ল্যান্ডাউ শর্তাবলীর যোগগুলি পুনরায় দেখা গেছে

আমি মিশ্র সাফল্যের সাথে পাটিগণিতগুলিতে অ্যাসিম্পটোটিক সংকেতকে অপব্যবহারের বিপদগুলি বিচার করার চেষ্টা করার আগে লন্ডাউ পদগুলির পরিমানের পরিমাণ সম্পর্কে একটি (বীজ) প্রশ্ন জিজ্ঞাসা করেছি ।

এখন, এখানে আমাদের পুনরাবৃত্তি গুরু জেফই মূলত এটি করে:

$\qquad \displaystyle \sum_{i=1}^n \Theta\left(\frac{1}{i}\right) = \Theta(H_n)$

যদিও শেষ ফলাফলটি সঠিক, আমি মনে করি এটি ভুল। কেন? যদি আমরা অন্তর্ভুক্ত ধ্রুবকগুলির সমস্ত অস্তিত্বগুলিতে যোগ করি (কেবল কেবল উপরের আবদ্ধ), আমাদের রয়েছে

$\qquad \displaystyle \sum_{i=1}^n c_i \cdot \frac{1}{i} \leq c \cdot H_n$ ।

এখন কিভাবে আমরা Compute না $c$ থেকে $c_1, \dots, c_n$ ? উত্তর হল, আমি বিশ্বাস করি, যে আমরা না যা করতে পারেন: $c$ সব জন্য বেঁধে রেখেছিল $n$ কিন্তু আমরা পেতে আরো $c_i$ যেমন $n$ বৃদ্ধি। আমরা তাদের সম্পর্কে কিছুই জানি না; $c_i$ খুব ভাল উপর নির্ভর করে হতে পারে $i$ , তাই আমরা একটি আবদ্ধ অনুমান করতে পারে না: একটি সসীম $c$ অস্তিত্ব নাও থাকতে পারে।

তদ্ব্যতীত, এই সূক্ষ্ম ইস্যুটি রয়েছে যা চলকটি বাম-হাতের অনন্তের দিকে যায় - $i$ বা $n$ ? উভয়? যদি $n$ (সামঞ্জস্যের জন্য), জেনে এর অর্থ কী ? এর অর্থ কি কেবল ? যদি তা হয় তবে আমরা চেয়ে ভালভাবে আবদ্ধ করতে পারি না । $\Theta(1/i)$ $1 \leq i \leq n$ $\Theta(1)$ $\Theta(n)$

তাই যেখানে যে আমাদের ছেড়ে? এটা কি নির্দোষ ভুল? একটি সূক্ষ্ম? বা এটি কি কেবল স্বরলিপিটির অপব্যবহার এবং আমাদের প্রাসঙ্গিকতার বাইরে চিহ্নগুলির দিকে নজর দেওয়া উচিত নয় ? ল্যান্ডাউ পদগুলির (নির্দিষ্ট) যোগফলগুলি বিমোচন করার জন্য আমরা কি (কঠোরভাবে) সঠিক নিয়ম তৈরি করতে পারি? $=$

আমি মনে করি যে মূল প্রশ্নটি: কী? আমরা এটা ধ্রুব (এটা বিবেচনা যদি হয় সমষ্টি পরিধি অভ্যন্তরীণ) আমরা সহজেই counterexamples নির্মাণ করতে পারেন। যদি এটি ধ্রুবক না হয় তবে এটি কীভাবে পড়বেন তা সম্পর্কে আমার কোনও ধারণা নেই। $i$

terminology asymptotics landau-notation

— রাফেল
সূত্র

গণিত.এস.এস. এ এই প্রশ্নটি সাধারণভাবে ল্যান্ডোর পদগুলির সাথে পাটিগণিত সম্পর্কে ভাল পঠিত।

— রাফেল

আপনি যে লিঙ্কটি দিয়েছেন তা থেকে সমতাটি হয় একটি উপসেট সম্পর্ক হতে পারে বা "সম্পর্ক" (যেমন

