কোনও এনপি-সম্পূর্ণ সমস্যা থেকে সীমাবদ্ধ পিসিপিতে বহুবর্ষীয় হ্রাস

পাঠ্য বই সর্বত্র ধরে নেওয়া হয়েছে যে বাউন্ডেড পোস্টের চিঠিপত্রের সমস্যাটি এনপি-সম্পূর্ণ ( পুনরাবৃত্তির সাথে অনুমোদিত সূচকগুলির চেয়ে বেশি নয় )। যাইহোক, কোথাও অন্য কোনও এনপি-সম্পূর্ণ সমস্যা থেকে বহুবর্ষ সময় হ্রাস একটি সাধারণ (যেমন একটি আন্ডারগ্রাড বুঝতে পারে এমন কিছু হিসাবে দেখানো হয়নি)। $N$

তবে আমি যে হ্রাসের কথা ভাবতে পারি তা রান-টাইমে এক্সফেনশনাল ( দ্বারা বা সিরিজের আকার অনুসারে)। সম্ভবত এটি প্রদর্শিত হবে যে এটি স্যাট হ্রাসযোগ্য? $N$

complexity-theory np-complete reductions

— জন
সূত্র

উত্তর:

প্রায়শই এনপি-হ্রাসের ক্ষেত্রে যেমন হয় তেমনি অনুরূপ সমস্যাগুলি অনুসন্ধান করাও বোধগম্য । বিশেষত, বিশ্বব্যাপী অবস্থার এনকোড করা শক্ত যেমন পিসিপিতে "কিছু নোড দেখেছেন" (বহুভুতভাবে বহু টাইলস সহ) যা গ্রাফ সমস্যার সাথে সম্পর্কিত, প্যাকিংয়ের সমস্যাগুলির জন্য আমাদের পিসিপিতে অবিচ্ছিন্ন সংখ্যাগুলি এনকোড করতে হবে (তাত্পর্যপূর্ণভাবে বড় উদাহরণ তৈরি করা), এবং শীঘ্রই. সুতরাং, শুধুমাত্র স্থানীয় বিধিনিষেধের একটি স্ট্রিং সমস্যা সবচেয়ে ভাল কাজ করার আশা করা যায়।

সংক্ষিপ্ত সাধারণ অতিপ্রাকৃত সমস্যা সমস্যার সিদ্ধান্ত সংস্করণটি বিবেচনা করুন :

দুটি স্ট্রিং প্রদত্ত সঙ্গে এবং এবং , সিদ্ধান্ত নেন আছে কিনা একটি স্ট্রিং সঙ্গে যেমন যে এবং এর subsequences হয় । $a,b \in \Sigma^+$ $|a|=n$ $|b|=m$ $k \in \mathbb{N}$ $c \in \Sigma^+$ $|c| \leq k$ $a$ $b$ $c$

ধারণা পিসিপি বিল্ড supersequences দিন হয় এবং বাঁ দিক থেকে ডানদিকে, টাইল 'ওভারল্যাপ মধ্যে এনকোডিং যা অবস্থানে আমরা আছি এবং যথাক্রমে। এটি প্রতি চিহ্নের জন্য একটি টাইল ব্যবহার করবে , সুতরাং বিপিসিপির সীমানা অনুসারে: আমরা যদি এই পিসিপিকে টাইলস সহ সমাধান করতে পারি তবে আপনি সমান দৈর্ঘ্যের সাধারণ eদ্ধত্য এবং তার বিপরীতে পড়তে পারেন। $a$ $b$ $a$ $b$ $c$ $k$ $\leq k$

টাইলস নির্মাণ কিছুটা ক্লান্তিকর তবে বেশ পরিষ্কার। মনে রাখবেন যে আমরা এমন টাইলস তৈরি করব না যা বা কে ফরোয়ার্ড করে না ; যেমন কখনও সংক্ষিপ্ত সাধারণ অতিপ্রাকৃতত্বের অংশ হতে পারে না , তাই তারা অতিরিক্ত অতিরিক্ত। হ্রাসের বৈশিষ্ট্যগুলি ভঙ্গ না করে এগুলি সহজেই যুক্ত করা যায়। $a$ $b$

ওভারল্যাপের সংখ্যাগুলি বাইনারিতে এনকোড থাকে তবে বাইরে চিহ্নগুলি ব্যবহার করে এবং একটি সাধারণ দৈর্ঘ্যে । সুতরাং আমরা নিশ্চিত করে নিই যে টাইলগুলি গ্রাফিক্সের পরামর্শ হিসাবে ব্যবহৃত হয় (টেট্রিস), এটি অক্ষর এবং সূচি-এনকোডিং ওভারল্যাপগুলি মিশে না (পিসিপি এটি প্রতি প্রতিরোধ করে না)। আমাদের দরকার: $\Sigma$ $\log \max(m,n)$

