নির্ভুলতার ক্ষতি ছাড়াই একটি আসল সংখ্যা উপস্থাপন করুন

Question

বর্তমান ভাসমান পয়েন্ট (এএনএসআই সি ফ্লোট, ডাবল) একটি আসল সংখ্যার প্রায় উপস্থাপনের অনুমতি দেয় । ত্রুটি ছাড়াই প্রকৃত সংখ্যা উপস্থাপন করার
কোনও উপায় আছে কি ? এখানে আমার একটি ধারণা রয়েছে যা নিখুঁত কিছু নয়। উদাহরণস্বরূপ, 1/3 হ'ল 0.33333333 ... (বেস 10) বা o.01010101 ... (বেস 2), তবে 0.1 (বেস 3) এই "কাঠামো" বাস্তবায়ন করা কি ভাল ধারণা:

base, mantissa, exponent

সুতরাং 1/3 3 ^ -1 হতে পারে

{[11] = base 3, [1.0] mantissa, [-1] exponent}

অন্য কোন ধারণা?

Comments

আপনি কেবল এইভাবে যুক্তিযুক্ত সংখ্যা উপস্থাপন করতে সক্ষম হবেন।

— আন্দ্রেজ বাউর

আপনি কীভাবে এই প্রতিনিধিত্ব সংখ্যায় গাণিতিক ক্রিয়াকলাপ বাস্তবায়নের প্রস্তাব দিচ্ছেন? বেস পরিবর্তন করতে লগারিদম ব্যবহার করছেন? এটি আইইইই ভাসমান-পয়েন্ট গণিতের চেয়ে অনেক বেশি ব্যয়বহুল হবে।

— ডেভিড জাং

ভাল, আমি কোন ধারণা। আমি প্রকৌশলী নই :) অবশ্যই, আমি এটিকে হার্ডওয়ারে প্রয়োগ করতে পারি না cannot একটি ধীর, unefficient বাস্তবায়ন সি এই কাজ করা যেতে পারে শুধু একটি পরীক্ষা হবে

— incud

Answer 1

এটি আপনারা যা করতে চান তা নির্ভর করে।

উদাহরণস্বরূপ, আপনি যা দেখান তা যুক্তি সংখ্যার উপস্থাপনের দুর্দান্ত উপায়। কিন্তু এটি এখনও ভালো কিছু উপস্থাপন করতে পারবেন না বা ই পুরোপুরি।$\pi$$e$

বস্তুত, এই ধরনের Haskell, এবং প্রকল্প যেমন অনেক ভাষায় মূলদ সংখ্যার জন্য সমর্থনে নির্মাণ করেছি, তাদের আকারে সংরক্ষণ যেখানেক,খপূর্ণসংখ্যা হয়।$\frac{a}{b}$$a,b$

এগুলি বহুল ব্যবহৃত হয় না এর মূল কারণটি হল কর্মক্ষমতা। ভাসমান পয়েন্ট সংখ্যাগুলি কিছুটা অসম্পূর্ণ, তবে তাদের অপারেশনগুলি হার্ডওয়্যারে প্রয়োগ করা হয়। আপনার প্রস্তাবিত সিস্টেমটি আরও নির্ভুলতার জন্য অনুমতি দেয় তবে হার্ডওয়্যারে সঞ্চালিত একক ক্রিয়াকলাপের বিপরীতে বাস্তবায়নের জন্য বেশ কয়েকটি পদক্ষেপের প্রয়োজন হয়।

এটি জানা যায় যে কিছু আসল সংখ্যা বিরামহীন, যেমন থামানো সংখ্যা । কোন অ্যালগরিদম তার সংখ্যা enumerating, অসদৃশ হয় , যেখানে আমরা নিরূপণ করতে পারেন এন যতদিন তম অঙ্ক যেমন আমরা দীর্ঘ যথেষ্ট অপেক্ষা করুন।$\pi$$n$

যদি আপনি অযৌক্তিক বা ট্রান্সসেন্টেন্টাল সংখ্যার জন্য প্রকৃত নির্ভুলতা চান তবে আপনার সম্ভবত প্রতীকী বীজগণিতের কিছু সিস্টেম ব্যবহার করা দরকার, তবে প্রতীকী আকারে একটি চূড়ান্ত উত্তর পাবেন, যা আপনি যে কোনও সংখ্যার সাথে আনুমানিক করতে পারেন। তবে, উপরে বর্ণিত অবিশ্বাস্য সমস্যার কারণে এই পদ্ধতির প্রয়োজনীয়তা সীমিত। আনুমানিক ইন্টিগ্রাল বা অসীম সিরিজের মতো জিনিসগুলির জন্য এটি এখনও ভাল।

Comments

আমি কি আর একটি প্রশ্ন জিজ্ঞাসা করতে পারি? আপনি যদি 80 এর দশকে কোনও ইন্টেল ইঞ্জিনিয়ার হয়ে থাকেন তবে আপনি কীভাবে আপনার আসল নম্বর ফর্ম্যাটটি "ডিজাইন" করেছিলেন?

