গডেলের অসম্পূর্ণতা উপপাদ্য, থামার সমস্যা এবং সার্বজনীন ট্যুরিং মেশিনের মধ্যে কি কোনও দৃ concrete় সম্পর্ক রয়েছে?


75

আমি সবসময় অস্পষ্টভাবে ভেবেছিলাম যে উপরের প্রশ্নের উত্তর নিম্নলিখিত পংক্তির সাথে সম্মতিযুক্ত ছিল। গডেলের অসম্পূর্ণতা উপপাদ্য এবং স্থগিত হওয়া সমস্যার অবিসংবাদ উভয়ই সিদ্ধান্তগ্রহণের নেতিবাচক ফলাফল এবং তির্যক যুক্তি দ্বারা প্রতিষ্ঠিত (এবং 1930 এর দশকে), সুতরাং তাদের অবশ্যই একই বিষয় দেখার জন্য দুটি উপায় হতে হবে। এবং আমি ভেবেছিলাম যে ট্যুরিং থামানোর সমস্যাটি সমাধানযোগ্য নয় এটি দেখানোর জন্য একটি সর্বজনীন ট্যুরিং মেশিন ব্যবহার করেছিলেন। ( এই গণিত.এসই প্রশ্নটি দেখুন।)

তবে এখন (গণ্যতার কোর্স শেখানো) আমি এই বিষয়গুলি আরও ঘনিষ্ঠভাবে দেখি, তবে আমি যা পেয়েছি তা শুনে আমি বিস্মিত হয়েছি। তাই আমি আমার চিন্তাভাবনা সোজা করার জন্য কিছু সহায়তা চাই। আমি বুঝতে পেরেছি যে একদিকে গডেলের তির্যক যুক্তি খুব সূক্ষ্ম: একটি পাটিগণিত বিবৃতি নির্মাণের জন্য এটির অনেক কাজ দরকার যা এটির নিজস্ব বিকাশ সম্পর্কে কিছু বলার মতো ব্যাখ্যা করা যেতে পারে। অন্যদিকে আমি এখানে যে থামানো সমস্যার অনিশ্চয়তার প্রমাণ পেয়েছি তা অত্যন্ত সহজ, এবং এমনকি স্পষ্টভাবে টুরিং মেশিনের উল্লেখও করেনি, সর্বজনীন ট্যুরিং মেশিনের অস্তিত্বকেই ছেড়ে দিন।

ইউনিভার্সাল ট্যুরিং মেশিন সম্পর্কে একটি ব্যবহারিক প্রশ্ন হ'ল সার্বজনীন টিউরিং মেশিনের বর্ণমালা যে টুরিং মেশিনগুলির অনুকরণ করে, তার মতোই এটির কোনও গুরুত্ব আছে কিনা। আমি ভেবেছিলাম যে যথাযথ তির্যক যুক্তি (মেশিনটি নিজেই সিমুলেট করাতে) তৈরি করার জন্য এটি প্রয়োজনীয় হবে তবে আমি নেটটিতে যে সর্বজনীন মেশিনের বিবরণ পেয়েছি সেগুলির বিবরণের বিভ্রান্তিকর সংগ্রহটিতে এই প্রশ্নের কোনও মনোযোগ পাইনি। যদি থামার সমস্যার জন্য না হয়, তবে সর্বজনীন ট্যুরিং মেশিনগুলি কোনও তির্যক যুক্তিতে কার্যকর?

অবশেষে আমি এই আরও বিভাগ দ্বারা বিভ্রান্তএকই ডব্লিউপি নিবন্ধের, যা বলেছে যে গডেলের অসম্পূর্ণতার দুর্বল রূপটি থমকে থাকা সমস্যাটি অনুসরণ করে: "প্রাকৃতিক সংখ্যা সম্পর্কে সমস্ত বিবৃতি একটি সম্পূর্ণ, ধারাবাহিক এবং শব্দাত্মক অক্ষমতা" যেখানে "শব্দ" দুর্বল বলে মনে করা হচ্ছে। আমি জানি যে একটি তত্ত্ব সামঞ্জস্যপূর্ণ যদি কেউ বৈপরীত্য অর্জন করতে না পারে, এবং প্রাকৃতিক সংখ্যা সম্পর্কে একটি সম্পূর্ণ তত্ত্বের অর্থ এই বলে মনে হয় যে প্রাকৃতিক সংখ্যা সম্পর্কে সমস্ত সত্য বিবৃতি এতে প্রাপ্ত হতে পারে; আমি জানি গডেল বলেছেন যে এই জাতীয় তত্ত্বের কোন অস্তিত্ব নেই, তবে আমি এটিকে অনুমান করতে পারি না যে এই জাতীয় অনুমানের জন্তুটি কীভাবে সম্ভবত সাবলীল হতে ব্যর্থ হতে পারে, অর্থাৎ প্রাকৃতিক সংখ্যার জন্য মিথ্যা এমন বিবৃতিও বয়ে আনতে পারে: এ জাতীয় বক্তব্যের অবজ্ঞা সত্য হবে , এবং তাই সম্পূর্ণতা দ্বারা উপার্জনযোগ্য, যা ধারাবাহিকতার বিরোধিতা করবে।

