অনেক বিভাজক শর্ত সহ সাবসেট সমষ্টি সমস্যা

প্রাকৃতিক সংখ্যার একটি সেট হতে দিন । আমরা বিভাজ্যতা আংশিক আদেশের অধীনে বিবেচনা করি , অর্থাৎ । দিন $S$ $S$ $s_1 \leq s_2 \iff s_1 \mid s_2$

$\qquad \displaystyle \alpha(S) = \max \{|V| \mid V\subseteq S, V$ একটি antichain $\}$ ।

যদি আমরা সংখ্যার মাল্টিসেট থাকা সাবসেট সমষ্টি সমস্যাটি বিবেচনা করি $S$ , তবে সম্পর্কিত সমস্যার জটিলতা সম্পর্কে আমরা কী বলতে পারি $\alpha(S)$ ? তা দেখতে সহজ $\alpha(S)=1$ , তাহলে সমস্যাটি সহজ is মনে রাখবেন যে হার্ড ন্যাপস্যাক সমস্যার জন্য এমনকি যখন $\alpha(S)=1$ ^$\dagger$ তখনও এটি সহজ ।

$\dagger$ অনুক্রমিক ঝোলা সমস্যার সমাধান এম Hartmann এবং টি অলমস্টেড দ্বারা (1993)

complexity-theory number-theory knapsack-problems

— চাও কু
সূত্র

"সম্পর্ক" পরিবর্তে, আমি "আংশিক ক্রম" পদটি ব্যবহার করার পরামর্শ দিই। এছাড়াও, ন্যূনতম চিন্তায়, ফ্রোবিনিয়াস মুদ্রা সমস্যা প্রাসঙ্গিক হতে পারে (অবশ্যই, যদিও নিশ্চিত নয়)

— আর্যভট্ট

লিনিয়ার প্রোগ্রামিং ব্যবহার করে বহুবিধ সময়ে এই সমস্যাটি সমাধান করা যেতে পারে এবং এটি কোনও আংশিক ক্রমের জন্য সত্য । যাইহোক, আমরা অন্তর্ভুক্তির মাধ্যমে প্রমাণ করতে পারি যে যে কোনও সীমাবদ্ধ আংশিক অর্ডার সেট সীমাবদ্ধ সেট রয়েছে এবং একটি বাইজেকশন , যেমন সমস্ত । $(S,\le)$ $(S,\le)$ $S'\subseteq\mathbb{N}$ $f:S\rightarrow S'$ $s_1,s_2\in S, s_1\le s_2 \Leftrightarrow f(s_1) | f(s_2)$

যাক মধ্যে চেইন দ্বারা গঠিত সেট হতে । মনে করিয়ে দিন যে একটি হল চেইন সবার জন্য iff যে , বা $\mathcal{C}$ $S$ $C$ $v,v'$ $C$ $v\le v'$ $v'\le v$

এখন একটি বুলিয়ান পরিবর্তনশীল তৈরি প্রত্যেকের জন্য , এবং একটি বুলিয়ান পরিবর্তনশীল প্রতিটি শৃঙ্খল জন্য । আমরা আমাদের সমস্যার জন্য নিম্নলিখিত রৈখিক প্রোগ্রাম লিখতে পারি : $x_v$ $v\in S$ $y_C$ $C$ $(P)$

\begin{aligned} Max \sum_{v \in S} x_{v} \\ subject to \sum_{v \in C} & x_{v} \leq 1, \forall C \in C \\ x_{v} \in {0, 1}, v \in S \end{aligned}

$\begin{split} \text{Max} \displaystyle\sum\limits_{v\in S} x_v \\ \text{subject to} \displaystyle\sum\limits_{v\in C} &x_v \le 1, \forall C\in\mathcal{C}\\ &x_v \in \{0,1\}, v\in S \end{split}$

এবং এর দ্বৈত : $(D)$

\begin{aligned} Min \sum_{C \in C} y_{C} \\ subject to \sum_{C : v \in C} & y_{C} \geq 1, \forall v \in S \\ y_{C} \in {0, 1}, C \in C \end{aligned}

$\begin{split} \text{Min} \displaystyle\sum\limits_{C\in \mathcal{C}} y_C\\ \text{subject to} \displaystyle\sum\limits_{C:v\in C} &y_C \ge 1, \forall v\in S\\ &y_C \in \{0,1\}, C\in \mathcal{C} \end{split}$