— incud

আমি এর উত্তর দিতে খুব যোগ্য নই, আমি যেমন ইঞ্জিনিয়ার নই, আমি একজন তত্ত্ব গবেষক। আমি আইইইই ফ্লোট এবং ডাবল স্ট্যান্ডার্ড, এবং এখন কোয়াডের সাথে খুব বেশি ভুল দেখতে পাচ্ছি না। আমি মনে করি না উচ্চতর স্পষ্টতা পাটিগণিতের উপর নির্ভর করে অনেকগুলি অ্যাপ্লিকেশন হয়েছে এবং যেগুলি একটি সফ্টওয়্যার-সমর্থিত সংস্করণ ব্যবহার করতে পারে।

— jmite

প্রতীকী বীজগণিত হুবহু আসল পাটিগণিতের জন্য সঠিক আনুষ্ঠানিকতা নয়। আপনার এমন একটি উপস্থাপনা দরকার যা ইচ্ছামত বড় ম্যান্টিসাসের অনুমতি দেয়।

— আন্দ্রেজ বাউর

@AndrejBauer: একটি ইচ্ছামত বড় অংশক যদি আপনি একজন সঠিক উপস্থাপনা চান আপনি সংরক্ষণ করা যাচ্ছে না । $\sqrt 2$

— ব্যবহারকারী 2357112 মনিকা 9

@jmite আপনি খুব বিনয়ী :) করছি

— incud

Answer 2

প্রতিটি সংখ্যার সীমাবদ্ধ প্রতিনিধিত্ব করতে হলে ত্রুটি ছাড়াই সমস্ত আসল সংখ্যা উপস্থাপন করার কোনও উপায় নেই। এখানে প্রচুর পরিমাণে আসল সংখ্যা রয়েছে তবে কেবলমাত্র 1 এবং 0 এর অনেকগুলি সীমাবদ্ধ স্ট্রিং রয়েছে যা আপনি তাদের সাথে প্রতিনিধিত্ব করতে ব্যবহার করতে পারেন।

Comments

একজন প্রতিটি আসল সংখ্যার প্রতিনিধিত্ব করা থেকে কেবল সেই প্রকৃত সংখ্যাগুলিকে সীমাবদ্ধ রাখতে প্রয়োজনীয়তাকে সীমাবদ্ধ করতে পারে, যা কোনও টুরিং মেশিনের আউটপুট হতে পারে। এটি কেবল আসল সংখ্যার একটি গণনাযোগ্য সংখ্যা হবে তবে এখনও আপনি যে প্রতিনিধিত্ব করতে চান এমন প্রতিটি সংখ্যা আবরণ করবে। তবে আমি মনে করি না আপনি এ জাতীয় সংখ্যাগুলি দিয়ে দক্ষ গণনা করতে পারবেন।

— কাস্পার্ড

@ ক্যাস্পার্ড এগুলিকে গণনাযোগ্য বাস্তব বলা হয় । দুর্ভাগ্যক্রমে, সাম্যতার মতো জিনিসগুলি গণনাযোগ্য বাস্তবের তুলনায় গণ্যযোগ্য নয়।

— ডেভিড রিচার্বি

এটি প্রকৃতপক্ষে বেশ স্পষ্ট যে এই জাতীয় সংখ্যার উপর সমতা গণনা করা থামানো সমস্যা সমাধানের সমতুল্য। একটি টিএম দেওয়া হলে একটি আসল সংখ্যা নির্ধারণ করতে পারে, যা শূন্যের অনেকগুলি দশমিক শুরু দিয়ে শুরু হয়, টিএম চলমান সময় হিসাবে, এবং তারপরে একটি সংখ্যার পরে। সেই সংখ্যাটি শূন্যের সাথে তুলনা করা মূল টিএমের জন্য থামানো সমস্যা সমাধানের সমতুল্য।

