কার্প-লিপটন উপপাদ্যের প্রমান

Question

আমি "গণনামূলক জটিলতা: একটি আধুনিক পদ্ধতির" (২০০৯) বইতে বর্ণিত কার্প-লিপটন উপপাদ্যের প্রমাণটি বোঝার চেষ্টা করছি।

বিশেষত, এই বইতে নিম্নলিখিতটি উল্লেখ করা হয়েছে:

কার্প-লিপটন উপপাদ্য

যদি এনপি , তবে PH ।$\subseteq$ $P_{\backslash poly}$ $= \Sigma^p_2$

প্রমাণ: দ্বারা উপপাদ্য 5.4, দেখানোর জন্য PH এর , এটা দেখানোর জন্য যথেষ্ট যে এবং বিশেষ করে এটা দেখাতে হবে যে যথেষ্ট রয়েছে -complete ভাষা এসএটি। Π পি 2 ⊆ Σ পি 2 Σ পি 2 Π পি 2 Π $= \Sigma^p_2$$\Pi^p_2\subseteq \Sigma^p_2$$\Sigma^p_2$$\Pi^p_2$$\Pi_2$

উপপাদ্য 5.4 এ বলেছে

প্রতি , যদি তবে পিএইচ = । অর্থাৎ, শ্রেণিবদ্ধতা ith স্তরে পতিত হয়।Σ p i = Π p $i \geq 1$$\Sigma_i^p = \Pi_i^p$$\Sigma_i^p$

বোঝায় তা বুঝতে আমি ব্যর্থ । Σ পি 2 = Π পি $\Pi^p_2\subseteq \Sigma^p_2$$\Sigma_2^p = \Pi_2^p$

একটি সাধারণ প্রশ্ন হিসেবে: প্রতিবার এই হোল্ড করে , অর্থাত্ করে পরোক্ষভাবে সকলের জন্য ?Π p i ⊆ Σ p i Σ p i = Π p i i ≥ $i$$\Pi^p_i\subseteq \Sigma^p_i$$\Sigma_i^p = \Pi_i^p$$i \geq 1$

Comments

কিছুক্ষণ পর, যদি আমি সঠিকভাবে মনে রাখবেন, আমরা একটি অস্পষ্ট ব্যাখ্যা এসেছিলেন: "যদি , তাহলে আমরা quantifiers সঙ্গে একটি সূত্র রুপান্তর করতে পারেন এক quantifiers সঙ্গে , যা আমরা ফর্মের থেকে একটি সূত্র রূপান্তর করতে ব্যবহার করতে পারি the ফর্মের একটিতে , যা এটি places রাখে, যা পতন ঘটায় I আমি নিশ্চিত নই যে আমি এই যুক্তিটি পুরোপুরি বুঝতে পেরেছি ∀ । । । ∃ ∃ । । । ∀ Σ পি 3 ∃ । । । ∀ । । । ∃ ∃ । । । ∃ । । । ∀ Σ পি $\Pi_2^p \subseteq \Sigma_2^p$$\forall ... \exists$$\exists ... \forall$$\Sigma_3^p$$\exists ... \forall ... \exists$$\exists... \exists... \forall$$\Sigma_2^p$

— ওয়ার্ডএল

অন্য একটি পরামর্শ / ধারণা, গণিতের বিবৃতিগুলি সাবসেট অন্তর্ভুক্তি এবং সমতার মধ্যে পরিবর্তন করে (স্বীকার করুন জটিলতার তত্ত্বে এটি সাধারণ)। এক বা অন্যটিতে সংশোধন / সংশোধন করার কোন উপায় আছে? fyi Karp-Lipton thm /

— wikiedia

Answer 1

পুনরাহ্বান যে iff ˉ এল ∈ পাইয়ের মান পি আমি । ধরুন এখন Σ p i ⊆ Π p i , এবং এল ∈ Π পি i দিন । তারপরে ˉ L ∈ Σ p i এবং সুতরাং ˉ L ∈ Π p আমি অনুমান করে, যে এল ∈ Σ পি i বোঝায় । অন্য কথায়, Π p i ⊆ Σ $L \in \Sigma_i^p$$\bar{L} \in \Pi_i^p$$\Sigma_i^p \subseteq \Pi_i^p$$L \in \Pi_i^p$$\bar{L} \in \Sigma_i^p$$\bar{L} \in \Pi_i^p$$L \in \Sigma_i^p$ , এবং তাইΣ p i =Π p i ।$\Pi_i^p \subseteq \Sigma_i^p$$\Sigma_i^p = \Pi_i^p$

কেন যদি আইফএফ ˉ এল ∈ Π পি i । সংক্ষিপ্ততার জন্য, আমরা i = 3 নিই । সংজ্ঞা অনুসারে, L ∈ Σ p 3 যদি কিছু পি-টাইম প্রিডিকেট টি , এক্স ∈ এল ⇔ ∃ | y | < | এক্স | ও ( 1 ) ∀ | z | < | এক্স | ও ( 1 )$L \in \Sigma_i^p$$\bar{L} \in \Pi_i^p$$i = 3$$L \in \Sigma_3^p$$T$ একইভাবে ˉ এল ∈ Π পি 3 যদি কিছু পি-টাইম প্রিডিকেট এস , এক্স ∈ ˉ এল ⇔ ∀ | y | < | এক্স | ও ( 1 ) ∃ | z | < | এক্স |

$$x \in L \Leftrightarrow \exists |y| < |x|^{O(1)} \forall |z| < |x|^{O(1)} \exists |w| < |x|^{O(1)} T(x,y,z,w).$$ $\bar{L} \in \Pi_3^p$$S$ যাইহোক, এই দুটি বিবৃতি সমান, ডি মরগানের আইনগুলির সরল অনুরোধ হিসাবে দেখা যাচ্ছে যে একসাথে পি পরিপূরক হিসাবে বন্ধ রয়েছে (এস=¬টি নিন)। $$x \in \bar{L} \Leftrightarrow \forall |y| < |x|^{O(1)} \exists |z| < |x|^{O(1)} \forall |w| < |x|^{O(1)} S(x,y,z,w).$$ $S = \lnot T$