গ্যালোইসের উপপাদ্যটির কোনও জটিল দৃষ্টিভঙ্গি আছে কি?

গ্যালোয়সের উপপাদ্যটি কার্যকরভাবে বলেছে যে সহগ এবং মৌলিকদের যৌক্তিক ফাংশন ব্যবহার করে কেউ ডিগ্রি> = 5 এর বহুবর্ষের শিকড় প্রকাশ করতে পারে না - এটি কি এই বলে বলা যায় না যে একটি বহুবচনের ফলে শিকড়গুলি খুঁজে পাওয়ার জন্য কোনও ডিস্ট্রিমেন্টিক অ্যালগরিদম নেই?
এখন ফর্মের একটি সিদ্ধান্ত প্রশ্নটা বিবেচনা, "একটি বাস্তব মূলী বহুপদী দেওয়া $p$ এবং একটি সংখ্যা ট তৃতীয় ও চতুর্থ সর্বোচ্চ রুট $p$ তৈরির জন্য একটি কে ফাঁক অন্তত এ?"

এই সিদ্ধান্তের প্রশ্নের একটি প্রমাণ শংসাপত্র এই বহুত্বের মূলের সেট হবে এবং এটি হ'ল সংক্ষিপ্ত শংসাপত্র এবং তাই এটি $NP$ বাট গ্যালোইস উপপাদ্য বলে মনে করছেন না যে এর জন্য একটি শংসাপত্র খুঁজে পাওয়ার জন্য কোনও নির্বিচারক অ্যালগরিদম নেই saying সিদ্ধান্ত প্রশ্ন? (এবং এই সম্পত্তি যদি সত্য উত্তর দেয় যে কোনও প্রশ্নের অ্যালগরিদম এই প্রশ্নের উত্তর স্থির করে)

তাহলে কোন জটিলতায় এই সিদ্ধান্তের প্রশ্নটি পড়ে?

সমস্ত এনপি-সম্পূর্ণ প্রশ্ন আমি সর্বদা দেখেছি সেগুলি সমাধানের জন্য একটি তুচ্ছ তাত্পর্যপূর্ণ সময়যুক্ত অ্যালগরিদম উপলব্ধ। আমি জানি না এটি কোনও সম্পত্তি হিসাবে প্রত্যাশা করা হয় যা সমস্ত এনপি-সম্পূর্ণ প্রশ্নের জন্য সর্বদা সত্য হওয়া উচিত। এই সিদ্ধান্তের প্রশ্নের জন্য এটি সত্য বলে মনে হচ্ছে না।

complexity-theory np-complete np polynomials

— user6818
সূত্র

শিকড় একটি শংসাপত্র কিন্তু এটা আমার কাছে সুস্পষ্ট নয় যে তারা একটি করছি সংক্ষিপ্ত শংসাপত্র (অর্থাত, সেখানে যে একটি ধ্রুবক

যে, প্রত্যেক বহুপদী, আপনি আউট এর শিকড় লিখতে পারে এমন

বিট, যেখানে

হল বহুবর্ষটি লিখতে প্রয়োজনীয় বিটের সংখ্যা)। তবে যদি কোনও এনপি অ্যালগরিদম থাকে তবে একটি তুচ্ছ তাত্পর্যপূর্ণ-সময়যুক্ত অ্যালগরিদম থাকে: কেবলমাত্র সমস্ত সম্ভাব্য শংসাপত্রগুলি গণনা করুন এবং দেখুন সেগুলির মধ্যে কোনও কাজ করে কিনা।

k

$k$

O (n^{k})

$O(n^k)$

n

$n$

— ডেভিড রিচার্বি

কিছু মন্তব্য: (1) মূল

সর্বাধিক আছে পরম মান

। (২) স্ট্রর্ম সিকোয়েন্সগুলি বহুত্বের মূলকে আলাদা করতে ব্যবহৃত হতে পারে। (3) আমরা ঠিক

দূরত্বে দুটি শিকড় আছে কিনা তা পরীক্ষা করতে পারি এবং যদি তাই হয় তবে

এবং

এর জিসিডি গণনা করে

\sum_{i = 0}^{n} a_{i} x_{i}

$\sum_{i=0}^n a_i x_i$

max (1, \sum_{i = 0}^{n - 1} | a_{i} | / | a_{n} |)

$\max(1,\sum_{i=0}^{n-1} |a_i|/|a_n|)$

k

$k$

p (x)

$p(x)$

।

p (x + k)

$p(x+k)$

— যুবাল ফিল্মাস

@ ইউভালফিল্মাস আপনার উপরের কোন ধারণাকে উপরের সিদ্ধান্ত প্রশ্নে সিদ্ধান্ত নিতে ব্যবহার করা যেতে পারে? এগুলি সুস্পষ্ট নয় যদি এগুলি এই প্রশ্নটি স্থির করার জন্য ব্যবহার করা যায় - বহুসময়ের সময়ে?

