দূরত্ব দ্বারা ওজনিত প্রান্তগুলি সহ একটি গ্রাফ থেকে এম্বেড করা একটি পয়েন্ট পুনরুদ্ধার করা

Question

ধরুন আমি আপনাকে ওজনযুক্ত প্রান্তগুলি সহ একটি অপ্রচলিত গ্রাফ দিয়েছি এবং আপনাকে বলছি যে প্রতিটি নোড 3 ডি স্পেসের বিন্দুর সাথে মিলে যায়। যখনই দুটি নোডের মধ্যে একটি কিনারা থাকবে তখনই প্রান্তের ওজন হ'ল পয়েন্টগুলির মধ্যে দূরত্ব।

আপনার লক্ষ্যটি কেবলমাত্র উপলব্ধ দূরত্ব (প্রান্তের ওজন দ্বারা উপস্থাপিত) প্রদত্ত পয়েন্টগুলির আপেক্ষিক অবস্থানগুলি পুনর্গঠন করা। উদাহরণস্বরূপ, আমি যদি আপনাকে দিয়ে থাকি $d_{0,1} = d_{0,2} = d_{0,3} = d_{1,2} = d_{1,3} = d_{2,3} = 1$তবে আপনি জানবেন যে বিন্দুগুলি একটি টেট্রহেড্রোনের উল্লম্ব । আপনি এটি জানেন না যে এটি উত্স, বা এটির অবস্থানের সাথে সম্পর্কিত বা এটি মিরর করা হয়েছে তবে আপনি এটি বলতে পারেন যে এটি একটি টেটারহেড্রন।

সাধারণভাবে, সমস্যাটি সহজ তবে আমি আপনাকে সমস্ত প্রান্তের দৈর্ঘ্য দিই। শুধু ইচ্ছামত একটি বিন্দু বাছাই $p_0$ এ হতে $(0,0,0)$ , তারপর প্রতিবেশী বিন্দু বাছাই $p_1$ এবং এটি সঞ্চালিত $(d_{0,1},0,0)$ , তারপর একটি সাধারণ প্রতিবেশী $p_2$ সম্মুখের ওখান পরার এক্সওয়াই বিমান, তারপরে একটি চূড়ান্ত সাধারণ প্রতিবেশী $p_3$ অর্ধ-স্থান z > 0 তে ত্রিভুজযুক্ত হয়$z > 0$এবং অবশিষ্ট প্রতিসাম্যতা ভাঙা (ধরে নিবেন আপনি ডিজেনরেট পয়েন্টগুলি বেছে নিলেন না)। আপনি এই চারটি পয়েন্টটি বাকী সমস্তগুলি ত্রিভুজ করতে ব্যবহার করতে পারেন।

অন্যদিকে, যখন কিছু প্রান্ত দৈর্ঘ্য অনুপস্থিত থাকে তবে এম্বেডটি পুনরুদ্ধার করা সম্ভব নাও হতে পারে। উদাহরণস্বরূপ, যদি এমন একটি শীর্ষবিন্দু থাকে যা কাটার সময় গ্রাফটি সংযোগ বিচ্ছিন্ন করে, তবে দুটি উপাদান পৃথক করে যদি অপসারণ করা হয় তবে একে অপরের সাথে সম্পর্কিত হয়ে ঘুরে বেড়াতে পারে।

যা প্রশ্ন উত্থাপন করে:

• সমাধান পাওয়া কত ব্যয়বহুল?
• অনুবাদ / রোটেশন / মিররিং পর্যন্ত কোনও সমাধান অনন্য কিনা আপনি কীভাবে নির্ধারণ করবেন? 3 সংযুক্তি কি যথেষ্ট? প্রয়োজনীয়?
• কোন ধরণের পরিস্থিতি সমস্যাটিকে তুচ্ছ করে তোলে?
• আমি যদি প্রান্তের ওজনগুলি প্রকৃতপক্ষে দূরত্বের পাপ 3 ডি পয়েন্টের সাথে প্রতিজ্ঞা না করি তবে এম্বেডিং আদৌ সম্ভব কিনা তা নির্ধারণ করা কত ব্যয়বহুল?

Comments

আমার কাছে মেশিন শেখার সমস্যা মনে হচ্ছে ...