) হতে পারে। জন্য

আপনি শুধু বলছে এটি একটি ধ্রুবক দ্বারা উপরের এবং নীচের বেষ্টিত হচ্ছে। কেন বেছে

এবং

\in

$\in$

Θ

$\Theta$

c = min (c_{1}, c_{2}, \dots, c_{n})

$c = \min(c_1, c_2, \cdots, c_n)$

C = max (c_{1}, c_{2}, \dots, c_{n})

$C = \max(c_1, c_2, \cdots, c_n)$

— ব্যবহারকারী 834

বাকী সেখানে থাকো। আমি এতে একটি থেটা নিয়ে কোনও সমষ্টি লিখিনি। আমি একটি থেটার সাথে একটি পুনরাবৃত্তি লিখেছি। আপনি কি "

" এর পুনরাবৃত্তিটি সত্যই ব্যাখ্যা করেছেন " " এখানে একটি ফাংশন রয়েছে

যেমন

t (n) = Θ (1 / n) + t (n - 1)

$t(n) = \Theta(1/n) + t(n-1)$

f \in Θ_{x \to \infty} (x \mapsto 1 / x)

$f \in \Theta_{x\to \infty}(x\mapsto 1/x)$

t (n) = f (n) + t (n - 1)

$t(n) = f(n) + t(n-1)$

— জেফই

@ রাফেল নো, পুনরাবৃত্তিটি অঙ্কিত হিসাবে আপনি অঙ্কিত কারণ হিসাবে সংখ্যার সমান নয় ! পুনরাবৃত্তির একেবারে একটি থেটা শব্দ রয়েছে, যা নির্বিঘ্নে একটি ফাংশনকে বোঝায়।

— জেফই

এটি খুব স্বজ্ঞাত নয় - আমি দৃ strongly়ভাবে একমত নই, তবে আমি মনে করি এটি স্বাদ এবং অভিজ্ঞতার বিষয়।

— জেফই

উত্তর:

নিম্নলিখিত সম্মেলনে আমার কাছে ঠিক দেখাচ্ছে:

জন্য সুবিধাজনক স্বরলিপি $S_n = \sum_{k=1}^{n} \Theta(1/k)$

একটা হল (যেমন ) যেমন যে $f(x) \in \Theta(1/x)$ $x \to \infty$

। $S_n = \sum_{k=1}^{n} f(k)$

এইভাবে আপনি যে (বা এই উত্তর ) পেয়েছেন, তা আসলে উপর নির্ভরশীল নয় । $c_i$ $c_k$ $k$

এই ব্যাখ্যার অধীনে, এটি সত্য যে । $S_n = \Theta(H_n)$

বস্তুত, জেফ এর উত্তরে তিনি দেখায় যে যেখানে , তাই এটি উপরে ব্যাখ্যা সঙ্গে সামঞ্জস্যপূর্ণ। $T(k+1) = f(k) + T(k)$ $f \in \Theta(1/k)$

বিভ্রান্তির মানসিকভাবে "unrolling" থেকে উদ্ভূত হবে বলে মনে হয় এবং প্রতিটি সংঘটন জন্য বিভিন্ন ফাংশন সাহসী ... $\sum$ $\Theta$

— আর্যভট্ট
সূত্র

Jup কিন্তু প্রত্যেক

করতে নিজস্ব ফাংশন, এবং ধ্রুব আছে। সুতরাং এই কনভেনশনটি কেবল প্রসঙ্গের সাথে কাজ করে, এটি হ'ল যদি আমরা জানি যে ল্যান্ডাউ শর্তগুলি সমানদের কিছুটা "ইউনিফর্ম" (

এবং

) সংজ্ঞা থেকে এসেছে।

Θ

$\Theta$

k

$k$

n

$n$

— রাফেল

@Raphael: এটা উদ্ঘাটিত করা থেকে অর্থহীন বলে মনে হয় এবং তারপর বিভিন্ন অনুমতি

: ধ্রুবক পরিবর্তনশীল উপর নির্ভর করে তারপর হবে! এবং এটি একটি ভুল ব্যবহার হয়ে

অভিমানী

পরিবর্তনশীল

(অথবা

উপরে উত্তর)। এমনকি আমরা যদি ভেরিয়েবলটি

বলে ধরে নিই তা এখনও আমার কাছে অর্থহীন বলে মনে হচ্ছে।

f_{i}

$f_i$

Θ

$\Theta$

Θ

$\Theta$

i

$i$

k

$k$

n

$n$

— আর্যভাটা

বস্তুত, যে

নিজস্ব ধ্রুবক থাকতে পারে, কিন্তু বিশেষ প্রসঙ্গ আপনি বর্ণনা মধ্যে , এটা পরিষ্কার যে প্রতি