— ব্যবহারকারী 6818

"গ্যালোয়সের উপপাদ্যটি কার্যকরভাবে বলেছে যে কোটাফিয়েন্টস এবং র‌্যাডিক্যালগুলির যৌক্তিক ফাংশন ব্যবহার করে কেউ ডিগ্রি> = 5 এর বহুবর্ষের শিকড় প্রকাশ করতে পারে না - এটি কি এই বলে বলা যায় না যে একটি বহুবর্ষের ভিত্তিতে শিকড়গুলির সন্ধানের জন্য কোনও নির্বিচারক অ্যালগরিদম নেই? " না, যেহেতু বহুতল সময়ের অ্যালগরিদমগুলি যুক্তিযুক্ত ফাংশনগুলির চেয়ে বেশি শক্তিশালী। উদাহরণস্বরূপ, তারা কেসগুলি বিভক্ত করতে পারে, পুনরাবৃত্তি করতে পারে, অ্যারে তৈরি করতে এবং তাদের উপর লুপ করতে পারে ইত্যাদি

— sdcvvc

@ ব্যবহারকারী 18৮৮৮ উপপাদ্য একটি নির্দিষ্ট গণনার মডেল নিয়ে উদ্বেগ প্রকাশ করেছে - র‌্যাডিকালগুলির যৌক্তিক কাজ। আপনি যদি মডেলটি পরিবর্তন করেন তবে এটি আর প্রযোজ্য না। উদাহরণস্বরূপ, ম্যাথওয়ার্ল্ড mathworld.wolfram.com/QuinticEquation.html অনুসারে জ্যাকব থিটা ফাংশন ব্যবহার করে 5 তম ডিগ্রি সমীকরণটি সমাধান করা সম্ভব। আপনি যদি একটি অ্যালগরিদম দিয়ে ভাল থাকেন যা 0.01 (বা কোনও প্রদত্ত

) এর মধ্যে রুট দেয় , গ্যালোইস উপপাদ্যটি আর এই পদ্ধতিটিকে অযোগ্য ঘোষণা করবে না, যেহেতু কোনও সংখ্যা যুক্তিযুক্ত দ্বারা সংহত হতে পারে।

ϵ > 0

$\epsilon > 0$

— sdcvvc

উত্তর:

আকর্ষণীয় সংযোগ, তবে গ্যালোইস তত্ত্ব বলেছে যে র‌্যাডিকালগুলি ব্যবহার করে কুইন্টিকের শিকড় অনুসন্ধানের জন্য কোনও (সামঞ্জস্যপূর্ণ) পদ্ধতি বিদ্যমান নেই , পরিবর্তে বলা হয়েছে যে সমস্যার একটি সমাধান রয়েছে (উদাহরণস্বরূপ একটি দীর্ঘতম পথ) যার জন্য অতি-বহু-কালীন সময় প্রয়োজন হতে পারে। সুতরাং আমি বলব এটি জটিলতার চেয়ে অনিশ্চয়তার সাথে আরও সম্পর্কিত।

সুনির্দিষ্টভাবে, গ্যালোয়াস তত্ত্বে একজন ধীরে ধীরে সমীকরণের গোষ্ঠীর গোষ্ঠী সম্প্রসারণকে ধাপে ধাপে (এক সময় একটি শিকড় যোগ করে) তৈরি করে। এবং এই সমস্ত গ্রুপগুলি সমাধানযোগ্য হবে, এক অর্থে এই ক্রমগুলি অন্য ক্রমে তৈরির প্রক্রিয়াটিতে কোনও দ্বিধা থাকা উচিত নয়। সমীকরণের গ্যালোয়িস গ্রুপ তৈরির জটিলতায় এমও সম্পর্কিত একটি প্রশ্ন রয়েছে ।

এখানে আরেকটি রেফারেন্স "কম্পিউটারিয় গ্যালোস তত্ত্ব: ইনভেরিয়েন্টস এবং সংস্থাগুলি ওভার ", ক্লাউস ফাইকার জর্জেন ক্লার্স $\mathbb{Q}$