টাইল শুরু হচ্ছে: সমান হলে , বা উভয় দিয়ে শুরু করতে পারে । $c$ $a_1$ $b_1$
মধ্যবর্তী টাইলস: পরবর্তী চিহ্নের সাথে , বা উভয় সমান হলে অগ্রসর হতে পারে । $c$ $a$ $b$
টাইলস সসীম: শেষ চিহ্ন প্রান্ত (যদি শেষ এক ইতিমধ্যে দেখা হয়েছে), জন্য অনুরূপ , অথবা উভয় শেষ চিহ্ন। $c$ $a$ $b$ $b$

এগুলি হ'ল টাইল স্কিমিটিক্স। মনে রাখবেন যে মধ্যবর্তী টাইলগুলি সমস্ত জোড়া জন্য ইনস্ট্যান্ট করতে হবে । উল্লেখ করা হয়েছে, ছাড়া টাইল তৈরি শুধুমাত্র যদি নিজ নিজ অক্ষর এবং ম্যাচ। $(i,j) \in [n]\times [m]$ $*$ $a$ $b$

^{[ উত্স ]}

"পরোয়া করি না" জন্য সিম্বলিক হয়; প্রকৃত টাইলগুলিতে, অন্য চিহ্নটি সেখানে অনুলিপি করতে হবে। নোট করুন যে টাইলসের সংখ্যা এবং প্রতিটি টাইলের দৈর্ঘ্য , সুতরাং নির্মিত বিপিসিপি ইনস্ট্যান্স (বর্ণমালা over প্লাস বিভাজন প্রতীক) এর বহুপদী আকার রয়েছে। তদ্ব্যতীত, প্রতিটি টালি নির্মাণ বহুবারের মধ্যে স্পষ্টভাবে সম্ভব। অতএব, প্রস্তাবিত হ্রাস আসলে একটি বৈধ বহুবর্ষীয় রূপান্তর যা এনপিসি-কমপক্ষে সংক্ষিপ্ত সাধারণ অতিপ্রাকৃত সমস্যাটি বিপিসিপিতে হ্রাস করে। $*$ $\Theta(mn)$ $4\log \max(m,n) + 1$ $\Sigma \cup \{0,1\}$

— রাফেল
সূত্র

চমৎকার উত্তর. আমি সাধারণ জ্ঞাত হ্রাস অনুমান।

— মোহাম্মদ আল তুর্কিস্তানি

আমি মনে করি যে আপনি বিপিসিপি তার অনিশ্চয়তা প্রমাণের জন্য ব্যবহৃত হ'ল অনুরূপ হ্রাস ব্যবহার করে প্রমাণ করতে পারবেন যে বিপিসিপি এনপি-সম্পূর্ণ। বহুবারের সময়ে কীভাবে এনপিতে কোনও সমস্যা হ্রাস করা যায় তা দেখিয়ে আমরা সরাসরি প্রমাণ করব যে বিপিসিপি এনপি-সম্পূর্ণ।

পিসিপি অনস্বীকার্য প্রমাণ করার জন্য ব্যবহৃত স্ট্যান্ডার্ড হ্রাস ( এখানে স্কেচ করা হয়েছে ) এমন একটি সিরিজ টাইলস তৈরি করে কাজ করে যাতে কোনও পিসিপি সলিউশন থাকে যদি স্ট্রিং প্রদত্ত টিএম গ্রহণযোগ্য গণনা থাকে । এই হ্রাসে তৈরি টাইলগুলির সংখ্যা বহুবর্ষীয়ভাবে বৃহত - বিশেষত, নির্মিত ডোমিনয়েসের সংখ্যাটি টিএম বর্ণমালার আকারের কিছু ফাংশন এবং টিএমের মধ্যে রাজ্যের সংখ্যা। একমাত্র ডোমিনো যার আকার বড় হতে পারে প্রাথমিক ডমিনো, $M$ $w$ $w$ এটি লেখা। যদি আমরা এই হ্রাসকে ডিস্ট্রিমেন্টিক টিএম-এর কাজ থেকে শুরু করে ননডিটারিস্টিক টিএম-তে কাজ করার জন্য সাধারণ করে তুলি তবে এটি স্থানান্তরের সংখ্যা সীমাবদ্ধ হওয়ায় এটি বেশিরভাগ ধ্রুব ডমিনো সংখ্যার সাথে পরিচয় করিয়ে দেয়। ফলস্বরূপ, আমরা বহুবর্ষীয় সময়ের মধ্যে স্বাভাবিক অগ্রহণীয়তা হ্রাসের জন্য ডোমিনোজগুলির স্ট্যান্ডার্ড সেটটি তৈরি করতে পারি।

