গ্রাফ ইসমরফিজমে গ্রুপ আইসোমরফিজম

12

কম্পিউটেশনাল জটিলতা সম্পর্কে কিছু ব্লগ পড়ার ক্ষেত্রে (উদাহরণস্বরূপ এখানে ) আমি এই ধারণাটি একীভূত করেছিলাম যে দুটি গ্রুপ আইসোমরফিক হয় কিনা তা নির্ধারণের জন্য আইসোমরফিজমের জন্য দুটি গ্রাফ পরীক্ষা করার চেয়ে সহজ। উদাহরণস্বরূপ, উল্লিখিত পৃষ্ঠায় এটি বলেছে যে গ্রাফ আইসোমরফিজম গ্রুপ আইসোমরফিজমের চেয়ে বেশি সাধারণ সমস্যা।

অতএব আমি নিম্নলিখিত পোস্ট করছি

একটি গোষ্ঠী দেওয়া হয়েছে কেউ আকারের বহুবর্ষীয় গ্রাফ এর নির্মাণ করতে পারে যেমন $G$ $\Gamma(G)$ $|G|$ জন্য গোষ্ঠীগুলি এবং
$Γ (G) ≅ Γ (H) ⟺ G ≅ H$ $\Gamma(G) \cong \Gamma(H) \iff G \cong H$ $G$ $H?$

complexity-theory graph-isomorphism group-theory

— Jernej
সূত্র

যদিও দু'একটি দৃ noted়ভাবে যুগ যুগ ধরে লক্ষণীয় হিসাবে গবেষণা এবং গবেষণা করা হয়েছে, আফাক্ট গ্রুপ আইসোমর্ফিজম আসলে গ্রাফ আইসোমর্ফিিজমের চেয়ে "সহজ" প্রমাণিত হয় না অর্থাৎ এটির জটিলতা কীভাবে সম্পর্কিত তা মোটামুটি একটি বড় উন্মুক্ত প্রশ্ন। এছাড়াও যদি আপনি গণিতের সম্পর্ককে কথায় বানান করেন তবে এটি সহায়ক হবে।

— vzn

12

হ্রাস মিলারের একটি ক্লাসিক কাগজে বর্ণনা করা হয়েছে ।

— যুবাল ফিল্ম
সূত্র

4

এত দ্রুত নয়। এখানে একটি বড় লুকোচুরি অস্পষ্টতা রয়েছে:

গণনার জন্য আপনি কীভাবে আপনার গ্রুপকে ইনপুট করবেন?

গ্রাফগুলির বিপরীতে, গ্রুপগুলি ইনপুট হতে পারে যা ইনপুট আকার এবং ফলস্বরূপ জটিলতার দিক থেকে অনেক আলাদা different মিলার হিসাবে উদ্ধৃত সংস্করণটি হ'ল প্রাকৃতিক একটি এবং উদাহরণস্বরূপ আপনি এটি আবিষ্কার করতে পারবেন না যে কোনও কম্পিউটার বীজগণিত সিস্টেমে জিএপি, ম্যাগমা বা সেজ। সুতরাং এটির একটি তাত্ত্বিক ভিত্তি রয়েছে, সমস্যাটি মীমাংসা করার পক্ষে এটি খুব বেশি দূরে যাবে।

জেনারেটর এবং সম্পর্ক: গ্রুপ আইসোমর্ফিিজম অনস্বীকার্য (গ্রাফ আইসোমর্ফিিজম নির্ধারণযোগ্য)।

$G$ $G=1$

জেনারেটর এবং সম্পর্ক দ্বারা গ্রুপ ইনপুট জন্য: গ্রুপ isomorphism গ্রাফ isomorphism তুলনায় কঠিন, বাস্তবে অনির্বচনীয়।

সফ্টওয়্যার সিস্টেমগুলি দ্বারা ব্যবহৃত ইনপুট: ক্রমশক্তি এবং ম্যাট্রিক্স গ্রুপগুলির গ্রুপ আইসোমরফিজম গ্রাফ আইসোমর্ফিজমের (কমপক্ষে অন্যভাবে নয়) যতটা শক্ত hard