নেই না নিজস্ব ধ্রুবক আছে।

Θ

$\Theta$

Θ

$\Theta$

— জেফই

@ জেফ: ঠিক আছে। আমরা একাধিক থাকতে পারে

যতদিন ধ্রুবক সত্যিই ধ্রুবক :-) হয় তাদের নিজস্ব ধ্রুবক সঙ্গে,

Θ

$\Theta$

— আর্যভট্ট

@ জেফি, তবে আপনি কেবল নিজের অর্থটি কি লিখছেন না তবে অস্পষ্ট / ভুল কিছু পছন্দ করেন? মনে রাখবেন যে আমার আপডেট করা উত্তরটি এখন এটি করার একটি উপায় প্রস্তাব করে। আমি এ সম্পর্কে মন্তব্য প্রশংসা করব; লোকেরা আমার বক্তব্যকে কেন প্রত্যাখ্যান করে বলে মনে হচ্ছে তা বিনা কারণেই ডাউনভোটগুলি আমাকে বুঝতে সহায়তা করে না।

— রাফেল

আমি মনে করি আমি সমস্যাটি পেরেক দিয়েছি। সংক্ষেপে: ল্যান্ডাউ পদগুলি ব্যবহার করে যোগফলের চলমান চলক থেকে সামান্ড ফাংশনের পরিবর্তনশীলকে ডেসপুল করে। আমরা এখনও তাদের (দেখতে) অভিন্ন হিসাবে পড়তে চাই, তবে বিভ্রান্তি।

এটি আনুষ্ঠানিকভাবে বিকাশ করতে, কি করে

$\qquad \displaystyle S_n \in \sum_{i=1}^n \Theta(f(i)) \qquad \qquad\qquad (1)$

সত্যিই মানে? এখন আমি যে এই অনুমান দিন না - - অনন্ত; যদি আমরা , এই জাতীয় প্রতিটি যোগফল মূল্যায়ন করে (যদি যোগানগুলি এর থেকে পৃথক হয় এবং তাই ধ্রুবক থাকে) যা স্পষ্টতই ভুল। এখানে প্রথম জিনিস দেওয়া হচ্ছে যা আমরা জিনিসগুলি অপরিশোধিত করতে পারি: যোগফলের মধ্যে আবদ্ধ (এবং ধ্রুবক), তবে আমরা এখনও এটিকে অনন্তে যেতে দেই? $\Theta$ $i$ $n$ $n \to \infty$ $\Theta(n)$ $n$ $i$

অনুবাদ করা (উপরের সীমাটির জন্য, নিম্ন সীমাটি একইভাবে কাজ করে), আমরা পাই $(1)$

$\qquad \displaystyle \exists f_1, \dots, f_n \in \Theta(f).\ S_n \leq \sum_{i=1}^n f_i(i)$

এখন এটা স্পষ্ট যে sum- এবং parameter- পৃথক করা হয়: আমরা সহজেই বর্ণনা করতে পারেন যাতে তারা ব্যবহার একটি ধ্রুবক হিসাবে। প্রশ্ন থেকে উদাহরণে, আমরা সংজ্ঞায়িত করতে পারি $i$ $i$ $f_i$ $i$ এবং আছে $f_i(j) = i \cdot \frac{1}{j} \in \Theta(1/j)$

$\qquad \displaystyle \sum_{i=0}^n f_i(i) "=" \sum_{i=0}^n \Theta(1/j) = \sum_{i=0}^n \Theta(1/i)$