সমীকরণের গ্যালোইস গ্রুপ (গুলি) নির্মাণের উপর ভিত্তি করে র‌্যাডিকালগুলি (যখন সমীকরণ র‌্যাডিকালগুলি ব্যবহার করে সমাধানযোগ্য হয় ) ব্যবহার করে একটি পদ্ধতিগতভাবে বহুবর্ষীয় শিখার মূলকে উপস্থাপন করতে পারে । তথ্যসূত্র: "বহুপদী শিকড়গুলির র্যাডিকাল রিপ্রেজেন্টেশন", হিরোকাজু আনাই কাজুহিরো ইয়োকোয়ামা ২০০২

নির্ধারণের গণনীয় জটিলতা যদি পূর্ণসংখ্যার কোনো প্রদত্ত monic সরলীকরণযোগ্য বহুপদী , মৌল দ্বারা দ্রবণীয় হয় সূত্র এস শুরু Landau জি এল মিলার 1984 "বহুপদী টাইম Solvability রেডিক্যাল দ্বারা হয়", $\mathbb{Z}$ $\mathbb{P}$

আলেকজান্ডার হুল্পকে সাম্প্রতিক "গ্যালোইস গ্রুপগুলির গণনার জন্য কৌশল" এর সমীক্ষা

অবশ্যই যদি কোনও ভাল অনুমানের অ্যালগরিদম এবং তাদের জটিলতার সন্ধান করে (যেমন নিউটনের পদ্ধতি বা স্টর্মের উপপাদ্য) এটি কিছুটা আলাদা প্রশ্ন এবং ইতিমধ্যে পোস্ট করা উত্তর সেই দিকটিতে আরও তথ্য সরবরাহ করে।

— নিকোস এম।
সূত্র

ধন্যবাদ! মনে হচ্ছে আমি দুর্ঘটনাক্রমে নিজেকে একটি খুব উত্তেজনাপূর্ণ প্রশ্ন জিজ্ঞাসা করেছি!

— ব্যবহারকারী 6818

@ ব্যবহারকারী 18৮৮৮, আরও তথ্য এবং আরও রেফারেন্স সহ আপডেট হওয়া উত্তরটির জন্য ধন্যবাদ

— নিকোস এম।

আমি ধরে নিয়েছি আপনি পূর্ণসংখ্যা সহগের সাথে বহুভুজ বিবেচনা করছেন ।

আপনি আপনার তদন্তের জন্য ভুল সূচনা পয়েন্ট নিয়েছেন; আপনার লক্ষ্য আসল শিকড়গুলির জন্য ভাল অনুমানের সন্ধান করা । একটি বীজগণিত সূত্রের সন্ধান করা যাতে আপনি এটিকে যথাযথতার সাথে মূল্যায়ণ করতে পারেন এমন কিছু যা আপনি করতে পারেন তবে এখানে এটি করা সঠিক জিনিস নয়। (যদি না অবশ্যই, " kবহুভুজের বৃহত্তম-বৃহত্তম আসল মূল" আপনার বীজগণিতীয় অপারেশনগুলির মধ্যে একটি)

বহুত্বের শিকড়কে আলাদা করতে স্টর্মের উপপাদ্যটি ব্যবহার করা আরও ভাল শুরু করার পয়েন্ট । তারপরে আপনি বাইনারি অনুসন্ধানের মাধ্যমে আরও ভাল অনুমান তৈরি করতে পারেন তবে যদি এটি খুব ধীর হয় তবে আপনি দ্রুত উচ্চ নির্ভুলতার অনুমান উত্পাদন করতে নিউটনের পদ্ধতিটি ব্যবহার করতে পারেন ।

তবে এটি শংসাপত্র সন্ধানের সম্পর্কে । কী শংসাপত্রের অস্তিত্ব থাকতে পারে তা নিয়ে এখনও প্রশ্ন রয়েছে।

প্রথমে, আমি উল্লেখ করব যে আপনি দুটি শিকড় একেবারে ইউনিট পৃথক কিনা যেমন আপনি সরাসরি গণনা করতে পারেন , যেমন গণনা করে । বারবার শিকড় সম্পর্কে আপনি কী করতে চান তাও আপনাকে ঠিক করতে হবে এবং যথাযথভাবে ডিল করতে হবে। আমি ধরে নিয়েছি আপনি এই বিষয়গুলি বিশেষভাবে মোকাবেলা করবেন। $k$ $\gcd(p(x), p(x-k))$

