সম্পূর্ণ গণনা না করা গণনার মডেলগুলির জন্য "গণনীয়" এর স্পষ্ট সংজ্ঞা আছে কি?

Question

এটি এখানে অন্য একটি প্রশ্নের ফলোআপ , এবং আমি আশা করি এটি খুব দার্শনিক নয়। রাফেল যেমন আমার পূর্ববর্তী প্রশ্নের একটি মন্তব্যে ইঙ্গিত করেছিলেন, আমি সত্যিই "গণনীয়" সংজ্ঞা পাই না, তবে কয়েকটি গবেষণাপত্র অনুসারে, টেউরিংয়ের তুলনায় দুর্বল গণনার মডেলগুলির ক্ষেত্রে এটি সংজ্ঞাটি সত্যই স্পষ্ট হয় না is কারণ ইনপুট এবং আউটপুটটির এনকোডিংয়ের কারণে মেশিনগুলি।

টিউটিং কম্পিউটিং এর সাধারণ সংজ্ঞাটি নিম্নরূপ:

সংজ্ঞা 1: একটি ফাংশন $f : \mathbb{N}^k \to \mathbb{N}$যদি টুরিং মেশিন থাকে তবে তাকে টিউরিং কম্পিউটিংযোগ্য বলা হয়$M$ যা গণনা $f$স্ট্রিং হিসাবে প্রাকৃতিক সংখ্যা একটি উপযুক্ত এনকোডিং ব্যবহার ।

সংজ্ঞাগুলি যথাযথভাবে উপযুক্ত এনকোডিং কী তার থেকে পৃথক হয় তবে বেশিরভাগ বাইনারি এনকোডিং , আনারি এনকোডিং বা দশমিক এনকোডিংকে একটি নির্দিষ্ট এবং উপযুক্ত এনকোডিং হিসাবে উল্লেখ করেন। এটি দেখাতেও সম্ভব যে ট্যুরিং কম্পিউটিংয়ের সংজ্ঞা জন্য একটি এনকোডিং ঠিক করা প্রয়োজন। তবে কী প্রাকৃতিক সংখ্যার বাইনারি এনকোডিংকে বিশেষ করে তোলে যাতে আমরা এটির জন্য উপযুক্ত এনকোডিং হিসাবে অক্ষরবদ্ধ করতে পারি? সম্ভবত কারণ এটি সংযোগযোগ্যতা কাকতালীয় মানে এর অন্তর্নিহিত ধারণা ফিট করে ।

এখন যদি আমরা ট্যুরিং মেশিনের চেয়ে কমপিউশনটির দুর্বল মডেলগুলি দেখি ? উদাহরণস্বরূপ, আসুন সেট বিবেচনা করা যাক$M_c$ বর্ণমালা দিয়ে "পঙ্গু" টিউরিং মেশিনগুলির $\{0,1\}$যা কেবলমাত্র ডানে চলে যেতে পারে, এবং পঙ্গু টুরিং গণনার সংজ্ঞা যা ট্যুরিং কম্পিউটিংয়ের সাথে সামঞ্জস্যপূর্ণ:

সংজ্ঞা 2: একটি ফাংশন $f : \mathbb{N}^k \to \mathbb{N}$পঙ্গু টুরিং গণনাযোগ্য বা গণনযোগ্য বলা হয়$M_c$ যদি একটি পঙ্গু টুরিং মেশিন আছে $M$ যা গণনা $f$ স্ট্রিং হিসাবে প্রাকৃতিক সংখ্যাগুলির উপযুক্ত এনকোডিং ব্যবহার করে।

যদি আমরা "উপযুক্ত এনকোডিং "টিকে" বাইনারি এনকোডিং "হিসাবে সংজ্ঞায়িত করি তবে ফাংশনটি $f : \mathbb{N} \to \mathbb{N}, n \mapsto n+1$মধ্যে গণনাযোগ্য নয়$M_c$। যদি আমরা "যথাযথ এনকোডিং "টিকে" ইউনিারি এনকোডিং "হিসাবে অক্সিম্যাটাইজ করি, তবে$f$ মধ্যে গণনাযোগ্য$M_c$। এটিকে অস্বস্তিকর বলে মনে হচ্ছে যে প্রত্যেকে ইচ্ছামত অসীম অনেক স্বজ্ঞাত এনকোডিংগুলির মধ্যে একটি ঠিক করতে পারে। এটি একটি স্পষ্ট হওয়া উচিত যদি কোনও গণনার মডেল গণনা করতে পারে$f$ বা নির্দিষ্ট নির্দিষ্ট এনকোডিংয়ের উল্লেখ না করে - "লুপ প্রোগ্রামগুলি ট্যুরিং মেশিনের চেয়ে দুর্বল" উল্লেখ করে কমপক্ষে কাউকে কখনই এনকোডিং ব্যবহৃত হয় তা উল্লেখ করতে দেখিনি।