তবে মূল যোগফলটি পরিষ্কারভাবে কোনও কিছুর সাথে মূল্যায়ন করে না । এখন বিনিময় জন্য যার কেবলমাত্র পুনঃনামকরনের হয় - - মধ্যে অদ্ভুত মনে হতে পারে কারণ স্বাধীন নয় রেস্প। সমষ্টি, কিন্তু যদি আমরা যে আপত্তি এখন , আমরা ব্যবহৃত কখনও দেখা উচিত নয় ভিতরে প্রথম স্থানে (যে একই strangeness ঝুলিতে)। $\Theta(H_n) = \Theta(\log n)$ $j$ $i$ $\Theta$ $i$ $n$ $i$ $\Theta$

নোট করুন যে আমরা এমনকি ব্যবহার করতে পারি নি যে এছাড়াও উপর নির্ভর করতে পারে । $f_i$ $n$

উপসংহারে, প্রস্তাবিত পরিচয়টি বোগাস us আমরা অবশ্যই কঠোর গণনার সংক্ষিপ্তসার হিসাবে এই পরিমাণগুলি কীভাবে পড়তে পারি সে সম্পর্কে কনভেনশনগুলিতে একমত হতে পারি। যাইহোক, এই জাতীয় সম্মেলনগুলি ল্যান্ডউ শর্তগুলির সংজ্ঞার সাথে একত্রে বেমানান হবে (তাদের সাধারণ অপব্যবহারের সাথে), প্রসঙ্গ ব্যতীত সঠিকভাবে বুঝতে অসম্ভব এবং কমপক্ষে বিভ্রান্তকারী (নতুনদের জন্য) - তবে এটি শেষ পর্যন্ত স্বাদের বিষয় (এবং নির্মমতার) বিষয় ?)।

আমার কাছে এটি ঘটেছিল যে আমরা আমাদের অর্থটি ঠিক কী লিখতে পারি এবং এখনও ল্যান্ডাউ শর্তাদির সুবিধার্থে ব্যবহার করতে পারি। আমরা জানি যে সমস্ত সংশ্লেষগুলি একটি সাধারণ ফাংশন থেকে আসে, বোঝায় যে অ্যাসিপটোটিক সীমানা একই ধ্রুবক ব্যবহার করে। এই যখন আমরা করা হারিয়ে গেছে সমষ্টি মধ্যে। সুতরাং আসুন এটি সেখানে না লিখুন $\Theta$

$\qquad \displaystyle \sum_{i=1}^n \frac{2i - 1}{i(i+1)} \in \Theta\left(\sum_{i=1}^n \frac{1}{i}\right) = \Theta(H_n)$

পরিবর্তে. ফেলে মধ্যে সমষ্টি ফলাফল বাইরে $\Theta$

একটি গাণিতিকভাবে সঠিক বিবৃতি এবং
একটি সহজ শব্দ ভিতরে আমরা সহজেই সাথে মোকাবিলা করতে পারেন (যা আমরা এখানে কি চাই, ঠিক আছে?)। $\Theta$

সুতরাং এটি আমার মনে হচ্ছে যে এই উভয় একটি সঠিক এবং ব্যাপার নিচে লেখা একটি দরকারী উপায়, সেইজন্য এবং শুরু Landau চিহ্ন ব্যবহার বেশী প্রাধান্য দিতে হবে ভিতরে সমষ্টি যখন আমরা তাদের অর্থ বাহিরে এটি।

— রাফেল
সূত্র

বিবেচনা করুন

। আমি

(

ধ্রুবক হিসাবে ব্যবহার করে

সংজ্ঞায়িত করতে পারি , সুতরাং

আপনার যুক্তি দিয়ে ডান? তবে এই যোগফলটি

।

\sum_{i}^{n} i

$\sum_i^n i$

f_{i} (n) = i

$f_i(n)=i$

i

$i$

\sum_{i}^{n} i = \sum_{i}^{n} O (1) = O (n)

$\sum_i^n i = \sum_i^n O(1) = O(n)$

O (n^{2})

$O(n^2)$

— Xodarap

@Xodarap: আমার যুক্তি দ্বারা, ভালো সমষ্টি ধ্বসে নেই কাজ, কারণ সংযোজন ভেতরের

গুলি (যা মিলিত নেই

কিংবা

) এর

নেই অর্থ পরিবর্তন করুন।

Θ

$\Theta$

i

$i$

n

$n$

n

$n$

— রাফায়েল

আমি এগুলিকে

তে সংযুক্ত করছি না , আমি কেবল এই সত্যটি ব্যবহার করছি

। (এবং আমি অনুমান করি যে

।)

n

$n$

\sum_{i}^{n} k = n k

$\sum_i^n k = nk$

n O (f) = O (n f)

