা উচিত "আসুন এবং মধ্যে দুই ভাষার হতে । যদি করার Karp রূপান্তরযোগ্য হয় , তারপর করার রূপান্তরযোগ্য লেভিন হয় ।" তবে আমি আপনার অন্যান্য মন্তব্যে একমত নই।

L_{1}

$L_1$

L_{2}

$L_2$

N P

$NP$

L_{1}

$L_1$

L_{2}

$L_2$

L_{1}

$L_1$

L_{2}

$L_2$

— সিসি

আমার প্রমাণ, প্রথম দিন এবং নির্বিচারে যেমন দুই ভাষার হও। যেহেতু তারা , তাই পি টি এম এবং এম । এ প্রতিটি দৃষ্টান্তের জন্য , সমস্ত শংসাপত্রের সেট জন্য । একইভাবে, আমরা সংজ্ঞায়িত জন্য । যেহেতু করার Karp রূপান্তরযোগ্য হয় , এমন হয় হিসাবে সংজ্ঞায়িত করা।

L_{1}

$L_1$

L_{2}

$L_2$

N P

$NP$

M_{1}

$M_1$

M_{2}

$M_2$

x \in L_{1}

$x\in L_1$

Y_{x}

$Y_x$

T M_{1}

$TM_1$

Z_{x^{'}}

$Z_{x'}$

x^{'} \in L_{2}

$x'\in L_2$

L_{1}

$L_1$

L_{2}

$L_2$

f

$f$

— সিসি

এখন, আমরা নতুন এবং । প্রতিটি ক্ষেত্রে , সমস্ত শংসাপত্রের নতুন সেট , যখন প্রতিটি উদাহরণে , সমস্ত শংসাপত্রের নতুন সেট । (এখানে আমরা নিয়মিত এক্সপ্রেশন ব্যবহার করি) এগুলি এবং জন্য আইনী এবং সমস্ত শংসাপত্র । উপায় দ্বারা, সেখানে পি ফাংশন হয় এবং হিসাবে সংজ্ঞায়িত করা এক সমস্যা থেকে অন্য সব সম্ভব শংসাপত্র রুপান্তর।

M_{1}^{'}

$M_1'$

M_{2}^{'}

$M_2'$

x \in L_{1}

$x\in L_1$

0 Y_{x} + 1 Z_{f (x)}

$0Y_x+1Z_{f(x)}$

f (x) \in L_{2}

$f(x)\in L_2$

0 Z_{f (x)} + 1 x Y_{x}

$0Z_{f(x)}+1xY_x$

M_{1}^{'}

$M_1'$

M_{2}^{'}

$M_2'$

g

$g$

h

$h$

— সিসি

PS: আমরা থেকে একটি রূপান্তর দিতে প্রয়োজন হবে না যেখানে আছে যেমন যে , যেহেতু Karp ও লেভিন কমানোর এক ম্যাপিং উভয় অনেক। আমি মনে করি এটি দ্বিতীয় শেষ অনুচ্ছেদের উত্তর দিতে পারে।

x^{'} \in L_{2}

$x'\in L_2$

x \in L_{1}

$x\in L_1$

x^{'} = f (x)

$x'=f(x)$

— সিসি

@ সিসি, মনে হয় আপনি এখনও মনে করেন যে আপনি যাচাইকারীদের পরিবর্তন করতে পারবেন, আপনি পারবেন না, লেভিন হ্রাসের সংজ্ঞাটি অনুসন্ধান সমস্যার জন্য, অর্থাৎ যাচাইকারীদের ঠিক করা আছে।

— কাভেঃ

তোমাদের প্রমাণ জন্য একটি দ্রুত counterexample: যে অনুমান করা , , এবং জন্য একটি বৈধ শংসাপত্র কিন্তু না $x_1, x_2 \in L_1$ $f(x_1) = f(x_2) \in L_2$ $w$ $x_1$ $x_2$

$M_1'(x_1,\langle 0,w \rangle)= M_1(x_1,w)=1$

$M_1'(x_2,\langle 0,w \rangle)= M_1(x_2,w)=0$

সংজ্ঞা অনুসারে $g(x_1,\langle 0,w \rangle) = \langle 1,x_1,w \rangle$

$f(x_1)=f(x_2)$ তাই তাই হয় জন্য একটি বৈধ শংসাপত্র তবে $M'_2(f(x_2),\langle 1,x_1, w \rangle)) = M_1(x_1,w) = 1$ $\langle 1,x_1, w \rangle$ $f(x_2)$

$h(f(x_2), \langle 1,x_1, w \rangle) = \langle 0, w \rangle$ যা জন্য বৈধ শংসাপত্র নয় $x_2$

— মাস
সূত্র

কাউন্টারেরেক্সাম্পলটি দেখানোর জন্য অনেক ধন্যবাদ। আমি নির্মাণটি পরিবর্তন করেছি এবং আমি মনে করি এটি এখন কার্যকর হয়। আপনি কি দয়া করে এটি দেখতে পারেন?

— সিসি