---

এই পরিচয়ের পরে অবশেষে আমি আমার প্রশ্নের বাক্যটি বলতে পারি: গণনার স্বেচ্ছাসেবী মডেলগুলি যেগুলি গণনার স্বজ্ঞাত ধারণার সাথে একত্রিত হয় না তার জন্য কীভাবে "উপযুক্ত এনকোডিংগুলি" এবং "গণনাযোগ্যতা" সংজ্ঞায়িত করা যায় ? ট্যুরিং কম্পিউটিংয়ের কাঠামোর মধ্যে এটি কি সম্ভব?

সম্পাদনা: আমি ভূমিকাটি সংক্ষিপ্ত করে দিয়েছি, এটি প্রশ্নের সাথে যোগ হয়নি।

Answer 1

আপনি এখানে নিখোঁজ হওয়ার কিছু প্রাথমিক ঘটনাটি হ'ল আপনি যে সমস্ত এনকোডিংগুলি উল্লেখ করেছেন তা হ'ল গণনীয়তার দৃষ্টিকোণ থেকে সমান: একটি সংখ্যার বাইনারি এনকোডিংকে তার ইউনিট এনকোডিংয়ের সাথে ম্যাপিং বা একটি বিপরীতভাবে একটি গণনাযোগ্য ফাংশন রয়েছে। অতএব গণনাযোগ্যতা সংজ্ঞায়নের জন্য, আপনি সংখ্যার জন্য এই এনকোডিংগুলির মধ্যে কোনটি চয়ন করেন তা বিবেচ্য নয়। আপনার প্রিয় এনকোডিং ঠিক করুন।

গণনযোগ্যতা তার মূল অংশে স্ট্রিং ফাংশনগুলির একটি সম্পত্তি $f\colon \Sigma^* \to \Sigma^*$। আপনি যখন অন্য কোনও ডোমেইনে গণ্যতার সংজ্ঞা দেন, আপনাকে একটি এনকোডিং ঠিক করতে হবে। অনুশীলনে, সমস্ত "যুক্তিসঙ্গত" এনকোডিংগুলি পূর্ববর্তী অনুচ্ছেদের অর্থে সমান, সুতরাং সঠিক এনকোডিং কোনও ব্যাপার নয়।

এনকোডিংটি তবে গণনার সীমিত মডেলের ক্ষেত্রে গুরুত্বপূর্ণ। একটি চূড়ান্ত উদাহরণ গ্রহণের জন্য, ধরুন আপনি সময়-সীমাবদ্ধ টুরিং মেশিনগুলি বিবেচনা করছেন: বলুন যে আপনি চান আপনার মেশিনটি সময়মতো শেষ হতে পারে$O(n^c)$ কিছুর জন্য $c$, কোথায় $n$ইনপুটটির দৈর্ঘ্য (স্ট্রিং হিসাবে)। আমরা বাইনারি এনকোডিং এবং আনারি এনকোডিংয়ের মধ্যে আর পরিবর্তন করতে পারি না, কারণ বাইনারি এনকোডিং অনেক বেশি কমপ্যাক্ট। যখন আমরা পূর্ণসংখ্যার বহুবর্ষের সময় গণনাযোগ্য ফাংশন সম্পর্কে কথা বলি , তখন আমরা নির্দিষ্ট করে থাকি যে পূর্ণসংখ্যাগুলি বাইনারিতে এনকোড করা থাকে। এমনকি এটি কিছুটা স্বেচ্ছাসেবী পছন্দ, যেহেতু দশমিক এনকোডিংয়ের ফলে বহুপদী সময় গণনার একই ধারণা তৈরি হয়।

সুতরাং আপনার প্রশ্নের উত্তর দিতে - এনকোডিংটি সীমাবদ্ধ মডেলের সংজ্ঞা হিসাবে অংশ হিসাবে নির্দিষ্ট করা হয়েছে।

Comments

"আপনি এখানে নিখোঁজ হবার কিছু প্রাথমিক তথ্য হ'ল যে সমস্ত এনকোডিংগুলি আপনি উল্লেখ করেছেন তা গণনাযোগ্যতার দৃষ্টিকোণ থেকে সমান: একটি সংখ্যার বাইনারি এনকোডিংকে তার অ্যানারি এনকোডিংয়ের সাথে ম্যাপিং বা একটি বিপরীত" - হ্যাঁ, আই আমার প্রশ্নের মূল সংস্করণটিতে এটি ছিল তবে আমি দেখতে পাই না যে এটি দুর্বল মডেলগুলির প্রশ্নের জন্য কীভাবে প্রাসঙ্গিক। এটি আরও পরিষ্কার যে এনকোডিংটি মডেল সংজ্ঞার অংশ হিসাবে নির্দিষ্ট করতে হবে, তবে প্রশ্নটি কীভাবে এইরকম যুক্তিযুক্ত সংজ্ঞাতে পৌঁছানো যায়।