$nO(f)=O(nf)$

— জোদারাপ

@Xodarap: কিন্তু আপনি না আছে এক

, কিন্তু এক

summand প্রতি। যদি অন্তর্নিহিত ফাংশনগুলি

ব্যবহার

(একটি ধ্রুবক ফ্যাক্টর হিসাবে), আপনাকে এটি প্রসারিত করতে হবে, এবং যোগফলটি সঠিক হবে। সুতরাং, স্পষ্টতই, আমার যুক্তি দিয়ে আপনি যে সামমিনাল রুল প্রস্তাব করেছেন তা আপনার লেখার মতো কাজ করে না।

f

$f$

f_{i}

$f_i$

f_{i}

$f_i$

i

$i$

— রাফেল

আমার যদি সিকোয়েন্স

থাকে তবে এগুলির প্রত্যেকেরই

(শর্তটি এগিয়ে যাওয়ার সাথে সাথে তারা বৃদ্ধি না করে)। আপনি কি বলবেন যে এর মধ্যে

যুক্ত করলে একটি যোগফল

তৈরি হবে ? যদি ধ্রুবক হওয়ার পরিবর্তে আমি তাদের ধ্রুবক ফাংশন হিসাবে বর্ণনা করি তবে

5, 1, 3, 2, \dots

$5,1,3,2,\dots$

O (1)

$O(1)$

n

$n$

O (n)

$O(n)$

f_{1} (x) = 5, f_{2} (x) = 1, \dots

$f_1(x)=5,f_2(x)=1,\dots$

— জোডরাপ

-1

তাহলে প্রতিটি একটি ধ্রুবক হয়, তাহলে সেখানে কিছু যেমন যে । সুতরাং পরিষ্কারভাবে $c_i$ $c_{max}$ $\forall c_i: c_i\leq c_{max}$ অল্প ওয়ের জন্য একই ধারণা।

\sum c_{i} f (i) \leq \sum c_{m a x} f (i) = c_{m a x} \sum f (i) = O (\sum f (i))

$\sum c_i f(i) \leq \sum c_{max} f(i) = c_{max} \sum f(i) = O\left(\sum f(i)\right)$

আমি মনে করি যে এখানে সমস্যাটি । এটা তোলে এর (যেহেতু কিছু নেই যেমন যে ), তাই সামগ্রিক যোগফল হতে হবে । এবং প্রতিটি শব্দ সামগ্রিক যোগফল অর্থ হল $1/i\not=\Theta(1)$ $o(1/n)$ $\epsilon$ $\forall i: 1/i>\epsilon$ $no(1/n)=o(1)$ $O(1)$ $O(n)$ । সুতরাং এই পদ্ধতি থেকে কোন শক্ত সীমা পাওয়া যাবে না।

আমি আপনার প্রশ্নগুলি মনে করি:

আবদ্ধ প্রতিটি পদক্ষেপের ছোট o এবং প্রতিটি পদের বড় o করে পরে গুণন করা কি গ্রহণযোগ্য? (উত্তর: হ্যাঁ) $\sum_i^n f(i)$ $n$
এর চেয়ে ভাল পদ্ধতি আর কি আছে? (উত্তর: আমি তা জানি না))

আশা করি অন্য কেউ আরও 2 টি আরও পরিষ্কার করে উত্তর দিতে পারেন।

সম্পাদনা: আপনার প্রশ্নটি আবার দেখুন, আমি মনে করি আপনি জিজ্ঞাসা করছেন

? $\sum_i^n \Theta(f(n)) = \Theta(nf(n))$

যার উত্তর হ্যাঁ। এই ক্ষেত্রে যদিও, প্রত্যেক শব্দ নয় কিছু, যাতে পদ্ধতির পৃথক্ পড়ে। $\Theta$

