স্ট্যাক ওভারফ্লোতে একটি প্রশ্ন জিজ্ঞাসা করা হয়েছিল ( এখানে ):
একটি পূর্ণসংখ্যার দেওয়া হয় , এবং এর পূর্ণসংখ্যার মানগুলির সমস্ত সম্ভাব্য সংমিশ্রণগুলি মুদ্রণ করুন যা সমীকরণটি সমাধান করে ।এ , বি , সি ডি এ 2 + বি 2 + সি 2 + ডি 2 = এন
এই প্রশ্নটি অবশ্যই সংখ্যা তত্ত্বের বাচেটের কনজেকচারের সাথে সম্পর্কিত (কখনও কখনও তার প্রমাণের কারণে ল্যাঞ্জ্রেজের ফোর স্কোয়ার উপপাদ্য হিসাবে ডাকা হয়)। কিছু কাগজপত্র রয়েছে যেগুলি একটি একক সমাধান কীভাবে সন্ধান করতে হয় তা নিয়ে আলোচনা করে তবে আমি কোনও নির্দিষ্ট জন্য সমস্ত সমাধান সন্ধান করতে পারি (যেটি, সমস্ত সংমিশ্রণ নয়, সমস্ত অনুক্রমের নয় ) এই বিষয়ে কথা বলে এমন কিছু খুঁজে পাচ্ছি না ।
আমি এটি সম্পর্কে বেশ খানিকটা ভাবছিলাম এবং আমার কাছে মনে হয় এটি সময় এবং স্পেসে সমাধান করা যায়, যেখানে কাঙ্ক্ষিত যোগফল। তবে, বিষয়টিতে কোনও পূর্বের তথ্যের অভাব, আমি নিশ্চিত নই যে এটি আমার পক্ষ থেকে কোনও তাত্পর্যপূর্ণ দাবি বা কেবল একটি তুচ্ছ, স্পষ্ট বা ইতিমধ্যে পরিচিত ফলাফল কিনা।এন
সুতরাং, তাহলে প্রশ্নটি হল, প্রদত্ত জন্য আমরা চার-স্কয়ার সমষ্টিগুলির কত দ্রুত খুঁজে পেতে পারি ?
ঠিক আছে, এখানে (প্রায়) ও (এন) অ্যালগোরিদম যা আমি ভাবছিলাম। প্রথম দুটি সমর্থনকারী ফাংশন, নিকটতম পূর্ণসংখ্যার বর্গমূলের ফাংশন:
// the nearest integer whose square is less than or equal to N
public int SquRt(int N)
{
return (int)Math.Sqrt((double)N);
}
এবং 0 থেকে N পর্যন্ত যোগফলের সমস্ত টুস্কয়ার জুড়ি ফেরত দেওয়ার জন্য একটি ফাংশন:
// Returns a list of all sums of two squares less than or equal to N, in order.
public List<List<int[]>> TwoSquareSumsLessThan(int N)
{
//Make the index array
List<int[]>[] Sum2Sqs = new List<int[]>[N + 1];
//get the base square root, which is the maximum possible root value
int baseRt = SquRt(N);
for (int i = baseRt; i >= 0; i--)
{
for (int j = 0; j <= i; j++)
{
int sum = (i * i) + (j * j);
if (sum > N)
{
break;
}
else
{
//make the new pair
int[] sumPair = { i, j };
//get the sumList entry
List<int[]> sumLst;
if (Sum2Sqs[sum] == null)
{
// make it if we need to
sumLst = new List<int[]>();
Sum2Sqs[sum] = sumLst;
}
else
{
sumLst = Sum2Sqs[sum];
}
// add the pair to the correct list
sumLst.Add(sumPair);
}
}
}
//collapse the index array down to a sequential list
List<List<int[]>> result = new List<List<int[]>>();
for (int nn = 0; nn <= N; nn++)
{
if (Sum2Sqs[nn] != null) result.Add(Sum2Sqs[nn]);
}
return result;
}
অবশেষে, নিজেই অ্যালগরিদম:
// Return a list of all integer quads (a,b,c,d), where:
// a^2 + b^2 + c^2 + d^2 = N,
// and a >= b >= c >= d,
// and a,b,c,d >= 0
public List<int[]> FindAllFourSquares(int N)
{
// get all two-square sums <= N, in descending order
List<List<int[]>> Sqr2s = TwoSquareSumsLessThan(N);
// Cross the descending list of two-square sums <= N with
// the same list in ascending order, using a Merge-Match
// algorithm to find all combinations of pairs of two-square
// sums that add up to N
List<int[]> hiList, loList;
int[] hp, lp;
int hiSum, loSum;
List<int[]> results = new List<int[]>();
int prevHi = -1;
int prevLo = -1;
// Set the Merge sources to the highest and lowest entries in the list
int hi = Sqr2s.Count - 1;
int lo = 0;
// Merge until done ..
while (hi >= lo)
{
// check to see if the points have moved
if (hi != prevHi)
{
hiList = Sqr2s[hi];
hp = hiList[0]; // these lists cannot be empty
hiSum = hp[0] * hp[0] + hp[1] * hp[1];
prevHi = hi;
}
if (lo != prevLo)
{
loList = Sqr2s[lo];
lp = loList[0]; // these lists cannot be empty
loSum = lp[0] * lp[0] + lp[1] * lp[1];
prevLo = lo;
}
// do the two entries' sums together add up to N?
if (hiSum + loSum == N)
{
// they add up, so cross the two sum-lists over each other
foreach (int[] hiPair in hiList)
{
foreach (int[] loPair in loList)
{
// make a new 4-tuple and fill it
int[] quad = new int[4];
quad[0] = hiPair[0];
quad[1] = hiPair[1];
quad[2] = loPair[0];
quad[3] = loPair[1];
// only keep those cases where the tuple is already sorted
//(otherwise it's a duplicate entry)
if (quad[1] >= quad[2]) //(only need to check this one case, the others are implicit)
{
results.Add(quad);
}
//(there's a special case where all values of the 4-tuple are equal
// that should be handled to prevent duplicate entries, but I'm
// skipping it for now)
}
}
// both the HI and LO points must be moved after a Match
hi--;
lo++;
}
else if (hiSum + loSum < N)
{
lo++; // too low, so must increase the LO point
}
else // must be > N
{
hi--; // too high, so must decrease the HI point
}
}
return results;
}
যেমনটি আমি আগেই বলেছি, এটি ও (এন) এর খুব কাছাকাছি হওয়া উচিত, তবে, যুয়াল ফিল্মাস উল্লেখ করেছেন যেহেতু N এর সাথে চার স্কোয়ার সলিউশন সংখ্যা ক্রম (N ln ln N) হতে পারে, তখন এই অ্যালগরিদম হতে পারে না তার চেয়ে কম