পূর্ণসংখ্যা, যুক্তি এবং বাস্তবের স্ট্যান্ডার্ড গঠনমূলক সংজ্ঞা?

10

প্রাকৃতিক সংখ্যাগুলি inductively হিসাবে সংজ্ঞায়িত করা হয় (উদাহরণস্বরূপ Coq সিনট্যাক্স ব্যবহার করে)

Inductive nat: Set :=
| O: nat
| S: nat -> nat.

পূর্ণসংখ্যার (এবং সম্ভবত অন্যান্য সেটগুলির মত যুক্তি এবং বাস্তবগুলি) গঠনমূলকভাবে সংজ্ঞায়নের জন্য কি কোনও স্ট্যান্ডার্ড উপায় আছে?

arithmetic dependent-types coq

— অ্যালেক্স
সূত্র

1

গঠনমূলক সংজ্ঞা কী?

— ত্রিসমেগিস্টোস

12

আপনি কোন বৈশিষ্ট্যটিকে সংজ্ঞা হিসাবে বিবেচনা করছেন তার উপর নির্ভর করে গাণিতিক কাঠামো নির্ধারণের একাধিক উপায় রয়েছে are সমতুল্য বৈশিষ্ট্যগুলির মধ্যে, আপনি কোনটিকে সংজ্ঞা হিসাবে গ্রহণ করেন এবং কোনটিকে বিকল্প চরিত্রায়ন হিসাবে গ্রহণ করেন তা গুরুত্বপূর্ণ নয়।

গঠনমূলক গণিতে, এমন একটি সংজ্ঞা বেছে নেওয়া পছন্দনীয় যা গঠনমূলক যুক্তিকে সহজ করে তোলে। প্রাকৃতিক সংখ্যার জন্য, যুক্তির মূল ফর্মটি অন্তর্ভুক্তি, যা প্রচলিত শূন্য-বা-উত্তরসূরি সংজ্ঞাটিকে খুব উপযুক্ত করে তোলে। অন্যান্য সংখ্যার সেটগুলিতে এ জাতীয় পছন্দ নেই।

কোয়ান্টিয়েন্টগুলিতে যুক্তিযুক্ত যখন অ-গঠনমূলক সেটিংগুলিতে, তখন "সমতুল্য শ্রেণীর সদস্য বাছাই করুন" বলা সাধারণ। গঠনমূলক সেটিংয়ে, কীভাবে সদস্য বাছাই করা যায় তা বর্ণনা করা দরকার। এটি এমন সংজ্ঞাগুলির সাথে যেতে আরও সহজ করে তোলে যা সমতুল্য ক্লাস তৈরির পরিবর্তে টাইপের প্রতিটি সদস্যের জন্য একটি করে অবজেক্ট তৈরি করে।

উদাহরণস্বরূপ, সংজ্ঞা দেওয়ার জন্য , একজন গণিতবিদ প্রাকৃতিক সংখ্যার পার্থক্য সমান করে খুশি হতে পারে: construc যদিও গঠনমূলক যুক্তির জন্য এটির পরিপাটি অনুভূতি রয়েছে (কোনও "এটি বা তা" নয়), বস্তুগুলির সাম্যতা উপস্থাপনের সাম্যের সাথে মিলে গেলে এটি আরও সহজ , সুতরাং আমরা আপেক্ষিক পূর্ণসংখ্যাগুলি প্রাকৃতিক সংখ্যা বা একটি প্রাকৃতিক সংখ্যা বিয়োগের নেতিবাচক হিসাবে সংজ্ঞায়িত করতে পারি: $\mathbb{Z}$

Z := N^{2} / {((x, y), (x^{'}, y^{'})) ∣ x + y^{'} = x^{'} + y}

$\mathbb{Z} := \mathbb{N}^2 / \{((x,y),(x',y')) \mid x + y' = x' + y\}$

Inductive Z1 :=
  | Nonnegative : nat -> Z1   (* ⟦Nonnegative x⟧ = ⟦x⟧ *)
  | Negative : nat -> Z1.     (* ⟦Negative x⟧ = -⟦x⟧-1 *)