— স্টিফান লুটজ

এই সংজ্ঞাটি টুপি থেকে কেউ টেনে আনে। যেহেতু বিভিন্ন সংজ্ঞা সমতুল্য হয়, সঠিক সংজ্ঞাটি কোনও বিষয় নয়। এটি যখন হয়ে যায় তখন বিভিন্ন জটিলতার বিভিন্ন ধারণা পাওয়া যায়। উদাহরণস্বরূপ, কিছু গ্রাফ অ্যালগরিদমের জন্য যদি আপনাকে একটি সংলগ্ন ম্যাট্রিক্স বা প্রান্তগুলির একটি তালিকা দেওয়া হয় তবে এটি একটি পার্থক্য করে।

— যুবাল ফিল্মাস

সংক্ষেপে বলা যায়: ক) প্রতিটি একক গণনার মডেলের সংজ্ঞায় অবশ্যই এটির বাক্য গঠন, শব্দার্থবিজ্ঞান এবং একটি উপযুক্ত এনকোডিং অন্তর্ভুক্ত থাকতে হবে। খ) "উপযুক্ত এনকোডিং" সংজ্ঞাটি মডেলের সিনট্যাক্স এবং শব্দার্থবিজ্ঞানের সম্পূর্ণ স্বাধীন। গ) "উপযুক্ত এনকোডিং" এর সংজ্ঞা দেওয়ার কোনও উপায় নেই যা গণনার সমস্ত মডেলের জন্য বৈধ। এটা কি ঠিক?

— স্টিফান লুটজ

আমি ক) এবং খ) এর সাথে একমত, তবে গ) কেবল আংশিক। আপনি একটি উপযুক্ত এনকোডিং সংজ্ঞায়িত করতে পারেন যা "স্ট্যান্ডার্ড এনকোডিং" হিসাবে কাজ করে, সত্যের স্পষ্ট উল্লেখ না করা থাকলে ব্যবহৃত হয়। সংখ্যার ক্ষেত্রে, এই জাতীয় মানক এনকোডিং বিদ্যমান - বাইনারি এনকোডিং।

— যুবাল ফিল্মাস

ঠিক আছে, তবে এটি একটি সাধারণ সংজ্ঞা হিসাবে সত্যই গঠন করে না, এটি কেবলমাত্র মানুষের সময় সাশ্রয় করে কারণ তাদের স্পষ্টতাই লিখতে হবে না "এই মডেলটিতে $M$, আমরা বাইনারি এনকোডিং ব্যবহার করি "কারণ এটি লিখিত না থাকলে তা বোঝানো হয় They তারা এখনও তাদের মডেলের জন্য অন্য একটি এনকোডিং চয়ন করতে পারে" "সাধারণ সংজ্ঞা" বলতে আমি যা বোঝাতে চাইছি সেটি এমন একটি বৈশিষ্ট্য যা প্রতিটি এনকোডিংকে অবশ্যই অনুমোদিত হতে হবে is এনকোডিং হিসাবে।

— স্টিফান Lutz

Answer 2

প্রথমত, আপনি বাইনারি স্ট্রিং বা অন্য কোনও এনকোডিং হতে "উপযুক্ত এনকোডিং" ঠিক করতে পারবেন না। এটি কারণ আপনি গণনার অনেকগুলি মডেল শিথিল করবেন, কারণ গণনার বিভিন্ন মডেলের ইনপুট এবং আউটপুটটির খুব আলাদা মডেল থাকতে পারে। অন্য কথায়, তারা স্ট্রিং "কথা" বলতে পারে না।

উদাহরণস্বরূপ, টাইপযুক্ত ল্যাম্বডা ক্যালকুলাসের পদগুলি হয় ভেরিয়েবল, বা এক শব্দের সাথে অন্যের প্রয়োগ, বা ল্যাম্বডা শর্তের বিমূর্ততা। ইনপুট এবং আউটপুট শর্তাবলী, নির্বিচারে স্ট্রিং। তবুও, টাইপযুক্ত ল্যাম্বডা ক্যালকুলাসটি টিউরিং-সম্পূর্ণ কারণ সেখানে একটি "উপযুক্ত এনকোডিং" রয়েছে যা একটি নির্দিষ্ট ফর্মের ল্যাম্বডা পদ হিসাবে প্রাকৃতিক সংখ্যাগুলিকে এনকোড করে থাকে এবং প্রতিটি গণনীয় ফাংশনের জন্য এই এনকোডিংয়ের অধীনে একটি ল্যাম্বডা শব্দ উপস্থিত থাকে যা এটির পরিসংখ্যান করে।

