কেন আমরা বিশ্বাস করি যে PSPACE P এক্সপটাইম?

পিএসপিএসিই কেন সাধারণত এক্সপটাইম থেকে আলাদা বলে বিশ্বাস করা হয় সে বিষয়ে স্বজ্ঞাতভাবে বুঝতে আমার সমস্যা হচ্ছে। যদি পিএসপিএসিই ইনপুট আকার মধ্যে স্পেস পলিনোমিয়ালে সমাধানযোগ্য সমস্যার সেট হয় $f(n)$ , তবে কীভাবে এমন এক শ্রেণীর সমস্যা থাকতে পারে যা বেশি ক্ষতিকারক সময় ধাক্কা খায় এবং তাত্পর্যপূর্ণ স্থান ব্যবহার না করে?

যুবাল ফিল্মের উত্তর ইতিমধ্যে অত্যন্ত সহায়ক। তবে, কেউ কি আমার আলগা যুক্তিটি স্কেচ করতে পারে কেন এটি PSPACE P এক্সপটাইম (অর্থাত্ PSPACE এক্সপটাইমের যথাযথ উপসেট নয়) হতে পারে? ইনপুট আকারের সাথে বহুবর্ষীয়ভাবে স্কেল করে এমন স্পেসের সাথে প্রাপ্ত সিস্টেমের কনফিগারেশনের মোট সংখ্যার জন্য আমরা ওপেনবাউন্ডকে পরাস্ত করতে ক্ষতিকারক স্থানের প্রয়োজন হবে না? কেবল বলতে গেলে, আমি বুঝতে পারি কেন এক্সপটিম - এক্সপ্যাক্স একটি উন্মুক্ত বিষয়, তবে পিএসপিএসিই এবং এক্সপটাইমের মধ্যে সম্পর্ক সম্পর্কে আমার বোঝার অভাব রয়েছে।

complexity-theory complexity-classes intuition

— user25876
সূত্র

সংজ্ঞাগুলি রিফ্রেশ করা যাক।

পিএসপিএসিই হ'ল সমস্যাগুলির শ্রেণি যা একটি বহিরাগত স্থান সীমানা সহ একটি ডিস্ট্রিমেন্টিক টিউরিং মেশিনে সমাধান করা যায়: এটি হ'ল এই জাতীয় প্রতিটি সমস্যার জন্য একটি মেশিন রয়েছে যা বেশিরভাগ টেপ সেল ব্যবহার করে সমস্যাটি স্থির করে যখন এর ইনপুটটির দৈর্ঘ্য হয় , কিছু বহুবচন । $p(n)$ $n$ $p$
এক্সপি হ'ল সমস্যাগুলির শ্রেণি যা নির্ধারিত সময়সীমার সাথে একটি নির্ধারক টিউরিং মেশিনে সমাধান করা যায়: এই জাতীয় প্রতিটি সমস্যার জন্য একটি মেশিন রয়েছে যা সর্বোচ্চ ব্যবহার করে সমস্যাটি স্থির করে তার ইনপুটটির দৈর্ঘ্যযখন পদক্ষেপ for কিছু বহুবচন । $2^{p(n)}$ $n$ $p$

প্রথমত, আমাদের বলা উচিত যে এই দুটি শ্রেণি সমান হতে পারে। এগুলি পৃথক হওয়ার সম্ভাবনা বেশি বলে মনে হয় তবে ক্লাসগুলি মাঝে মাঝে একই হয়: উদাহরণস্বরূপ, ২০০৪ সালে রিংল্ড প্রমাণ করেছেন যে প্রতিসম লগস্পেসটি সাধারণ লগস্পেসের সমান; 1987 সালে, ইম্মারম্যান এবং স্লেলেপসেসিনি স্বাধীনভাবে প্রমাণ করলেন যে এন.এল. $\;=\;$ সহ-এনএল (এবং বাস্তবে, এনএসপিএসিই [ ) $f(n)$ $\;=\;$ সহ-এনএসপিএসি [ ] যে $f(n)$ কোনও ) এর জন্য। $f(n)\geq \log n$