— কাস্পার্ড

এই উত্তরটি মিথ্যা। অ্যালান ট্যুরিং মেশিনে তার প্রথম গবেষণাপত্রে, তিনি ট্যুরিং মেশিনগুলি আবিষ্কার করেছিলেন, যা বাস্তবের উপাত্তকে অনন্ত স্ট্রিং হিসাবে উপস্থাপন করার কথা বলেছিল about এটি তথাকথিত "টাইপ II টুরিং মেশিন" এর ধারণার দিকে পরিচালিত করে, এবং ধারণার উপর ভিত্তি করে বাস্তব সংখ্যা সংখ্যার একটি খুব সফল তত্ত্ব রয়েছে। এটি বাস্তবায়িতও হয়, আমার উত্তর দেখুন।

— আন্দ্রেজ বাউর

সম্ভবত এটি প্রযুক্তিগতভাবে করে তবে এটি পয়েন্টটি মিস করে, যা হ'ল আসল সংখ্যার পুরোপুরি যুক্তিসঙ্গত অসীম উপস্থাপনা রয়েছে। এবং এটি আশ্চর্যের কিছু নয়: একটি টিসিপি / আইপি সংযোগ, বা একটি স্কাইপ কল, বা কোনও ক্যামেরা থেকে আসা একটি ভিডিও ফিড হ'ল (সম্ভাব্য) তথ্যের অসীম পরিমাণের উদাহরণ। তারা কতটা তথ্য সরবরাহ করতে পারে তার কোনও পূর্ব সীমাবদ্ধতা নেই। সীমাবদ্ধ পরিমাণে আপনি এ থেকে কতটা তথ্য বের করতে পারবেন তার সীমাবদ্ধতা রয়েছে।

— আন্দ্রেজ বাউর

Answer 3

$b$$m$$e$$b \cdot m^{-e}$$\sqrt{2}$

গণনাযোগ্য গণিতের একটি সম্পূর্ণ শাখা রয়েছে যা হুবহু বাস্তব পাটিগণিত নিয়ে কাজ করে। সঠিক আসল সংখ্যার উপস্থাপনের জন্য অনেকগুলি ডেটা স্ট্রাকচার প্রস্তাব করা হয়েছে: অঙ্কের স্রোত, অ্যাফাইন সংকোচনের ধারা, যুক্তিগুলির কচী অনুক্রম, ডায়াডিক যুক্তির কাঁচি অনুক্রম, ডেডকাইন্ড কাট, শিক্রিং অন্তরগুলির ক্রম ইত্যাদির ভিত্তিতে যথাযথ বাস্তব গাণিতিকের বাস্তবায়ন রয়েছে এই ধারণাগুলির উপর উদাহরণস্বরূপ:

• নরবার্ট মোলারের সিআর ++ তে আসল সংখ্যাগুলির বাস্তবায়ন
• দেদেকিন্ড রিয়েলসের সাথে নির্ভুল গণনার জন্য মার্হসাল ভাষা
• নির্ভুল আসল নম্বর গণনার জন্য একটি ক্যালকুলেটর

এর মধ্যে আইআরআম সবচেয়ে পরিপক্ক এবং দক্ষ। মার্শাল একটি পরীক্ষামূলক প্রকল্পে, তৃতীয়টি একটি শিক্ষার্থী প্রকল্প, তবে এটি খুব সহজেই অ্যাক্সেসযোগ্য। আসল নম্বর গণনা সম্পর্কিত সমস্যাগুলি ব্যাখ্যা করে এটির একটি খুব সুন্দর ভূমিকা রয়েছে, আমি খুব দৃ rec়ভাবে বলেছি যে আপনি এটি দেখেছেন।

আমাকে একটি মন্তব্য করতে দিন। কেউ আপত্তি করবে যে একটি অসীম বস্তু একটি কম্পিউটার দ্বারা প্রতিনিধিত্ব করা যায় না। কিছু দিক থেকে এটি সত্য, তবে অন্য কোনও ক্ষেত্রে তা নয়। আমাদের কখনই কোনও সম্পূর্ণ আসল সংখ্যা উপস্থাপন করতে হয় না , আমাদের কেবল সীমাবদ্ধতার প্রয়োজন হয়গণনার প্রতিটি পর্যায়ে। সুতরাং, আমাদের কেবলমাত্র একটি উপস্থাপনা দরকার যা কোনও নির্দিষ্ট নির্ভুলতার জন্য একটি বাস্তব উপস্থাপন করতে পারে। অবশ্যই, আমরা একবার কম্পিউটারের মেমোরিটি শেষ হয়ে গেলে কম্পিউটারের মেমরি থেকে বেরিয়ে যাই - তবে এটি কম্পিউটারের একটি সীমাবদ্ধতা, নিজেই উপস্থাপনা নয়। প্রোগ্রামিংয়ের ক্ষেত্রে এই পরিস্থিতি অন্য অনেকের চেয়ে আলাদা নয়। উদাহরণস্বরূপ, লোকেরা পাইথনে পূর্ণসংখ্যা ব্যবহার করে এবং এগুলি তাদেরকে "নির্বিচারে বৃহত" হিসাবে মনে করে যদিও অবশ্যই তারা উপলব্ধ মেমরির আকার ছাড়িয়ে যেতে পারে না। কখনও কখনও অনন্ততা একটি খুব বড় সীমাবদ্ধ সংখ্যার জন্য একটি দরকারী অনুমিতিকরণ হয়।

