একটি "এক দিকনির্দেশক" কনসার্টে হারিয়েছেন

আপনি এবং একটি বন্ধু একটি কনসার্টের লাইনে একে অপরকে হারিয়েছেন এবং আপনার মধ্যে কে আরও এগিয়ে আছেন তাও নিশ্চিত নয়। সাধারণত, প্রতিটি কিছু সংখ্যক সমন্বয় স্থানে থাকে এবং কেবলমাত্র একটি উচ্চতর স্থানাঙ্কের দিকে হাঁটতে পারে বা স্থানে থাকতে পারে।

ধরে নেওয়া যে আপনি এবং আপনার বন্ধু ঠিক একই অ্যালগরিদম অনুসরণ করছেন (এবং না, আপনি "যদি (নাম ==" আর বি ") কিছু করেন না) বলতে পারেন)) এবং আপনার দুজনের মধ্যে প্রাথমিক দূরত্বটি ছিল $x$ (যা নয়) আপনার জানা)

আপনি এবং আপনার বন্ধুটির দেখা না হওয়া পর্যন্ত প্রত্যাশিত হাঁটার দূরত্বটি হ্রাসকারী অ্যালগরিদম কী?

আপনি ধরে নিতে পারেন আপনার বন্ধু এবং আপনি উভয় একই ধ্রুবক গতিতে চলছেন।

সাধারণ অ্যালগরিদম এর উদাহরণ হ'ল:

পর্যায়ে $n$ ( থেকে শুরু $0$ ):

হাঁটুন $3^n$ অধিকার WP করার জন্য পদক্ষেপ $\frac{1}{2}$ বাঅন্যথায় $3^n$ সময় ইউনিটঅপেক্ষা করুন।

এই অ্যালগরিদমটি দেখার জন্য বন্ধুরা সম্ভাব্যতার সাথে মিলিত হয় 1 পর্যায়ে কী ঘটে তা বিবেচনা করুন । এমনকি যদি বন্ধুটি স্টেপ এগিয়ে ছিল সর্বদা চলত এবং অন্যটি সর্বদা স্থানে থাকে তবে দুজনের মধ্যে দূরত্বটি হবে: $(\log_3 x+1)$ $x$

x + 1 + 3 + 9 + \dots + 3^{\log_{3} x} = 2 x + \frac{x - 1}{2} \leq 3 x

$x+1+3+9+\ldots+3^{\log_3 x}=2x+\frac{x-1}{2}\leq 3x$

অতএব, পুনরাবৃত্তিতে, যে বন্ধুটি হাঁটতে পছন্দ করে তা দূরত্বকে আবরণ করবে , সুতরাং সম্ভাব্যতা $\log_3 x+1$ $3^{\log_3 x+1}=3x$ , যে বন্ধুটি পিছনে রয়েছে সে ধরা পড়বে এবং তারা দেখা করবে। $\frac{1}{4}$

একটি সহজ অপ্টিমাইজেশন (হাঁটার দূরত্ব হ্রাস করতে) হতে হবে, পদক্ষেপ হাঁটার পরিবর্তে , ধাপে হাঁটার পরিবর্তে , যেখানে দেওয়া আছে: $3^x$ $c^x$ $c$

2 + \frac{1}{c - 1} = c

$2+\frac{1}{c-1}=c$

অত: পর অনুকূল এই অ্যালগরিদম হয় $c$ $c=\frac{3+\sqrt 5}{2}\approx 2.618$

দুর্ভাগ্যক্রমে, যদিও এই অ্যালগরিদম গ্যারান্টি দেয় যে বন্ধুরা সম্ভাব্যতা 1 এর সাথে মিলিত হবে, প্রত্যাশিত হাঁটার দূরত্ব অসীম, যা সম্ভব হলে আমি এড়াতে চাই।

আরও কার্যকর অ্যালগরিদম আছে?