তবে, এই মুহুর্তে, বেশিরভাগ লোকেরা বিশ্বাস করে যে পিএসপিএসিই এবং এক্সপি আলাদা। কেন? আসুন দেখে নেওয়া যাক আমরা দুটি জটিল শ্রেণিতে কী করতে পারি। পিএসপিএসি-তে একটি সমস্যা বিবেচনা করুন । দৈর্ঘ্য ইনপুট সমাধানের জন্য আমাদের টেপ সেলগুলি ব্যবহার করার অনুমতি দেওয়া হয়েছে তবে এটি এক্সপির সাথে তুলনা করা শক্ত , যা একটি সময়সীমা দ্বারা নির্দিষ্ট করা হয় specified $p(n)$ $n$

PSPACE সমস্যার জন্য আমরা কত সময় ব্যবহার করতে পারি ? যদি আমরা কেবল টেপ কক্ষে লিখি তবে সেখানে বিভিন্ন স্ট্রিং রয়েছে যা টেপে উপস্থিত হতে পারে, বাইনারি বর্ণমালা ধরে। টেপ মাথাটি কোনও কোনও বিভিন্ন জায়গায় থাকতে পারে এবং ট্যুরিং মেশিনটি একটিতে থাকতে পারে $p(n)$ $2^{p(n)}$ $p(n)$ $k$ বিভিন্ন রাজ্যে । সুতরাং কনফিগারেশনের মোট সংখ্যা $T(n) = k\,p(n)\,2^{p(n)}\!$ । পায়রাহোলের নীতি অনুসারে, আমরা পদক্ষেপের জন্য চালিয়ে গেলে , আমাদের অবশ্যই দুটি বার একটি কনফিগারেশন দেখতে হবে তবে, যেহেতু মেশিনটি হ'ল ডিস্ট্রিমেন্টিক, এর অর্থ এটি প্রায় লুপ হয়ে যায় এবং একই কনফিগারেশনটি প্রায়শই ঘুরে দেখা যায়, অর্থাৎ এটি জিতেছে ' টি বন্ধ। যেহেতু PSPACE এ থাকার সংজ্ঞাটির অংশটি হ'ল আপনাকে সমস্যাটি স্থির করতে হবে , যে কোনও মেশিন যে সমাপ্ত হয় না তা PSPACE সমস্যার সমাধান করে না । অন্য কথায়, পিএসপিএসিই হচ্ছে এমন সমস্যাগুলির শ্রেণি যা বেশিরভাগ স্পেস এবং সর্বাধিক ব্যবহার করে সিদ্ধান্ত গ্রহণযোগ্য $T(n)+1$ $p(n)$ সময়, যা সর্বাধিক $k\,p(n)\,2^{p(n)}$ $2^{q(n)}$ কিছু বহুবচন জন্য । সুতরাং আমরা যে PSPACE দেখিয়েছি $q$ $\;\subseteq\;$ EXP ।

এবং একটি এক্সপি সমস্যার জন্য আমরা কতটা জায়গা ব্যবহার করতে পারি ? ঠিক আছে, আমাদের পদক্ষেপের অনুমতি দেওয়া হয়েছে এবং টুরিং মেশিনের প্রধান প্রতিটি পদক্ষেপে কেবল একটি অবস্থান সরিয়ে নিতে পারে। যেহেতু মাথাটি অবস্থানগুলিতে স্থানান্তর করতে পারে না , তাই আমরা কেবলমাত্র সেই বহু টেপ সেল ব্যবহার করতে পারি। $2^{p(n)}$ $2^{p(n)}$

পার্থক্যটি হ'ল: যদিও পিএসপিএসিই এবং এক্সপি উভয়ই তাত্পর্যপূর্ণ সময়ে সমাধান করা যেতে পারে এমন সমস্যা, তবে পিএসপিএসিই বহুপক্ষীয় স্থান ব্যবহারের মধ্যে সীমাবদ্ধ, অন্যদিকে এক্সপি ক্ষতিকারক স্থান ব্যবহার করতে পারে। এটি ইতিমধ্যে পরামর্শ দিয়েছে যে এক্সপিকে আরও শক্তিশালী হওয়া উচিত। উদাহরণস্বরূপ, ধরুন আপনি গ্রাফগুলি সম্পর্কে কোনও সমস্যা সমাধানের চেষ্টা করছেন। ইন PSPACE , আপনি ছেদচিহ্ন প্রতিটি উপসেট তাকান পারেন (এটি শুধুমাত্র লাগে বিট নিচে একটি উপসেট লিখতে)। আপনি প্রতিটি উপসেটে গণনা করার জন্য কিছু কার্যকারী স্থান ব্যবহার করতে পারেন তবে একবার কোনও সাবসেটের কাজ শেষ করার পরে আপনাকে অবশ্যই সেই কার্যকারী স্থানটি মুছে ফেলতে হবে এবং পরবর্তী সাবসেটের জন্য এটি পুনরায় ব্যবহার করতে হবে। ইন EXP $n$ অন্যদিকে, আপনি কেবলমাত্র প্রতিটি উপসেটের দিকে নজর রাখতে পারবেন না তবে আপনার নিজের কাজের জায়গাটি পুনরায় ব্যবহার করার দরকার নেই, যাতে আপনি স্বতন্ত্রভাবে প্রতিটি সম্পর্কে কী শিখলেন তা মনে রাখতে পারেন। এটি আরও শক্তিশালী হওয়া উচিত বলে মনে হয়।