তদুপরি, আমি প্রায়শই দাবিটি শুনি যে কম্পিউটারগুলি কেবল গণনাযোগ্য আসল সংখ্যার সাথেই ডিল করতে পারে । এটি দুটি গুরুত্বপূর্ণ পয়েন্ট মিস করে। প্রথমত, কম্পিউটারগুলির বাহ্যিক বিশ্ব থেকে ডেটা অ্যাক্সেস রয়েছে, সুতরাং আমাদেরও (অবিশ্বাস্য) অনুমান করতে হবে যে বাহ্যিক বিশ্বটিও গণ্যযোগ্য। দ্বিতীয়ত, আমাদের কম্পিউটারটি কী রিয়েলগুলি গণনা করতে পারে এবং এটি কী রিয়েলকে প্রতিনিধিত্ব করতে পারে তার মধ্যে পার্থক্য করতে হবে। উদাহরণস্বরূপ, আমরা যদি বাস্তবের উপস্থাপনা হিসাবে অঙ্কের ধারাগুলি বেছে নিই তবে একটি অ-গণনীয় বাস্তবকে উপস্থাপন করা পুরোপুরি সম্ভব : যদি কেউ আমাদের এটি দেয় তবে আমরা কীভাবে এটি উপস্থাপন করব তা জানতাম। তবে আমরা যদি সংখ্যার সংখ্যা গণনা করে উত্স কোডের টুকরা হিসাবে রিয়েলগুলি উপস্থাপন করতে বেছে নিই, তবে আমরা স্পষ্টতই, অ-গণনীয় বাস্তবের প্রতিনিধিত্ব করতে পারি না।

যাই হোক না কেন, এই বিষয়টি আরও কিছু পড়ার সাথে সর্বোত্তমভাবে মোকাবেলা করা হয়েছে।

Comments

+1 তবে আমি আপত্তি জানাব যে আপনি প্রশ্নের দ্বারা প্রয়োজনীয় যথাযথতা হারানো ব্যতিরেকে সীমাবদ্ধতার মাধ্যমে একটি অসীম স্ট্রিং প্রতিনিধিত্ব করতে পারবেন না । অবশ্যই, আপনি যতটা নির্ভুলতা চান তা পেতে পারেন - যেমনটি আপনি একটি যুক্তিবাদী দ্বারা কাছাকাছি করে করতে পারেন - তবে প্রশ্নটি যা জিজ্ঞাসা করছে এটি তেমন নয়। যুক্তিযুক্তভাবে, এটি উত্তর না দিয়ে প্রশ্নটিতে সমস্যা।

— ডেভিড রিচার্বি

মুল বক্তব্যটি হচ্ছে আমরা সীমাবদ্ধ স্ট্রিংগুলির সাথে প্রতিনিধিত্ব করছি না । আমরা অসীম স্ট্রিংগুলির সাথে প্রতিনিধিত্ব করছি , তবে আমাদের কেবল গণনার প্রতিটি পর্যায়ে এমন অসীম স্ট্রিংয়ের একটি সীমাবদ্ধ অংশ প্রয়োজন। বা এটি অন্যভাবে বলতে গেলে: নির্ভুলতার কোনও ক্ষতি নেই, যেমন তথ্য কাঠামো পুরো তথ্য ধারণ করে , তবে অবশ্যই আপনি একবারে সমস্ত তথ্য অ্যাক্সেস বা প্রক্রিয়া করতে পারবেন না: ডেটা স্ট্রাকচার আপনাকে যতটা নির্ভুলতা চেয়েছে তেমন সুক্ষ্মতা দেয় । বাধাটি তথ্য কাঠামোর পক্ষে নয়, বরং "ভোক্তা" এর পাশে যারা এই তথ্যটি পেতে চান।