তারপরে চেইন দ্বারা নির্ধারিত অর্ডারের ন্যূনতম কভারটি অনুসন্ধান করার সমস্যাটি আমাদের সমস্যার দ্বৈত। দিলওয়ার্থের উপপাদ্যটি বলে

একটি অ্যান্টিচেইন এ রয়েছে এবং শৃঙ্খলাগুলির একটি পরিবার পিতে ক্রমের একটি বিভাজন রয়েছে, যেমন পার্টিশনে শৃঙ্খলের সংখ্যা এ এর কার্ডিনালটির সমান হয়

যার অর্থ এই যে দুটি সমস্যার সর্বোত্তম সমাধান মেলে: $Opt(P)=Opt(D)$

আসুন ( রেসপন্স ) ( শিষ্য ) এর অর্থাত একই লিনিয়ার প্রোগ্রাম যেখানে সমস্ত সীমাবদ্ধতা ( রেসপন্স) এর মধ্যে রয়েছে। ) দ্বারা প্রতিস্থাপিত হয় ( রেস্প। )। যাক এবং তাদের সন্তোষজনক সমাধান হবে। যেহেতু আমাদের রয়েছে: এবং দুর্বল দ্বৈততা উপপাদ্যটি প্রতিষ্ঠিত করে যে $(P^*)$ $(D^*)$ $(P)$ $(D)$ $x_v\in\{0,1\}$ $y_C\in\{0,1\}$ $x_v\in [0,1]$ $y_C\in [0,1]$ $Opt(P^*)$ $Opt(D^*)$ $\{0,1\}\subseteq [0,1]$

O p t (P) \leq O p t (P^{*}) and O p t (D^{*}) \leq O p t (D)

$Opt(P)\le Opt(P^*) \text{ and } Opt(D^*)\le Opt(D)$

O p t (P^{*}) \leq O p t (D^{*})

$Opt(P^*)\le Opt(D^*)$ তারপরে সমস্ত কিছু একসাথে রেখে আমাদের কাছে রয়েছে:

O p t (P) = O p t (P^{*}) = O p t (D^{*}) = O p t (D)

$Opt(P)= Opt(P^*)=Opt(D^*)=Opt(D)$

তারপরে, এলিপসয়েড পদ্ধতি ব্যবহার করে , আমরা বহুবর্ষের সময় ( ) গণনা করতে পারি । সীমাবদ্ধতার একটি ঘৃণ্য সংখ্যা রয়েছে তবে একটি বহুপদী সময় বিভাজন ওরাকল বিদ্যমান। প্রকৃতপক্ষে একটি সমাধান দেওয়া , আমরা গনা আসতে পারে যা সমস্তই দম্পতিরা এবং চেক যদি বা , সেইজন্য এবং বহুপদী সময় কিনা তা স্থির সম্ভবপর অথবা অন্যথায় চেইন যুক্ত বাধ্যতা লঙ্ঘন করা হয়েছে। $Opt(P^*)$ $=Opt(P)$ $X$ $s_1,s_2\in X$ $s_1\le s_2$ $s_2\le s_1$ $X$ $\{v_1,v_2\}$

— ম্যাথিউ মারি
সূত্র

এলিসপয়েড পদ্ধতি সীমাবদ্ধতার সংখ্যার যাই হোক না কেন কাজ করে, যদি আমাদের (1) বহুবর্ষীয় ভেরিয়েবল থাকে এবং (2) একটি বিভাজন ওরাকল যা কোনও সমাধান যে বহুবচনের সময়ে সিদ্ধান্ত নেয় সম্ভাব্য কিনা বা দ্বারা লঙ্ঘিত একটি সীমাবদ্ধতা খুঁজে পায় কিনা । আমি [ www-math.mit.edu/~goemans/18433S09/ellipsoid.pdf] পড়ার পরামর্শ দিচ্ছি , উইকিপিডিয়া এই বিষয়টিতে খুব বেশি পরিষ্কার নয়

x

$x$

x

$x$

x

$x$

— ম্যাথিউ

ঘনিষ্ঠতার সংখ্যার সংখ্যক সমস্যা কেন নয় এবং দ্বৈততার প্রাসঙ্গিকতা কেন তা ব্যাখ্যা করার জন্য ধন্যবাদ। খুব সুন্দর!

— ডিডাব্লু