আপনি যদি ট্যুরিং মেশিনগুলি আপনার গণনার রেফারেন্স মডেল হিসাবে ঠিক করেন তবে আপনি "উপযুক্ত এনকোডিং" আনুষ্ঠানিক করতে পারেন, এবং তারপরে বাইনারি স্ট্রিং থেকে এবং বাইনারি স্ট্রিং থেকে এনকোডিং এবং ডিকোডিং অবশ্যই করা উচিত যা সর্বদা বন্ধ থাকে। উদাহরণস্বরূপ, একটি ট্যুরিং মেশিন একটি প্রাকৃতিক সংখ্যাটিকে বাইনারি স্ট্রিং হিসাবে লম্বা শব্দটিতে অনুবাদ করতে সক্ষম হয় যা এই সংখ্যাটি প্রকাশ করে, ল্যাম্বডা ক্যালকুলাসকে হ্রাস অনুকরণ করে এবং ফলাফলটিকে বাইনারি স্ট্রিংয়ে আবার অনুবাদ করতে পারে।

গণনার সহজ মডেলগুলির জন্য আমি একই পদ্ধতির প্রত্যাশা করব: গণনার একটি রেফারেন্স মডেল নিন এবং প্রাকৃতিক সংখ্যাগুলির একটি এনকোডিং ঠিক করুন এবং তারপরে নিশ্চিত করুন যে এনকোডিং এবং ডিকোডিংটি সেই সাধারণ মডেলের উদাহরণগুলির দ্বারা সম্পন্ন হয়েছে। যেমনটি আপনি উল্লেখ করেছেন, পঙ্গু টুরিং মেশিনগুলির জন্য, অ্যানারি এবং বাইনারি এনকোডযুক্ত নম্বরগুলি ব্যবহার করা গণনার সমতুল্য মডেলটি লাভ করে না।

Comments

আপনি কি শেষ অনুচ্ছেদে জিনিসগুলি ঘুরিয়ে রেখেছেন তা কি সম্ভব? আপনি লিখেছেন যে এনকোডিংটি সহজ মডেল দ্বারা সম্পন্ন হয়েছে, রেফারেন্স মডেল নয় - পূর্ববর্তী অনুচ্ছেদে আপনি এনকোডিংটি রেফারেন্স মডেল দ্বারা সম্পন্ন করতে চান, অন্য মডেল (ল্যাম্বদা ক্যালকুলাস) দ্বারা নয়।

— স্টেফান লুৎজ

যদি আপনি গণনার দুর্বল মডেলগুলি অধ্যয়ন করে থাকেন তবে আপনি কোথাও ট্যুরিং মেশিন ব্যবহার করতে চান না, এমনকি এনকোডিং / ডিকোডিং পর্বেও নয়। তারপরে আপনি কেবল এনকোডিং পর্যায়ে সমস্ত গণনা সম্পাদন করতে পারেন এবং কোনও মডেলের গণনার টুরিং সম্পূর্ণ হবে। সুতরাং আপনার এনকোডিং / ডিকোডিংয়ের জন্য সহজ রেফারেন্স মডেলটি ব্যবহার করা উচিত।

— হুপজে

তারপরে আমি দেখতে পাই না যে আমরা যদি ট্যুরিং মেশিনগুলি ঠিক করি তবে আমরা গির্জার সংখ্যার সাথে ল্যাম্বডা ক্যালকুলাসের টুরিং-সম্পূর্ণতা কীভাবে প্রমাণ করতে পারি। আমাদের ধরে নিতে হবে এলসি টিএম এর চেয়ে দুর্বল, সুতরাং "দুর্বল" মডেল লাম্বদা ক্যালকের কয়েকটি উদাহরণ একটি নম্বর দেওয়া হয়েছে$n \in \mathbb{N}$ এর এনকোডিং ব্যবহার করে $church : \mathbb{N} \to lambdaterm$ যেমন $church(n)$, তারপরে এটির কার্যকারিতা গণনা করে $toBinary : lambdaterm \to lambdaterm$ আউটপুট একটি বাইনারি স্ট্রিং $w \in \Sigma^*$? কোডোমাইনগুলি মেলে না। আমি ল্যাম্বডেটারেমগুলিকে স্ট্রিং হিসাবে ব্যাখ্যা করার অনুমতি দিলেও, এমন অন্যান্য মডেল রয়েছে যা আপনার বক্তব্য অনুসারে স্ট্রিং "স্পোক" করে না।

— স্টিফান লুৎজ