— vzn

কোন উত্তরটি নির্বাচন করবেন তা আমার কোনও ধারণা নেই। এগুলি সমস্ত না-ওভারল্যাপিং উপায়ে ভাল। শীর্ষে ভোট দিয়েছেন একটাই!

— ক্রেগ গিডনি

Answer 1

এই সমস্যাটি সমাধান করার জন্য একটি অ্যালগরিদমিক পদ্ধতির: এটিকে ঝর্ণা দ্বারা সংযুক্ত নোডের সেট হিসাবে বিবেচনা করুন, তারপরে সেগুলি স্থির / আকৃতির আকারে দিন।

প্রতিটি প্রান্ত একটি বসন্তের সাথে মিলে যায়; মধ্যের দূরত্ব যদি বনাম এবং W হতে অনুমিত হয় ঘ বনাম , W তাই এটি আদর্শভাবে দৈর্ঘ্যের হতে চায়, তারপর বসন্ত নির্বাচিত ঘ বনাম , W (এটা আর বা খাটো হতে পারে, কিন্তু এই খরচ শক্তি)। আমরা এখন এমন এক পজিশনের জন্য সমাধান করতে চাই যা মোট শক্তি হ্রাস করে। ধরুন, প্রতিটি প্রান্তিক v বিন্দু x v ∈ R 3 এ স্থাপন করা হয়েছে । তাহলে এই ব্যবস্থার মোট শক্তি হবে$(v,w)$$v$$w$$d_{v,w}$$d_{v,w}$$v$$x_v \in \mathbb{R}^3$

$$E(x) = \sum_{(v,w) \in E} (\text{distance}(x_v,x_w) - d_{v,w})^2.$$

এখানে দেওয়া হয়েছে (এগুলি প্রান্তের ওজন) এবং আমরা এক্স ভি এর জন্য সমাধান করতে চাই (তারা পয়েন্টগুলির সমন্বয়কারী)।$d_{v,w}$$x_v$

আমরা এমন কোনও ব্যবস্থা জন্য সমাধান করতে পারি যা এই মোট শক্তি হ্রাস করে। এই ব্যবস্থাটি তখন পয়েন্টগুলির অবস্থানগুলির জন্য একটি যুক্তিসঙ্গত প্রার্থীকে সরবরাহ করে। এটি একটি অপ্টিমাইজেশান সমস্যা, এবং এই ধরণের অপটিমাইজেশন সমস্যা সমাধানের জন্য মানক কৌশল রয়েছে। উদাহরণস্বরূপ, এরিকা ক্লারিকের নেটওয়ার্ক সলিউশন নিবন্ধটি দেখুন ।$x$

আমি মনে করি না এর কোনও গ্যারান্টি এটি সঠিক পছন্দসই সমাধান সরবরাহ করবে। এটি সম্ভব যে অপ্টিমাইজেশান সমস্যাটি কোনও অন্য অনুকূল হয়ে উঠতে পারে যা আপনি যে পয়েন্টগুলির সন্ধান করছেন তার আসল বিন্যাস প্রতিফলিত করে না। তবে, যদি আপনার গ্রাফ পর্যাপ্ত পরিমাণে ঘন হয় তবে আমার সন্দেহ হয় এটি প্রায়শই কাজ করে এবং আপনাকে পছন্দসই সমাধান দিতে পারে।

---

পাদটীকা: অবশ্যই সর্বোত্তম ক্ষেত্রে আমরা এই সমস্যাটিকে কেবল অনুবাদ, ঘূর্ণন এবং প্রতিবিম্ব পর্যন্ত সমাধান করতে পারি কারণ এই রূপান্তরগুলি সমস্ত দূরত্ব সংরক্ষণ করে। সুতরাং, আপনি একটি অনন্য সমাধান আশা করতে পারবেন না - তবে আপনি আশা করতে পারেন সমাধানটি অনুবাদ, রোটেশন এবং প্রতিবিম্ব পর্যন্ত অনন্য।