এটি প্রদত্ত, আমরা বিপিসিপিতে যে কোনও এনপি সমস্যা হ্রাস করতে পারি - যে কোনও এনপি সমস্যা দেওয়া হয়েছে, এতে কিছু বহু-সময়কালীন এনটিএম যা সময় । এরপরে আমরা বহুবর্ষীয় সময়ে পিপিসিটিতে এই সমস্যাটি হ্রাস করতে পারি - থেকে ডোমিনোজের স্ট্যান্ডার্ড সেটটি তৈরি করুন , তারপরে জিজ্ঞাসা করুন যে কোনও সমাধান রয়েছে যা ডমিনোস ব্যবহার করে, যেখানে কিছু বহুপদী ফাংশন যা প্রকাশ করে সমাধানটি বিদ্যমান থাকার জন্য প্রয়োজনীয় ডোমিনোজের সংখ্যা (এটি সম্ভবত মতো কিছু $M$ $p(n)$ $M$ $f(p(n))$ $f$ $n^2$ , এবং অবশ্যই তাত্পর্যপূর্ণ নয়)। এর পরে, একই প্রমাণ আপনাকে দেখাতে হবে যে পিসিপি undecidable ব্যবহার ব্যবহার করার মাধ্যমে আপনি প্রমাণ করতে পারেন এই BPCP উদাহরণস্বরূপ একটি সমাধান আছে যে যে সর্বাধিক ব্যবহারের মূল NTM iff টাইল গ্রহণ মধ্যে পদক্ষেপ। ফলস্বরূপ, আমাদের এনপি-র প্রতিটি সমস্যা থেকে বিপিসিপি-তে বহু-কালীন হ্রাস রয়েছে, তাই বিপিসিপি এনপি-হার্ড। $f(p(n))$ $M$ $m$ $p(n)$

(আমাদের এও দেখানো উচিত যে বিপিসিপি এনপিতে রয়েছে তবে এটি সহজ; কেবল অদ্বৈতবাদীভাবে অনুমান করুন যে কোন ডমিনোসকে যথাযথভাবে প্রয়োগ করা উচিত, তারপরে নির্বিচারে এটি যাচাই করুন)।

আশাকরি এটা সাহায্য করবে!

— templatetypedef
সূত্র

এটি কোনও উপায়ে সহায়তা করে, যদিও আমি এখনও অন্য সমস্যা থেকে সরাসরি হ্রাস পছন্দ করি।

— জন

@ জন- আপনি কি কোনও নির্দিষ্ট কারণেই বিপিসিপি-তে পরিচিত এনপি-সম্পূর্ণ সমস্যা হ্রাস করতে চান? উপরের প্রমাণটি দেখায় যে সমস্যাটি এনপি-সম্পূর্ণ এবং পিসিপি'র অনিবার্যতা এবং বিপিসিপি'র এনপি-সম্পূর্ণতার মধ্যে সংযোগটি হাইলাইট করে।

— টেম্পলেটটিফাইফ

খাঁটি শিক্ষামূলক কারণ, যেহেতু সাধারণত বেশিরভাগ পাঠ্য পুস্তক এনপি-সম্পূর্ণতার প্রমাণ দেওয়ার জন্য সরাসরি হ্রাস পদ্ধতিটি ব্যবহার করে এবং বুঝতে যে এই সমস্যাটি সেই ক্ষেত্রে বাকি অংশের চেয়ে আলাদা নয়।

— জন

@john: আপনি যে কোনো দ্বারা NP-সম্পূর্ণ সমস্যা (যার উপর কোর্স ব্যবহার templatetypedef এর হ্রাসের করতে হয় সরাসরি), কিন্তু যে না করবে মনোনীত সমস্যা গঠন গ্রহণকারী। শিক্ষাগত উদ্দেশ্যে, এটি উজ্জ্বল, কারণ সাধারণত আপনি কেবল দেখতে পান যে একটি সমস্যা হ্রাস-প্রমাণ হ'ল সমস্যাটি এনপি-সম্পূর্ণ।

— রাফেল