$p$

সফ্টওয়্যার সিস্টেমগুলির জন্য গোষ্ঠীগুলির ইনপুটগুলির জন্য: গ্রুপ আইসোমরফিজম গ্রাফ আইসোমর্ফিজমের মতো কমপক্ষে শক্ত।

তাত্ত্বিক জটিল জটিলতা ইনপুট: একটি ব্ল্যাক বক্স গ্রুপ ইনপুট জন্য, গ্রুপ isomorphism এনপি বা কো-এনপি মধ্যে পরিচিত হয় না (গ্রাফ isomorphism উভয় মধ্যে)।

$\Sigma^2$ $f:G\to H$ $G$ $H$ $f$ একটি বৈধ হোমোর্ফিজম। সর্বনিম্ন আপনার কাছে দলগুলির উপস্থাপনা দরকার বলে মনে হয় এবং এটি সহজেই পাওয়া যায় না।

ব্ল্যাক-বাক্স গোষ্ঠীগুলির জন্য: গ্রুপ আইসোমরফিজম গ্রাফ আইসোমরফিজমের মতো কমপক্ষে শক্ত।

কেলে টেবিল ইনপুট।

১৯ 1970০-এর টার্জনের একসময়, পুল্টার-হিডারলন, মিলার এবং অন্যান্যরা দেখেছিলেন যে তাদের সম্পূর্ণ গুণক টেবিলের মাধ্যমে গোষ্ঠীগুলির ইনপুটগুলিকেও গ্রাফ হিসাবে বিবেচনা করা যেতে পারে। এইভাবে গোষ্ঠীগতভাবে আইসোমরফিজম বহুতল সময়ে গ্রাফ আইসোমরফিজম হ্রাস করে। মিলার এই লক্ষ্যে আরও অনেক এগিয়ে গিয়েছিলেন যে অসংখ্য সংহত কাঠামো একই কাজ করে, স্টেইনার উদাহরণস্বরূপ তিনগুণ। তিনি আরও প্রমাণ করেছিলেন যে সেমিগ্রুপ আইসোমরফিজম গ্রাফ আইসোমরফিজমের সমতুল্য।

$n^{O(\log n)}$

কেলে টেবিলগুলির জন্য: গ্রুপ আইসোমরফিজম গ্রাফ আইসোমরফিজম হ্রাস করে।

$n$ $O((\log n)^3)$

$n$ $O(n^2 \log n)$

— Algeboy
সূত্র

সমস্ত সহায়ক আলোচনার জন্য ধন্যবাদ। একটি বিষয়: আপনি যেখানে লেখেন "সফটওয়্যার সিস্টেমের জন্য গ্রুপ ইনপুট জন্য: গ্রুপ isomorphism গ্রাফ isomorphism তুলনায় কঠিন", আপনার কাছে কি দাবি কঠিন যে এটি শক্ত (বরং এটি কমপক্ষে কঠোর হিসাবে কঠিন )? "হার্ড" বোঝায় যে জটিলতা সমান নয়। তার কোনও প্রমাণ আছে কি? অথবা আপনি আসলে "কমপক্ষে শক্ত হিসাবে" বোঝাতে চেয়েছিলেন?

— DW

ওফফ, আমার জন্য লজ্জা, "কমপক্ষে যতটা কঠোর" তা জানা যাবে। জটিলতায় কঠোর বৈষম্য যেমনটি আপনি বলেছেন - বিরল। তবে, কেউ লক্ষ্য করতে পারেন যে কোড সমতুল্যতা (হাইপারগ্রাফ আইসোমরফিজমের সাথে সম্পর্কিত) সাধারণত এই সমস্যাগুলি হ'ল এই মডেলগুলির মধ্যে গ্রুপ আইসমোরিজম থেকে হ্রাস করতে পারে। আধিক্যের বহুবর্ষীয় সময়ে গ্রাফ আইসোমরফিজমের মাধ্যমে বাবাইয়ের বিরতি পরেও কোডের সমতুলতা তাত্পর্যপূর্ণ জটিলতা থেকে যায়। সুতরাং এটি "শক্ত" এর পক্ষে দুর্বল প্রমাণকে ঘৃণা করে, তবে কঠোরভাবে শক্তির কোনও প্রমাণ জানা যায়নি। আমি উপরোক্ত সংশোধন করব। ধন্যবাদ।

— এলজেবয়