---

অবশেষে, এম্বেডিংয়ের বিকৃতি হ্রাস করার সময়, গ্রাফগুলি স্পেসে এম্বেড করার বিষয়ে প্রচুর কাজ রয়েছে । এটি খুব সম্পর্কিত; আপনি মূলত মধ্যে একটি শূন্য-বিকৃতি এম্বেড করার জন্য জিজ্ঞাসা করা হয় ℓ 2 । সুতরাং, সেই প্রসঙ্গে তৈরি করা কৌশলগুলিও আপনার সমস্যার জন্য কার্যকর হতে পারে। সাধারণত, সেই কাজটি একটি নিম্ন-বিকৃতি এম্বেডিং সন্ধান করার দিকে দৃষ্টি নিবদ্ধ করে, কারণ সেই কাজটি এমন ক্ষেত্রে ফোকাস করে যেখানে কোনও নিখুঁত এমবেডিং নেই যা সমস্ত দূরত্বকে ঠিক মেলে তোলে, সুতরাং পরিবর্তে এটি একটি নিম্ন-বিকৃতি সমাধানের সন্ধান করে (যেখানে বেশিরভাগ প্রান্তের দূরত্ব রয়েছে) খুব ভাল মেলে) - যাতে কাজটি কিছুটা ভিন্ন সমস্যার দিকে মনোনিবেশ করা হয়। তবে এটি সম্ভব যে তাদের কৌশলগুলিও আপনার পরিস্থিতিতে কার্যকর হতে পারে। এটি একটি চেষ্টা মূল্য।$\ell_2$$\ell_2$

Answer 2

সমস্যাটি এনপি-কমপ্লিট । পয়েন্টগুলির অবস্থানগুলি একটি ভাল শংসাপত্র, সুতরাং এটি এনপিতে থাকে এবং আপনি সার্কিটগুলি এনকোড করতে পারেন "পয়েন্টগুলির একটি সন্তোষজনক সেট আছে?" সমস্যা।

সার্কিট মূল্যায়ন থেকে দূরত্ব এম্বেডিং পর্যন্ত হ্রাস

আমরা একটি সমন্বিত সিস্টেম তৈরি করে, এতে লজিক্যাল বিট স্থাপন করে, তারের বিটকে সমান করতে ও নোট এবং গেটের জন্য উইজেট তৈরি করে সার্কিট মূল্যায়নকে দূরত্ব এম্বেডিং সমস্যায় হ্রাস করতে যাচ্ছি।

1. সমন্বয়কারী । আমাদের এক ধরণের সমন্বয় ব্যবস্থা দরকার যা আমরা পয়েন্টগুলি অবস্থান করতে পারি। পয়েন্টগুলির "বেস" টেট্রহেড্রন তৈরি করে এটি করুন। একে অপরের থেকে দূরত্ব হিসাবে ঘোষিত চারটি পয়েন্ট যুক্ত করুন । এটি চারটি পয়েন্টের আকারকে একটি টেট্রহেড্রনে জোর করে। বেসের চারটি কোণার প্রত্যেকটির দূরত্ব নির্দিষ্ট করে আমরা আমাদের টেট্রহেড্রন সমন্বয় ব্যবস্থা সম্পর্কিত অন্যান্য পয়েন্টগুলি অবস্থান করতে পারি position টেট্রহেড্রন অনুবাদ এবং ঘোরানো এবং প্রতিবিম্বিত হতে পারে, তবে একই জিনিস অন্য সমস্ত পয়েন্টগুলির ক্ষেত্রেও ঘটবে।$1$

2. বিটস । কিছুটা করার জন্য, আমরা বেস টেট্রহেড্রন সম্পর্কিত পয়েন্টগুলির একটি ত্রিভুজ অবস্থান করি। ত্রিভুজটির স্বাভাবিকটি অবশ্যই Z অক্ষের সাথে wardর্ধ্বমুখী হওয়া উচিত, যাতে ত্রিভুজটি এক্সওয়াই বিমানের সমান্তরাল হয় (টেট্রহেড্রন স্থানাঙ্কে)। এছাড়াও এর প্রান্তগুলির দৈর্ঘ্য থাকতে হবে । এটি হয়ে গেলে, আমরা একটি "মান" পয়েন্ট ভি যোগ করি, অন্য তিনটি থেকে 1 দূরত্ব নির্দিষ্ট করে । আমরা ভি বেস বেস সমন্বয় সিস্টেমের সাথে সংযোগ করি না । এটি এটি দুটি সম্ভাব্য অবস্থান দেয়: কেন্দ্রিক $1$$v$$1$$v$একটি তেট্রহেড্রনের চূড়ান্ত কোণ হিসাবে ত্রিভুজটির উপরে বা নীচে 3 । বিন্দুটি ত্রিভুজটির উপরে থাকলে বিটটি চালু থাকে এবং এটি নীচে থাকলে বন্ধ থাকে।$\frac{1}{\sqrt{3}}$