— আন্দ্রেজ বাউর

$\sqrt{2}^2 = 2$$k$$2$ $k$$\sqrt{2}^2 \ne 2$$k$$1.99...$

@ থমাস: প্রতীকী গণনা প্রকৃত সংখ্যার প্রতিনিধিত্ব করে না, তবে সাধারণত বাস্তবের কিছু উপক্ষেত্র, সাধারণত প্রাথমিক কাজ এবং বহুবর্ষের শিকড় দ্বারা উত্পন্ন। এই সাবফিল্ডগুলি সম্পূর্ণ নয় (কচির সিক্যুয়েন্সের সীমাবদ্ধতার অধীনে বন্ধ) বা গণনাযোগ্যভাবে সম্পূর্ণ নয় (কচির সিকোয়েন্সগুলির গণনীয় সীমাতে বন্ধ)। একটি উপস্থাপনা না reals যদি না আপনি উপস্থাপন করতে পারেন একটি প্রতিনিধিত্ব সব এবং সিম্বলিক কম্পিউটেশন এই অবস্থা ব্যর্থ: (গণনীয়) reals।

— আন্দ্রেজ বাউর

গণনাযোগ্যতা সম্পর্কে এই মন্তব্যগুলি অপ্রাসঙ্গিক কারণ গণনাযোগ্য বাস্তবগুলি গণনাযোগ্য গণনাযোগ্য নয়।

— আন্দ্রেজ বাউয়ার

Answer 4

অনেকগুলি কার্যকর রেশনাল নম্বর বাস্তবায়ন রয়েছে তবে একটি যা বহুবার প্রস্তাবিত হয়েছে এবং কিছু অযৌক্তিকতা এমনকি বেশ ভালভাবে পরিচালনা করতে পারে এটি কন্টিনিউড ভগ্নাংশ ।

ড্যারেন সি। কলিন্স দ্বারা চালিত ভগ্নাংশ থেকে উদ্ধৃতি :

উপপাদ্য 5-1। - একটি আসল সংখ্যার অব্যাহত ভগ্নাংশের অভিব্যক্তি সীমাবদ্ধ যদি এবং শুধুমাত্র যদি আসল সংখ্যাটি যুক্তিযুক্ত হয়।

ম্যাথওয়ার্ল্ডের উদ্ধৃতি - পর্যায়ক্রমিক অবিরত ভগ্নাংশ

... একটি অবিরত ভগ্নাংশ পর্যায়ক্রমিক হয় যদি এটি চতুর্ভুজ বহুত্বের মূল হয়।

অর্থাৎ সমস্ত শিকড় পর্যায়ক্রমিক ক্রমাগত ভগ্নাংশ হিসাবে প্রকাশ করা যেতে পারে।

এর জন্য একটি অব্যাহত অবিরত ভগ্নাংশও রয়েছে π যা আমাকে অবাক করে অবধি অবধি অবধি অবধি এই প্রকাশ হয় নি যে এটি আসলে নেই।

Comments

$\pi$$\pi$

জে ভুইলমিন কিছুক্ষণ আগে হুবহু বাস্তবের গাণিতিক প্রয়োগের জন্য বাস্তবের অবিরত ভগ্নাংশের প্রস্তাব ছিল। সংখ্যাগুলি খুব শীঘ্রই চমত্কারভাবে বড় হওয়ায় এটি খুব কার্যকর না হয়ে দেখা গেছে এবং তাদের আকার হ্রাস করা শক্ত।

— আন্দ্রেজ বাউর

অবিচ্ছিন্ন ভগ্নাংশের এমনকি যুক্তিযুক্ত সংখ্যার প্রতিনিধিত্ব করার জন্য কিছু গণনা সংক্রান্ত সমস্যা রয়েছে - যদিও এগুলি লিক্সোগ্রাফিক ক্রমের বিভিন্ন রূপ ব্যবহার করে তুলনামূলকভাবে দ্রুত তুলনা করা যেতে পারে এবং একক ধারাবাহিক ভগ্নাংশটি পরিচালনা করার সময় , উভয় (বাইনারি) সংযোজন এবং সিএফগুলিতে গুণন করা মোটামুটি জটিল ক্রিয়াকলাপ বাস্তবায়ন।

— স্টিভেন স্টাডনিকি

Answer 5

মন্তব্যে বেশ কয়েকটি "যথাযথ বাস্তব" পরামর্শ রয়েছে (যেমন চালিয়ে যাওয়া ভগ্নাংশ, লিনিয়ার ভগ্নাংশ রূপান্তরকরণ ইত্যাদি)। সাধারণ ক্যাচটি হ'ল আপনি যখন কোনও সূত্রের উত্তরগুলি গণনা করতে পারেন, সাম্য প্রায়শই অনস্বীকার্য।