যদি আমরা জানি যে দুটি শিকড় একেবারে ইউনিট নয় , এর অর্থ হল যে আপনি যথাযথ নির্ভুলতার একটি অনুমান উত্পাদন করতে পারবেন যে তারা প্রমাণিত করতে পারে যে সেগুলি ইউনিটের চেয়ে আলাদা বা কম less যেমন দুটি ধরনের শংসাপত্র রয়েছে: $k$ $k$

প্রথম ধরণের (নেতিবাচক মধ্যে প্রমাণ) হয়

মূল নয় $a$ $p$
এর কোনও শিকড় নেই $p$ $(a-k, a)$
এর তিনটি শিকড় রয়েছে $p$ $(a, \infty)$

দ্বিতীয় ধরণের (ধনাত্মক প্রমাণ) হয়

মূল নয় $a$ $p$
এর কমপক্ষে দুটি শিকড় রয়েছে $p$ $(a-k,a)$
এর দুটি মূল রয়েছে $p$ $(a, \infty)$

স্টর্মের উপপাদ্য ব্যবহার করে একটি শংসাপত্র যাচাই করা যেতে পারে। এখন, একটি সার্টিফিকেট আকার সম্পর্কে আপনার প্রশ্নের খোঁজার কিভাবে স্পষ্টতা অনেক বিট আপনি প্রতিনিধিত্ব প্রয়োজন নিচে boils । $a$

$a-b-k$ $a,b$ $f$

আমি দুর্দান্ত পদ্ধতির বিষয়ে নিশ্চিত নই, তবে আপনাকে যে কিছু দেওয়া উচিত তা হ'ল পর্যবেক্ষণ করা যে এই সমস্ত মানগুলি বহুবর্ষের মূল:

g (x) = {Res}_{y} (f (y), f (x + y + k))

$g(x) = \mathop{\text{Res}_y}(f(y), f(x + y + k))$

কেন? মনে রাখবেন যে দুটি মনিক বহুবচনগুলির ফলাফল তাদের মূলের সমস্ত পার্থক্যের ফলাফল

g (x) = c^{d^{2}} \prod_{a, b} (b - (a - x - k)) = \prod_{a, b} (x - (a - b - k))

$g(x) = c^{d^2} \prod_{a,b}(b - (a - x - k)) = \prod_{a,b} (x - (a-b-k))$

$c$ $d$ $f$ $-g(x)$ $g(x)$

সুতরাং প্রশ্নটি কত বড় গুণফলের জন্য তার হিসাবগুলি সন্ধান করতে হবে $g$ $g$

(বা, বিকল্পভাবে, বৃহত্তম বিস্তৃতি সন্ধান করুন যা বিপরীত বহুভুটির একটি মূল $g$ $g$

এখানে ডেটা উপস্থাপন সম্পর্কে কোনও সমস্যা আছে? এনপি মৌলিকভাবে ট্যুরিং মেশিন সম্পর্কে এবং এটি কীভাবে আসল সংখ্যার সাথে বা পর্যাপ্ত নির্ভুলতার যুক্তিগুলি লেখার জন্য প্রয়োজনীয় বিটের সংখ্যার সাথে সম্পর্কিত তা তাত্ক্ষণিকভাবে স্পষ্ট নয়। (আমি খুব গঠনমূলক না হওয়ার জন্য দুঃখিত: আমি জানি এটি একটি সমস্যা হতে পারে তবে এটি সত্যই কোনও সমস্যা কিনা তা জানার জন্য যথেষ্ট নয় বা এটি যদি হয় তবে কীভাবে এটি পুনরুদ্ধার করা যায়))

— ডেভিড রিচার্বি

a

$a$

a

$a$

সহগের তালিকা হিসাবে ইনপুট নিখুঁত ধারণা দেয়। তবে শিকড়কে উপস্থাপন করার জন্য প্রয়োজনীয় নির্ভুলতা সম্পর্কে আপনার অনুমানগুলি অবশ্যই পরীক্ষা করা দরকার। উদাহরণস্বরূপ, হিলবার্টের দশম সমস্যা (ডায়োফ্যান্টাইন সমীকরণগুলি সমাধান করা) অনস্বীকার্য কারণটি হ'ল মূলত আপনি ইনপুটটির দৈর্ঘ্যের ক্ষেত্রে সমাধানের দৈর্ঘ্যকে আবদ্ধ করতে পারবেন না। এটি এখানে সরাসরি প্রযোজ্য নয়, যেহেতু আমাদের কেবলমাত্র একটি পরিবর্তনশীল রয়েছে এবং আমরা পূর্ণসংখ্যার সমাধান খুঁজছি না, তবে এটি সীমানার ধারণা গ্রহণ সম্পর্কে খুব বড় প্রশ্ন জিজ্ঞাসা করে।