3. পুতুল । আমরা দুটি বিটকে তাদের ত্রিভুজগুলির কেন্দ্রগুলির মধ্যবর্তী দূরত্বের সমান বলে তাদের মান বিন্দুর মধ্যকার দূরত্ব সমান করতে বাধ্য করতে পারি। একটি ব্যতিক্রম আছে: যখন বিটগুলির মধ্যে একটির উপরের বা নীচের কোণটি একে অপরের কেন্দ্রের বিমানের সাথে হুবহু লাইন করে। সেক্ষেত্রে আমরা প্রথমে একটি বিট উল্লম্বভাবে সরানোর জন্য তারের ব্যবহার করি।

4. না । আমরা একটি দ্বিতীয় মান বিন্দু যোগ করে একটি বিট অস্বীকৃতি পেতে পারেন একই ত্রিভুজ, কিন্তু আবশ্যক করার W একটি দূরত্ব হতে $w$$w$ থেকেv। এই বাহিনীWঅবস্থান বিপরীত নেওয়াবনামত্রিভুজ থেকে সম্মান সঙ্গে, আমাদের বিপরীত মান একটু দেয়।$\frac{2}{\sqrt{3}}$$v$$w$$v$

5. বোঝা । ওয়্যারগুলির সাথে আমাদের চারপাশে কাজ করার যে সমতুল্য সমস্যাটি ছিল তা আসলে বেশ কার্যকর। যখন বিটগুলি এইভাবে সরে যায়, যা আমরা উল্লম্ব তারের সাথে জোর করতে পারি, উচ্চতরটি নীচেরটিকে বোঝায়। উচ্চতরটি যদি সত্য হয় তবে নীচের দিকের কেবল শীর্ষটিই ঠিক দূরত্ব থেকে। যদি উচ্চতরটি মিথ্যা হয় তবে উপরের এবং নীচের অংশ দুটিই ঠিক দূরত্বের।

6. এবং । কিছুটা এ এবং বি এর সমান করার জন্য , এ এবং বি সম্মত হলে সমতা জোর করার জন্য আমাদের দুটি বিভক্তকরণ এবং একটি উইজেট প্রয়োজন । এর প্রভাবগুলি কেবল $C$$A$$B$$A$$B$ এবং$C \implies A$ । উইজেটটি তৈরি করতে আমরা A এবং B কে উল্লম্বভাবেসরানযাতে তারা একই স্তরের এবং একটি দূরত্ব$C \implies B$$A$$B$ পৃথক্, তাহলে আমরা সরাতেসিতাদের মধ্যে সমদূরবর্তী যাবে। এরপরে আমরা একটি পয়েন্টএসএএবংএসবিদূরত্বে যুক্ত করব$\frac{2}{\sqrt 3}$$C$$S_A$$S_B$যথাক্রমেAএবংBএর মান বিন্দুথেকে 3 , এবংএসএএবংএসবি এরমধ্যকার দূরত্বকে√হতে বাধ্য করে$\frac{\sqrt 2 - 1}{2 \sqrt 3}$$A$$B$$S_A$$S_B$ । আমরা একটি পয়েন্টএসসিএকটি দূরত্বadd যুক্ত করি$\frac{\sqrt 2 + 1}{\sqrt 3}$$S_C$উভয়এসএথেকে$\frac{\sqrt 2 + 1}{2 \sqrt 3}$$S_A$ এবং । এটি এ এবং বি এর মান বিন্দুগুলির মধ্যে একটি চেইন তৈরি করে , চেনের কেন্দ্রে এস সি সহ । যখন একজন ≠ বি , শৃঙ্খল সীমা প্রসারিত করা হয়েছে এস সি কেন্দ্রে হল সি 'র ত্রিভুজ। যখন একটি = বি চেইন লিঙ্ক সঠিক বিপরীত দিকে যেতে বাধ্য ঠেলাঠেলি সীমা এটি এবং স্থাপন এস সি তে সি থেকে সমান 'র মান বিন্দু একটি । জোর করে $S_B$$A$$B$$S_C$$A \neq B$$S_C$$C$$A = B$$S_C$$C$$A$$C$এর মান বিন্দু, আমরা একটি পয়েন্ট দূরত্ব 1 সন্নিবেশ করি$S_D$ এসসিএবংসিএর মান বিন্দুথেকে 3 । এই সীমাবদ্ধ করে নাসি'র মান বিন্দু যখনএকটি≠বি, কিন্তু বাহিনীএকটি=বি=সিযখনএকটি=বি।$\frac{1}{2 \sqrt 3}$$S_C$$C$$C$$A \neq B$$A=B=C$$A=B$