সেগুলি কেন আলাদা হওয়া উচিত তার জন্য আরও একটি স্বজ্ঞাততা হ'ল সময় এবং স্থানের শ্রেণিবিন্যাসের উপপাদাগুলি আমাদেরকে বলে যে একটি সামান্য বিট আরও স্থান বা সময়কে অনুমতি দেওয়ার ফলে আপনি কী গণনা করতে পারবেন তা বাড়িয়ে তোলে। শ্রেণিবিন্যাসের উপপাদাগুলি কেবল আপনাকে পছন্দগুলির মতো তুলনা করতে দেয় (উদাহরণস্বরূপ, তারা পিএসপিএসিই দেখায় $\;\subsetneq\;$ এক্সপেস এবং পি $\;\subsetneq\;$ এক্সপ ) যাতে তারা সরাসরি PSPACE বনাম এক্সপিতে প্রয়োগ করে না তবে তারা আমাদের একটি দৃ int ় স্বীকৃতি দেয় যা আরও সংস্থান হিসাবে বোঝায় যে আরও সমস্যা সমাধানযোগ্য।

— ডেভিড রিচার্বি
সূত্র

যদি এক্সপটাইম এক্সফেনশিয়াল স্পেসের অনুমতি দেয় তবে আমি মনে করি সঠিক প্রশ্নটি কি আমরা বলতে পারি যে এটি সত্য হতে পারে যে এক্সপাসটাইম এক্সপাস্যাকের একটি উপযুক্ত উপসেট কারণ এক্সপাসপ্যাকটি এমন সমস্যাগুলিকে মঞ্জুরি দেয় যা অতিমাত্রায় এক্সপশনিয়াল সময়ে সমাধান করা যায়?

— ব্যবহারকারী 25876

যদি এটি সত্য হয় তবে আমি মনে করি সবকিছুই আমার জন্য অর্থবোধ করে। কিছু কারণে আমি ধরে নিয়েছিলাম যে এক্সপটিমটি ক্ষতিকারক স্থান ব্যবহার নিষিদ্ধ করে, তবে এটি তেমন নয়। এখান থেকেই আমার বিভ্রান্তি এসেছে।

— ব্যবহারকারী 25876

আমি আপনার সাবসেট উদাহরণ পছন্দ। আইআইআরসি সঠিকভাবে, আমরা এমন সমস্যাগুলি জানি যা অনলাইনে গণনা করা যায় না (পাশাপাশি পুরো তথ্য সহ) যাতে আপনাকে সমস্ত উপাদান মেমরিতে রাখতে হয়। স্বজ্ঞাতভাবে বলতে।

— রাফেল

@ ব্যবহারকারী 25876 হ্যাঁ, একই যুক্তি যা বলেছে যে কোনও পিএসপিএসিই মেশিন সূচকীয় সময় ব্যবহার করতে পারে তা বলে যে একটি এক্সপ্যাস মেশিন দ্বিগুণ-তাত্পর্যপূর্ণ সময় ব্যবহার করতে পারে (যেমন,

)।

2^{2^{p o l y} (n)}

$2^{2^\mathrm{poly}(n)}$

— ডেভিড রিচার্বি

@ ডেভিডরিচার্বি আমি আপনার উত্তরটি গ্রহণ করছি। এক্সপিটাইমের যথাযথ উপসেট হিসাবে পিএসপিএসিই প্রমাণিত বা অস্বীকার করার জন্য প্রযুক্তিগত বাধাগুলি নিয়ে বিটিডাব্লু আলোচনা করে কোনও কাগজপত্রের রেফারেন্স জানেন? আমি আসলে এটি সম্পর্কে এখন খুব কৌতূহলী।

— ব্যবহারকারী 25876