তবে, আপনি যদি কেবল বীজগণিত সংখ্যার প্রতি আগ্রহী হন, তবে আপনার ভাগ্য ভাল: আসল বন্ধ ক্ষেত্রগুলির তত্ত্বটি সম্পূর্ণ, ও-ন্যূনতম এবং সিদ্ধান্ত গ্রহণযোগ্য। এটি 1948 সালে তারস্কি দ্বারা প্রমাণিত হয়েছিল।

কিন্তু একটি ধরা আছে। আপনি তারস্কির অ্যালগরিদমটি ব্যবহার করতে চান না, কারণ এটি জটিলতা ক্লাসের NONELEMENTARY এ রয়েছে, যা অবৈজ্ঞানিক যেমন অযৌক্তিক অ্যালগরিদম পেতে পারে। আরও অনেক সাম্প্রতিক পদ্ধতি রয়েছে যা ডিএক্সপি-তে জটিলতা পেয়ে যায় যা বর্তমানে আমরা সবচেয়ে ভাল জানি।

নোট করুন যে সমস্যাটি এনপি-হার্ড কারণ এতে স্যাট অন্তর্ভুক্ত রয়েছে। তবে এটি এনপিতে থাকার কথা জানা (বা বিশ্বাসী) নয়।

সম্পাদনা করুন আমি এটি আরও একটু ব্যাখ্যা করার চেষ্টা করতে যাচ্ছি।

এই সমস্ত বোঝার কাঠামো হ'ল একটি সিদ্ধান্ত সমস্যা যা সন্তুষ্টিযোগ্যতা মডুলো থিওরি বা সংক্ষেপে এসএমটি হিসাবে পরিচিত। মূলত, আমরা শাস্ত্রীয় যুক্তির শীর্ষে নির্মিত একটি তত্ত্বের জন্য স্যাট সমাধান করতে চাই।

সুতরাং আমরা সমতা পরীক্ষা দিয়ে প্রথম ক্রমের শাস্ত্রীয় যুক্তি দিয়ে শুরু করি। কোন ফাংশন প্রতীকগুলিকে আমরা অন্তর্ভুক্ত করতে চাই এবং তত্ত্বটি নির্ধারণযোগ্য কিনা সেগুলির অ্যাকোরিয়ামগুলি নির্ধারণ করে।

এসএমটি কাঠামোয় প্রকাশিত প্রচুর আকর্ষণীয় তত্ত্ব রয়েছে। উদাহরণস্বরূপ, ডেটা স্ট্রাকচারের (যেমন তালিকাগুলি, বাইনারি ট্রি ইত্যাদি) তত্ত্ব রয়েছে যা প্রোগ্রামগুলি সঠিক প্রমাণে সহায়তা করতে ব্যবহৃত হয় এবং ইউক্লিডিয়ান জ্যামিতির তত্ত্বটি। তবে আমাদের উদ্দেশ্যে, আমরা বিভিন্ন ধরণের সংখ্যার তত্ত্বগুলি দেখছি।

প্রসবার্গার পাটিগণিত হ'ল সংযোজন সহ প্রাকৃতিক সংখ্যার তত্ত্ব। এই তত্ত্বটি সিদ্ধান্ত গ্রহণযোগ্য।

পেয়নো পাটিগণিত হ'ল প্রাকৃতিক সংখ্যার তত্ত্ব যা সংযোজন এবং গুণ রয়েছে। এই তত্ত্বটি সিদ্ধান্ত গ্রহণযোগ্য নয়, যেমন গ্যাডেল বিখ্যাত হিসাবে প্রমাণিত।

তারস্কি পাটিগণিত হ'ল সমস্ত ক্ষেত্রের ক্রিয়াকলাপ (সংযোজন, বিয়োগফল, গুণ এবং বিভাগ) সহ আসল সংখ্যার তত্ত্ব। মজার বিষয় হল, এই তত্ত্বটি নির্ধারণযোগ্য। এটি ছিল একটি অত্যন্ত পাল্টা স্বজ্ঞাত ফলাফল। আপনি ধরে নিতে পারেন কারণ এটি প্রাকৃতিক সংখ্যার "সুপারস্টেট" এটি "শক্ত", তবে এটি তেমন নয়; উদাহরণস্বরূপ, পূর্ণসংখ্যার উপরে লিনিয়ার প্রোগ্রামিংয়ের সাথে যুক্তিগুলির সাথে লিনিয়ার প্রোগ্রামিংয়ের তুলনা করুন।