এই উপাদানগুলির সাথে, আপনি যে কোনও সার্কিটকে দূরত্ব এমবেডিংয়ে এনকোড করতে পারেন। ইনপুটগুলি বিট হয়ে যায়, গেটগুলি নোটগুলিতে বিভ্রান্ত হয়ে যায় এবং প্রয়োজনীয় সংস্থাগুলিতে নতুন বিট প্রবর্তন করে এবং এটিই। আউটপুটের অবস্থানটি সত্য হতে বাধ্য করুন এবং আপনি আপনার সন্তোষজনক সমস্যাটি পান।

Answer 3

স্বতন্ত্রতার উপর আংশিক উত্তর : 3-সংযুক্তি যথেষ্ট নয় ।

$Q_3$

$Q_3$

আগ্রহের প্রান্ত হতে কার্ডবোর্ডের বাক্সের কোণগুলি ধরুন। কার্ডবোর্ডের বাক্সের প্রতিটি কোণে অন্যান্য কোণ থেকে দূরত্ব স্থির থাকে যা এটির সাথে একটি বাক্সের মুখ ভাগ করে।

$Q_3$

Comments

আমি বেশ অনুসরণ করি না। তবে, আমি বুঝতে পেরেছি যে আপনি একে অপরের উপরে পয়েন্ট রেখে 3-সংযোগকে কার্যকরভাবে 1-সংযুক্তিতে রূপান্তর করতে পারেন। সুতরাং কাঁচা 3-সংযুক্তি পর্যাপ্ত হতে পারে না।

— ক্রেগ গিডনি

@ ডিডাব্লু আমি প্রস্তাবিত যুক্তিটি প্রসারিত করি। আমি আপনাকে যুক্তি রাখিনি কারণ four points laying above or below the other fourমিরর করেই একে অপরের রূপান্তরিত হতে পারে।

— অপিওয়াত চানতাবুল

$K_4$

$K_4$$K_4$

Answer 4

এটি নিম্নলিখিত সমস্যা হিসাবে পরিচিত এবং উদাহরণস্বরূপ সেন্সর নেটওয়ার্কগুলি থেকে কাছাকাছি নোডগুলির দূরত্ব পরিমাপ করতে পারে এমন সমন্বয়গুলি পুনর্গঠনের সাথে ঘটে এবং এই কাগজটি শীর্ষস্থানীয় অ্যালগরিদম (গুলি) এর সাথে একটি মিনি-সমীক্ষা হিসাবে কাজ করতে পারে। একটি শীর্ষস্থানীয় পদ্ধতি সিঙ্গুলার মান প্রক্ষেপণ হিসাবে পরিচিত, অন্য একক একক মান থ্রেশোল্ডিং। অ্যালগরিদমগুলি সাধারণত ম্যাট্রিক্স বীজগণিত এবং র‌্যাঙ্ক হ্রাসের উপর ভিত্তি করে। কাগজ দুটি অ্যালগরিদম প্রয়োগ করে এবং কিছু অভিজ্ঞতা অভিজ্ঞতা দেয়।

আঞ্চলিক দূরত্বের তথ্য Xu, চেন থেকে ইউক্লিডিয়ান দূরত্ব পুনর্গঠন