algorithms randomized-algorithms

— আর বি
সূত্র

আপনি যখন "প্রত্যাশিত হাঁটার দূরত্ব" বলছেন - আপনি কি সবচেয়ে খারাপ ক্ষেত্রে বোঝাচ্ছেন, যেখানে অ্যালগরিদম সম্ভাবনাযুক্ত, বা আপনি কী ইনপুটগুলিতে কিছু বিতরণও ধরেছেন? এছাড়াও - আপনার কি আপনার অ্যালগরিদম সর্বদা সঠিক হতে হবে, বা সঠিক WP 1 হতে হবে? (বা কম?) - নোট করুন যে আপনি এখানে উপস্থাপন করেছেন অ্যালগরিদম কখনও থামতে পারে না (তবে ডাব্লুপি 0)

— শাল

এটি লিনিয়ার অনুসন্ধান সমস্যার মতো ( এন ।

— যুবাল ফিল্মাস

@ শৈল - যেহেতু উভয় বন্ধু একই অ্যালগরিদম অনুসরণ করছে, এটি সম্ভাব্য হতে হবে বা তারা কখনই পূরণ করতে পারে না। প্রত্যাশাটি অ্যালগরিদমের এলোমেলোকরণের চেয়ে বেশি।

— আরবি

আপনার অ্যালগরিদম আপনি গড় হাঁটার না

ধ্রুব গতি ডানদিকে ইউনিট সময়

পদক্ষেপে হাঁটতে

time n সময় কথা নাও হতে পারে।

2^{n}

$2^n$

C

$C$

2^{n}

$2^n$

— 0 奇说 আর্চ শুই

@ 0 এ-আর্চি - আমরা ধরে নিই যে উভয়ই একই গতিতে চলছে (এটি 1 টি

হতে দিন)

এই বিষয়ে

ইউনিট)। আমি যে অ্যালগরিদমটি দিয়েছিলাম তার মধ্যে ধারণাটি হল আপনি হয়

পদক্ষেপেহাঁটেনবা সমমানের জন্য অপেক্ষা করুন, সুতরাং প্রতিটি পুনরাবৃত্তি উভয় খেলোয়াড়ের জন্য একই সময়ে শুরু হয়।

\frac{step}{time unit}

$\frac{\text{step}}{\text{time unit}}$

2^{n}

$2^n$

— আরবি

পদক্ষেপ , , এবং মধ্যে সমানভাবে একটি এলোমেলো সংখ্যা আঁকুন । $k$ $q$ $1$ $2$ $3$

$q = 1$ $2^{k-1}$ $2^{k+1}$ $2^{k-1}$

$q = 2$ $2^{k-1}$ $2^{k-1}$ $2^{k}$ $2^{k-1}$ $2^{k-1}$

$q = 3$ $2^k$ $2^k$ $2^k$

At each step $k$ , both friends will walk $2^k$ steps. If $k < \log_2(x) + 1$ , they won't meet during that step, however if $k >= \log_2(x) + 1$ , they will meet if and only if they don't draw the same number. The probability that this doesn't happen is only $1/3$ at each step.

Hence the expected walking distance is (bounded above by):

2 (\sum_{k = 0}^{⌈ \log_{2} (x) ⌉} 2^{k} + 3^{⌈ \log_{2} (x) ⌉} \sum_{k = ⌈ \log_{2} (x) ⌉ + 1}^{\infty} {(\frac{2}{3})}^{k})

$2\left(\sum_{k=0}^{\lceil\log_2(x)\rceil}2^k+3^{\lceil\log_2(x)\rceil}\sum_{k=\lceil\log_2(x)\rceil+1}^{\infty}\left(\frac{2}{3}\right)^k\right)$

Which is finite, and equal, if my napkin maths are to be trusted, to $2^{\lceil\log_2(x)\rceil+3}-2 \le 16x$ .

By the way, if $d$ is the random variable representing the distance walked, we still have that $\forall D>0, \mathrm{P}(d>D) > 0$ , i.e. the distance is unbounded and can end up being arbitrarily high. Luckily this probability vanishes fast enough to ensure that the infinite sum $\sum_{D=0}^{\infty}\mathrm{P}(d=D)\cdot D = \mathbb{E}[d]$ converges. Having a finite upper bound for $d$ is a much stronger property and I reckon it's not possible to find a solution satisfying it.

— David Durrleman
সূত্র