আপনার কাছে যা প্রয়োজন তা সন্তুষ্টির পক্ষে আপাতদৃষ্টিতে স্পষ্ট বলে মনে হচ্ছে না, তবে এটি। উদাহরণস্বরূপ, আপনি যদি 2 এর ধনাত্মক বর্গমূল 3 এর সত্যিকারের কিউব মূলের সমান কিনা তা পরীক্ষা করতে চান, আপনি এটি সন্তুষ্টিযোগ্যতা সমস্যা হিসাবে প্রকাশ করতে পারেন:

$$\exists x. x>0 \wedge x^2 - 2 = 0 \wedge x^3 - 3 = 0$$

$e^x$

$\sin$$\{ \frac{x}{\pi} | \sin x = 0 \}$$\sin$

$e^x$$e^{ix}$

---

আলফ্রেড তারস্কি (1948), এলিমেন্টারি বীজগণিত এবং জ্যামিতির জন্য একটি সিদ্ধান্ত পদ্ধতি ।

Answer 6

সংখ্যাগুরুত্বের শিকড় হিসাবে গণ্য করে সঠিকভাবে বীজগণিত সংখ্যা হিসাবে সংখ্যার একটি বৃহত শ্রেণীর প্রতিনিধিত্ব করা সম্ভব ।

$\pi$$e$

Comments

$e$$e^{ix}$$\sin$$\cos$$\{ x \in \mathbb{R} | \sin x = 0 \}$

@ ছদ্মনামটি এটি সত্যিই আকর্ষণীয় বলে মনে হচ্ছে, তবে এটি সঠিকভাবে বুঝতে আমার গাণিতিক পটভূমি আছে বলে আমি মনে করি না ... "পূর্ণসংখ্যার যথেষ্ট কাছে" বলতে কী বোঝ?

— আরও অক্ষ

আমি ব্যাখ্যা করতে আমার উত্তর সংশোধন করতে যাচ্ছি।

— ছদ্মনামটি

Answer 7

$\pi$$\sqrt2$

Comments

এই উত্তরটি মিথ্যা। সঠিক বাস্তব পাটিগণিতের একটি সম্পূর্ণ ক্ষেত্র রয়েছে যা কম্পিউটারের মাধ্যমে কীভাবে বাস্তবের প্রতিনিধিত্ব করতে হয় তা ব্যাখ্যা করে explains একটি বাস্তবের একটি সসীম স্ট্রিং দ্বারা প্রতিনিধিত্ব করতে হবে এমন ধারণাটি ভুল হয়েছে। আমরা অসীম স্ট্রিংগুলিও ব্যবহার করতে পারি। ইতিমধ্যে অ্যালান টুরিং তার প্রথম গবেষণাপত্রে এটি লিখেছিলেন , তিনি যেখানে টুরিং মেশিন আবিষ্কার করেছিলেন!

— আন্দ্রেজ বাউর

আপনি কীভাবে কোনও প্রকৃত কম্পিউটারে সঞ্চারিত স্ট্রিংগুলি সঞ্চয় এবং পরিচালনা করতে পারেন সে সম্পর্কে কোনও কাগজের সাথে লিঙ্ক করতে পারেন, কারণ এটি প্রশ্নটি যা বলেছিল তার উত্তর হবে। এছাড়াও এটি তার প্রথম কাগজটি নষ্ট করেছিল, প্রথম প্রকাশ ছিল 1936, সেই কাগজটি 1937.

— এলপ্ল্যান্ট

আপনি ঠিক বলেছেন এটি 1937 এর কাগজ। অসীম স্ট্রিংগুলি কীভাবে ম্যানিপুলেটেড হয় তা দেখতে আপনি উদাহরণস্বরূপ টিসিপি / আইপি প্রোটোকলটি দেখতে পারেন। আমি কখনও বলিনি যে পুরো আসলটি অবশ্যই কম্পিউটারে সংরক্ষণ করতে হবে।

— আন্দ্রেজ বাউর

Answer 8

আপনি কম্পিউটারে সমস্ত আসল নম্বর উপস্থাপন করতে পারবেন না, তবে আপনি অনেককে উপস্থাপন করতে পারেন। আপনি ভগ্নাংশ ব্যবহার করতে পারেন যা ভাসমানের চেয়ে বেশি সংখ্যার প্রতিনিধিত্ব করবে। আপনি আরও কিছু পরিশীলিত কাজ করতে পারেন যেমন কিছু বহুবর্ষের মূল হিসাবে সংখ্যার প্রতিনিধিত্ব করে এমন একটি অনুমানের সাথে যে নিউটোন পদ্ধতির অধীনে সংখ্যায় রূপান্তরিত হবে।