— ডেভিড রিচার্বি

@ ডেভিড: প্রকৃত বন্ধ ক্ষেত্রের তত্ত্বটি সংখ্যা তত্ত্বের চেয়ে নাটকীয়ভাবে পৃথক; একটি সম্পর্কে স্বজ্ঞাত অন্যটি সত্যিই ভাল অনুবাদ করে না।

যদি দুটি শিকড় হয়

k + 2^{- 2^{2^{n}}}

$k+2^{-2^{2^n}}$ বাদে বা

k - 2^{- 2^{2^{n}}}

$k-2^{-2^{2^n}}$ পৃথক্? পর্যাপ্ত নির্ভুলতার একটি অনুমান উত্পাদন করা কঠিন হতে পারে।

— যুবাল ফিল্মাস

আপনার প্রশ্নগুলি বেশিরভাগ উন্মুক্ত হিসাবে নিয়ে যাচ্ছি। আবেল- রুফিনি থেম হিসাবে পরিচিত গ্যালোইস প্রুফটি কুইন্টিকের বহুপদী সমাধানগুলির অসম্ভবতা দেখায়। (যেমন, চতুর্ভুজ সমীকরণের বিপরীতে)। সুতরাং এটি সত্যই প্রতি সমস্যাটির কঠোরতার ফলস্বরূপ নয় বরং অসম্ভবতা । এই অর্থে এটি উদাহরণস্বরূপ আরও থামানো সমস্যাটি স্থগিতের অনিশ্চয়তার প্রমাণ। জটিলতা তত্ত্ব কম্পিউটিং সলিউশনের "ব্যয়" এর সাথে সাধারণভাবে উদ্বিগ্ন। এই নিম্নলিখিত কাগজের প্রবর্তনীয় বিভাগে দুই শীর্ষস্থানীয় সিএস গবেষকের দৃষ্টিভঙ্গি ( সংযোগযোগ্যতা এবং জটিলতা / ক্লিনবার্গ এবং পাপাদিমিট্রিউ), সিক্ট 1 দ্য কোয়েস্টিক ফর্মুলার জন্য কোয়েস্ট:

কয়েক শতাব্দীর নিরাপদ দূরত্ব থেকে দেখা, গল্পটি স্পষ্টভাবে কম্পনের বিষয়ে একটি, এবং এতে মডেল গণনার পরবর্তী প্রয়াসে উদ্ভূত অনেকগুলি মূল উপাদান রয়েছে: আমরা একটি গণনামূলক প্রক্রিয়া গ্রহণ করি যা আমরা স্বজ্ঞাতভাবে বুঝতে পারি (একটি সমীকরণ সমাধান করা) , এক্ষেত্রে), একটি সুনির্দিষ্ট মডেল তৈরি করুন এবং মডেলটি থেকে প্রক্রিয়াটির গণনা শক্তি সম্পর্কে কিছু চূড়ান্ত অপ্রত্যাশিত পরিণতি পাওয়া যায়। এটি সাধারণভাবে গণনার ক্ষেত্রে আমরা প্রয়োগ করতে ইচ্ছুক এই পন্থাটি।

অন্য কোথাও একটি আলগা / সাধারণ উপমা হতে পারে যে পি $\neq$ এনপি প্রুফ (বা অন্যান্য জটিলতার শ্রেণি বিচ্ছেদ) হ'ল আবেগ-রুফিনি থেমের মতো কিছুটা গণনার অসম্ভব ফলাফলের সাথে সমান। একটি বিচ্ছেদের ফলাফল মোটামুটিভাবে বলে যে একটি নির্দিষ্ট ধরণের সমস্যা অন্য নির্দিষ্ট ধরণের "গণনীয় সংস্থানগুলি" দিয়ে সমাধান করা যায় না। a পি $\neq$ এনপি উপপাদ্যকে একটি (স্মৃতিসৌধ) গণনা অসম্ভব ফল হিসাবে দেখা হবে।

— vzn
সূত্র

আমি নিশ্চিত না যে থামার সমস্যাটি একটি ভাল উপমা, কারণ এটি "কোনও উত্তর নেই বলার অপেক্ষা রাখে না" বরং আপনি উত্তরটি উত্তর করতে পারবেন না of

গ্যালোইস উপপাদ্য কি হ্যালটিং সমস্যার মতো একটি গণনামূলক অসম্ভব ফলাফল নয়?

— ব্যবহারকারী 6818