যাইহোক, এই সংজ্ঞাটি অদ্ভুতভাবে অসম্পূর্ণ, যা শূন্যের জন্য দুটি পৃথক উপস্থাপনা স্বীকৃত করতে পছন্দনীয় করে তুলতে পারে:

Inductive Z2 :=
  | Nonnegative : nat -> Z2   (* ⟦Nonnegative x⟧ = ⟦x⟧ *)
  | Nonpositive : nat -> Z2.  (* ⟦Nonpostitive x⟧ = -⟦x⟧ *)

অথবা আমরা প্রাকৃতিক কোনও বিল্ডিং ব্লক হিসাবে ব্যবহার না করে আপেক্ষিক পূর্ণসংখ্যাগুলি তৈরি করতে পারি:

Inductive Pos3 :=
  | I : Pos3                  (* ⟦I⟧ = 1 *)
  | S3 : Pos3 -> Pos3         (* ⟦S3 x⟧ = ⟦x⟧+1 *)
Inductive Z3 :=
  | N3 : Pos3 -> Z3           (* ⟦N3 x⟧ = -⟦x⟧ *)
  | O3 : Z3                   (* ⟦O3⟧ = 0 *)
  | P3 : Pos3 -> Z3           (* ⟦P3 x⟧ = ⟦x⟧ *)

কোক স্ট্যান্ডার্ড লাইব্রেরিটি আরও একটি সংজ্ঞা ব্যবহার করে: এটি তাদের সংকেত থেকে ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যার ভিত্তি তৈরি করে বেস 2, পরে 1 বা 1 সংখ্যার ক্রম অনুসরণ করে এটি উপরের Zমতো Z3করে তৈরি করে Pos3। এই সংজ্ঞা এছাড়াও প্রতিটি পূর্ণসংখ্যার জন্য একটি অনন্য প্রতিনিধিত্ব আছে। বাইনারি স্বরলিপি ব্যবহারের পছন্দটি সহজ যুক্তিযুক্ত নয়, যখন প্রোগ্রামগুলি প্রমাণগুলি থেকে বের করা হয় তখন আরও কার্যকর কোড তৈরি করা।

যুক্তি স্বাচ্ছন্দ্য একটি সংজ্ঞা বাছাই একটি অনুপ্রেরণা, কিন্তু এটি কখনও একটি দুর্গম ফ্যাক্টর হয় না। যদি কোনও নির্মাণ কোনও নির্দিষ্ট প্রমাণকে সহজ করে তোলে তবে কেউ সেই নির্দিষ্ট প্রমাণটিতে সেই সংজ্ঞাটি ব্যবহার করতে পারেন এবং প্রমাণ করতে পারেন যে নির্মাণটি অন্য নির্মাণের সমান যা মূলত সংজ্ঞা হিসাবে নির্বাচিত হয়েছিল।

যুক্তিযুক্ত সংখ্যার জন্য, ভাগফলগুলি অব্যাহত রাখা কঠিন, যদি না আমরা কারণগুলির একটি পণ্য হিসাবে পূর্ণসংখ্যার প্রতিনিধিত্ব থেকে শুরু করি (যা কিছু মৌলিক ক্রিয়াকে যেমন সংযোজন এবং মোট অর্ডার নির্ধারণ করা কঠিন করে তোলে)। Coq মান গ্রন্থাগার সংজ্ঞায়িত হিসাবে (লব ও হর), এবং একটি অপারেটর সংজ্ঞায়িত দুই উপাদানের সমানতা পরীক্ষা করার জন্য । এই সংজ্ঞাটি বেশ সাধারণ কারণ এটি যতটা সহজ। $\mathbb{N}$ Q $\mathbb{N} \times \mathbb{N}^*$ =?=Q