সম্পাদনা 2: আপনি বলছেন " বিবেচনা করুন , তারপরে কোনও "। দ্ব্যর্থহীন সত্য। আপনি বলে যে যদি একটি অ ধ্রুবক ফাংশন , তারপর এটি, সংজ্ঞা, অ-ধ্রুবক দ্বারা হয়। $c_i=i$ $c_{max}$ $c_i$ $i$

মনে রাখবেন যে আপনি যদি এটি এভাবে সংজ্ঞায়িত করেন তবে নই , এটি । বস্তুত, যদি আপনি "ধ্রুবক" define "কোনো ফাংশন মানে ", তারপরে কোন দুটি ফাংশন একটি "ধ্রুবক" দ্বারা পৃথক! $c_i i$ $\Theta(i)$ $\Theta(i^2)$ $i$ $i$

সম্ভবত এটি ভাবার সহজ উপায়: আমাদের সিকোয়েন্স রয়েছে । এই অনুক্রমের সবচেয়ে ছোট শব্দটি কী? ঠিক আছে, এটিউপর নির্ভর করবে। সুতরাং আমরা পদগুলি ধ্রুবক হিসাবে বিবেচনা করতে পারি না। $1,\frac{1}{2},\dots,\frac{1}{n}$ $n$

(কম্পিউটার বিজ্ঞানীরা প্রায়শই বিগ-ও-এর সাথে বেশি পরিচিত, তাই এর একটি স্থির বৃহত্তম শব্দ আছে কিনা তা জিজ্ঞাসা করা আরও স্বজ্ঞাত হতে পারে )) $1,\dots,n$

আপনার প্রমাণ সরবরাহ করতে: এর পরিসরে ক্ষুদ্রতম মান হতে দিন । তারপরে $f(i_{min})$ $f(i)$ $1,\dots,n$

\sum_{i}^{n} f (i) \geq \sum_{i}^{n} f (i_{m i n}) = n f (i_{m i n}) = n o (f (n))

$\sum_i^n f(i) \geq \sum_i^n f(i_{min}) = n f(i_{min}) = n o(f(n))$

উপরের সীমানার জন্য একটি অ্যানালগাস প্রমাণ তৈরি করা যেতে পারে।

শেষ অবধি, আপনি লিখেছেন যে এবং প্রমাণ হিসাবে যে । এই আসলে একটি পাল্টা-প্রমাণ: যদি চেয়ে "বড়" হয় , তাহলে এটি চেয়ে "ছোট" হতে পারে না , যা এটা হতে হতে হলে কিসের দরকার হচ্ছে । সুতরাং এটি হতে পারে না । $H_n = o(n)$ $H_n = \Theta(\log n)$ $H_n$ $n$ $\log n$ $\Theta(\log n)$ $o(n)$

— Xodarap
সূত্র

1) "..তারপরে কিছু

রয়েছে যা ..." - না, নেই। বিবেচনা করুন

সঙ্গে

। 2) "আমি মনে করি না

" -

। এটি

- এটি ভুল। যেমন

c_{m a x}

$c_{max}$

(c_{i})_{i \in N}

$(c_i)_{i \in \mathbb{N}}$

c_{i} = i

$c_i = i$

H_{n} = o (n)

$H_n=o(n)$

H_{n} \in Θ (\ln n)

$H_n \in \Theta(\ln n)$

1 / i \neq Θ (1)

$1/i\not=\Theta(1)$

o (1 / n)

$o(1/n)$

। 4) "(উত্তর: হ্যাঁ)" - যতক্ষণ না আমি এই সত্যটির কোনও আনুষ্ঠানিক প্রমাণ দেখতে পাচ্ছি না ততক্ষণ আমি এটি বিশ্বাস করি না। তদ্ব্যতীত, "

দ্বারা

" প্রদর্শিত ক্ষেত্রে ঘটেছিল তা নয়।

1 / i \geq 1 / n

$1/i \geq 1/n$

1 / i \in Ω (1 / n)

$1/i \in \Omega(1/n)$

n

$n$

— রাফেল

f

$f$

n

$n$

আপনি কী বলছেন তা আমি এখনও বুঝতে পারছি না, তাই আপনি খুশি

— হলেন