Comments

এটি আবার একটি মিথ্যা জবাব, অজ্ঞতার দ্বারা উত্পন্ন। সঠিক বাস্তব পাটিগণনের একটি পুরো ক্ষেত্র রয়েছে যা উপযুক্ত ডেটা স্ট্রাকচার দ্বারা কীভাবে সমস্ত বাস্তবকে উপস্থাপন করতে হবে তা অধ্যয়ন করে।

— আন্দ্রেজ বাউর

@ আন্দ্রেজবাউয়ার তাই আপনি পরামর্শ দিচ্ছেন যে এমন একটি ডেটা স্ট্রাকচার রয়েছে যা কোনও আসল সংখ্যাকে উপস্থাপন করতে পারে? এই জাতীয় যে কোনও ডেটা স্ট্রাকচারকে কোনও সংখ্যার প্রতিনিধিত্ব করতে অগণিত অসীম পরিমাণ বিট ব্যবহার করতে হবে।

— অ্যালিস রিহেল

বিটগুলির একটি অগণিত পরিমাণ পর্যাপ্ত পরিমাণে, প্রথমত, এবং যেহেতু আপনার একবারে এগুলির সবগুলি প্রয়োজন হয় না বা আপনি সেগুলি একবারে প্রসেস করতে সক্ষম নন, সেগুলি যথাসময়ে পাশাপাশি জায়গাতেও সংরক্ষণ করা যায়।

— আন্দ্রেজ বাউর

@ আন্দ্রেজবাউর এই উত্তরটি সঠিক, এবং আপনার মত একই কথা বলছে, যদিও অনেক কম তথ্য রয়েছে। আপনি কম্পিউটারে সমস্ত আসল নম্বর উপস্থাপন করতে পারবেন না । আপনি যে কোনও আসল সংখ্যা উপস্থাপন করতে পারেন তবে একসাথে নয় not যদি কিছু হয় তবে আমি বিতর্ক করব যে আপনি "অনেকগুলি" প্রতিনিধিত্ব করতে পারেন, যেহেতু আপনি কেবলমাত্র যে কোনও কম্পিউটারে চূড়ান্তভাবে অনেকগুলি প্রতিনিধিত্ব করতে পারেন, এবং কেবল প্রায় কোনওটিই নেই (গাণিতিক দিক থেকে) একটি বিমূর্ত কম্পিউটারে যা সাধারণ গণনার মডেলের সমতুল্য (টুরিং) মেশিন সমতুল্য)।

— গিলস 16'12

Answer 9

যে কোনও সংখ্যককে যথাযথভাবে প্রতিনিধিত্ব করা সম্ভব যেখানে ইনপুটগুলি ক্রিয়াকলাপের স্ট্রিং হিসাবে সংরক্ষণের মাধ্যমে প্রতিনিধিত্বযোগ্য তাই উদাহরণস্বরূপ, আপনি সংরক্ষণ 1/3করেন 1 divided by 3অপারেশন বাতিল করে পরিচালনা করার মাধ্যমে আপনি পরবর্তী ক্রিয়াকলাপটিকে সহজতর করতে পারেন যার সঠিক উত্তর দিতে (1/3) * 3। এটি এমন পরিস্থিতিতেও পরিচালনা করতে পারে যেখানে আপনি অযৌক্তিকতাগুলি জানেন যেমন πআপনার গণনায় এটি ধরে রেখে।

যাইহোক, এটি প্রতিটি সংখ্যার জন্য ক্রমবর্ধমান পরিমাণের মেমরির প্রয়োজন এবং - আপনার সরলীকরণটি নিখুঁত নয় বলে ধরে নেওয়া - এটির জন্য সম্ভবত আপনি প্রচুর পরিমাণে কাজ করছেন এমন মানগুলির জন্য বর্ধমান পরিমাণ প্রয়োজন হবে।

Comments

$\sqrt{5 + 2\sqrt{6}} - \sqrt{2} = \sqrt{3}$

প্রকৃতপক্ষে. আসলে, পুরোপুরি সফলভাবে স্বয়ংক্রিয়ভাবে চালানো সম্ভবত কার্যকরভাবে অসম্ভব। তবে, আপনি সর্বাধিক সম্ভাব্য উপস্থাপনাটি ব্যবহার না করলেও ফলাফল সুনির্দিষ্ট থেকে যায়।

— জ্যাক এইডলি