বাস্তব সংখ্যাগুলি মাছের সম্পূর্ণ ভিন্ন কেটলি কারণ তারা গঠনযোগ্য নয়। প্রকৃত সংখ্যাগুলি একটি প্ররোচক ধরনের হিসাবে সংজ্ঞায়িত করা অসম্ভব (সমস্ত আগমনকারী ধরণের গণ্যযোগ্য)। পরিবর্তে, আসল সংখ্যার যে কোনও সংজ্ঞা অক্ষীয় হতে হবে, অর্থাত্ অ গঠনমূলক। আসল সংখ্যার অগণিত উপগ্রহ নির্মাণ করা সম্ভব; এটি করার উপায়টি আপনি কোন উপসেটটি নির্মাণ করতে চান তার উপর নির্ভর করে।

— গিলস 'তাই খারাপ হওয়া বন্ধ করুন'
সূত্র

1

গণনীয় বাস্তব সংখ্যার , সবচেয়ে যুক্তিসঙ্গত প্রার্থী হবে বলে মনে হচ্ছে মত বাস্তবিক সংখ্যার সবচেয়ে ব্যবহারসমূহ কিছু ফ্যাশন তাদের স্বাভাবিক ক্রম বাঁধা হয়।

— ডিফিউয়ার

5

"গঠনমূলক" অর্থ কী? আমি কেবলমাত্র "কাঠামোগত সেটগুলি" একটি লা সেট তত্ত্ব সম্পর্কে সচেতন, তবে এখন এটিই আপনি বোঝাতে চাইছেন। এছাড়াও, যদিও ঘটনাটি ঘটে যে বাস্তবগুলি হ'ল মাছের সম্পূর্ণ ভিন্ন কেতলি, তবে এটি সত্য নয় যে "আসল সংখ্যার কোনও সংজ্ঞা অজস্র, অর্থাৎ গঠনহীন হতে হবে"। এবং হোমোপি টাইপ তত্ত্বে বাস্তবের উচ্চতর ইন্ডাকটিভ-ইনডাকটিভ সংজ্ঞা রয়েছে।

— আন্দ্রেজ বাউয়ার

15

গিলস উত্তরটি হ'ল প্রকৃত সংখ্যাগুলির অনুচ্ছেদে ব্যতীত, এটি সম্পূর্ণ মিথ্যা, সত্যিকারের সংখ্যাটি প্রকৃতপক্ষে মাছের ভিন্ন ভিন্ন কেতলি except কারণ এই ধরণের ভুল তথ্যটি বেশ বিস্তৃত বলে মনে হচ্ছে, আমি এখানে একটি বিশদ খণ্ডন রেকর্ড করতে চাই।

এটি সত্য নয় যে সমস্ত প্ররোচক প্রকারগুলিই গণ্য হয়। উদাহরণস্বরূপ, inductive প্রকার

Inductive cow := 
   | nose : cow
   | horn : (nat -> cow) -> cow.

গণ্যযোগ্য নয়, কোনও ক্রমের জন্য c : nat -> cowআমরা গঠন করতে পারি horn cযা গবাদি পশুদের সুপ্রতিষ্ঠিত করে না। আপনি যদি "সমস্ত প্ররোচক প্রকার গণনাযোগ্য" ফর্মটির সঠিক বিবৃতি চান তবে আপনাকে অনুমোদিত নির্মাণগুলি কঠোরভাবে সীমাবদ্ধ করতে হবে।

প্রকৃত সংখ্যাগুলি সহজেই একটি সূচকীয় প্রকার হিসাবে তৈরি করা যায় না, কেবলমাত্র হোমোপি টাইপ তত্ত্বের তুলনায় এগুলি উচ্চতর ইনডাকটিভ-ইন্ডাকটিভ টাইপ হিসাবে নির্মিত যেতে পারে , HoTT বইয়ের অধ্যায় 11 দেখুন । এটি যুক্তিযুক্ত হতে পারে যে এটি প্রতারণা করছে।

গিলসের দাবির বিপরীতে বাস্তবের বেশ কয়েকটি গঠনমূলক সংজ্ঞা এবং নির্মাণ রয়েছে। এগুলিকে বিস্তৃতভাবে দুটি শ্রেণিতে ভাগ করা যায়:

কচী-প্রকারের নির্মাণে বাস্তবগুলি যেমন যুক্তিযুক্ত সংখ্যার মেট্রিক সমাপ্তি হিসাবে দেখা যায়। এই ধরণের নির্মাণের জন্য প্রায়শই ভাগফলের প্রয়োজন হয়, যদিও কেউ একটি সংযোজনীয় সংজ্ঞা দিয়ে পালাতে সক্ষম হতে পারে তবে নির্ভর করে যে কীভাবে সমতার আচরণ হয়। একটি নিরীহ নির্মাণের জন্য সাধারণত গণনামূলক পছন্দও প্রয়োজন, তবে ফ্রেড রিচম্যান একটি সমাপ্তির প্রক্রিয়া দিয়েছেন যা পছন্দ ছাড়াই গঠনমূলকভাবে কাজ করে, তার আসল সংখ্যা এবং অন্যান্য পরিপূর্ণতা দেখুন ।
ডেডকাইন্ড-ধরণের নির্মাণে বাস্তবকে যুক্তিগুলির (দ্বি-পার্শ্বযুক্ত) কাট হিসাবে দেখা হয়। এই ধরণের নির্মাণের জন্য সাধারণত পাওয়ারেটস বা অনুরূপ ডিভাইসের প্রয়োজন হয়, যদিও এটি কিছু প্রাথমিক ক্যালকুলাস এবং সিয়েরপিনস্কি স্পেস ax এর অক্ষরকরণের সাহায্যে করা সম্ভব , অ্যাবস্ট্রাক্ট স্টোন ডুয়ালিটির ডেডিকাইন্ড রিয়েলস দেখুন । $\lambda$ $\Sigma$

বাস্তবায়নের দিকে, আমাদের বাস্তবের বিভিন্ন গঠনমূলক আনুষ্ঠানিককরণ রয়েছে (তবে কোক স্ট্যান্ডার্ড লাইব্রেরিতে যেটি কেবলমাত্র ভয়াবহ নয়) উদাহরণস্বরূপ রকবার্ট ক্রেববার্স এবং কো স্প্রেড বাস স্পাইটার্স কম্পিউটার সত্যায়িত দক্ষ প্রকৃত বাস্তবগুলি রয়েছে ।

নির্ভুল আসল সংখ্যাগুলির প্রকৃত বাস্তবায়নের জন্য আমি আপনাকে নরবার্ট মুলারের আইআরআামের দিকে নির্দেশ করি ।

শেষ অবধি, রিয়েলসের অগণিত উপগ্রহ সম্পর্কে গিলস মন্তব্যটি ছাড়িয়ে গেছে। আপনি বাস করুন না কেন গঠনমূলক সেটিংয়ে অগণনযোগ্য সেটগুলি নির্ধারণ বা সংজ্ঞায়িত করা পুরোপুরি সম্ভব। উদাহরণস্বরূপ, বাইরে স্থান সংখ্যার সব ক্রম হয় আমরা সদাই অগণ্য, এমনকি যদি আপনি কি মনে করেন যে ফাংশন টুরিং-গণনীয় যে - দেখুন আমার ব্লগ পোস্ট একটি ব্যাখ্যা জন্য। $\mathbb{N} \to \mathbb{N}$

— আন্দ্রেজ বাউয়ার
সূত্র

আপনি সম্ভবত কোকের আসল বদ্ধ ক্ষেত্রের তত্ত্বটি অ্যাকোরিমেটাইজ করতে পারেন ...

— ছদ্মনাম

হ্যাঁ আপনি করতে পারেন, এবং সিরিল কোহেন এটি করেছিলেন, দেখুন hal.inria.fr/hal-00671809v1/ ডকুমেন্ট । তোমার যুক্তি কী?

— আন্দ্রেজ বাউয়ার

1

আমার কোন বক্তব্য নেই, এটি কেবল একটি অনুমান ছিল।

— ছদ্মনাম