আমি এই পয়েন্টগুলির মধ্যে যে কোনও স্পষ্টতার প্রশংসা করব।


আপনার একটি ধারণাগত সমস্যা রয়েছে: অ্যালগোরিদমিক ক্ষয়িষ্ণুতা (হোল্টিং সমস্যা) এবং ডেরাইভেবিলিটি রেসপন্স। প্রব্যাবিলিটি (লজিকস) দুটি খুব ভিন্ন ধারণা; আপনি উভয় "decidability" ব্যবহার বলে মনে হচ্ছে।
রাফেল

1
@ রাফেল: আমি খুব ভাল করেই জানি যে অসম্পূর্ণতা উপপাদ্যের বক্তব্য এবং থামানো সমস্যার অনিশ্চয়তার মধ্যে একটি বিশাল ধারণাগত পার্থক্য রয়েছে। তবে অসম্পূর্ণতার নেতিবাচক রূপ: পর্যাপ্ত শক্তিশালী আনুষ্ঠানিক ব্যবস্থা উভয়ই সামঞ্জস্যপূর্ণ এবং সম্পূর্ণ হতে পারে না, একটি অনিবার্য বিবৃতিতে অনুবাদ করে: যেহেতু একটি আনুষ্ঠানিক সিস্টেমে ছাড়যোগ্য তাত্ত্বিক সংস্থাগুলি নির্মাণের মাধ্যমে আধা-সিদ্ধান্ত গ্রহণযোগ্য হয়, সম্পূর্ণতাটি সেটটিকে অ-সেট করে তুলবে -তত্ত্বগুলি অর্ধ-নির্ধারণযোগ্য পাশাপাশি (তাত্ত্বিকতা অবহেলা হিসাবে, ধারাবাহিকতা ধরে রেখে, বা অন্যথায় খালি সেট হিসাবে), তাই সিদ্ধান্ত গ্রহণযোগ্য।
মার্ক ভ্যান লিউউইন

হ্যাঁ, দুটি প্রমাণই ধারণামূলকভাবে অত্যন্ত মিল এবং প্রকৃতপক্ষে এটি দেখার একটি উপায় হ'ল গডেল পাটিগণিতগুলিতে এক ধরণের টুরিং-সম্পূর্ণ যুক্তি তৈরি করেছিলেন। অনেকগুলি বই রয়েছে যা এই ধারণাগত সমতুল্যতা নির্দেশ করে। যেমন গডেল এসচার বাচ হফস্ট্যাডের দ্বারা বা সম্রাটদের নতুন মন
পেনরোজের মাধ্যমে

কিছুটা সম্পর্কিত ... আমি সর্বদা হাফস্টাডটারের প্যারাবেলকে মিস করি যেখানে থামানো সমস্যা থামানোর সমস্যার ক্ষেত্রে প্রয়োগ হিসাবে অ্যাচিলিসের রেকর্ড প্লেয়ারকে ভেঙে রাখে। আসলে, আমি এই থ্রেডটি (পুনরায়) আমার বিভ্রান্তিকে অনুসন্ধান করে খুঁজে পেয়েছি। আমি এখনও অনুভব করি যে প্যারাবেলটি আরও স্বাভাবিকভাবে এবং সরাসরি থামানো সমস্যার সাথে অনুবাদ করে তবে এটি কোনও উপপাদ্যের গভীর বোঝা ছাড়াই is
মিকানস

উত্তর:


32

আমি আপনাকে স্কুরি অ্যারনসনের ব্লগ পোস্টটি ট্যুরিং মেশিন এবং রোজারের উপপাদ্য মাধ্যমে অসম্পূর্ণতা উপপাদ্যের প্রমাণ হিসাবে পরীক্ষা করার পরামর্শ দিচ্ছি । অসম্পূর্ণতা উপপাদ্যের তার প্রমাণটি অত্যন্ত সহজ এবং অনুসরণ করা সহজ।


এই লিঙ্কটির জন্য আপনাকে ধন্যবাদ, আমি এখনই গ্রহণ করব কারণ এটি আমার উদ্বেগের নিকটে আসে। প্রথমে যদিও আমি বেশ ব্যাঘাত পেয়েছিলাম: "প্রতিটি সত্যই একটি উপার্জনযোগ্য" (শব্দের সাথে একটি কথোপকথন) এর পরিবর্তে "যদি না হয় তবে হয়" (ধারাবাহিকের সাথে একটি বিপরীত) এর অর্থ আমি "সম্পূর্ণ" ভুল । স্কট অ্যারনসন দর্শকদের কাছে "সম্পূর্ণ" অর্থটি সুস্পষ্ট বলে মনে হয়, যদিও তিনি কোনও লজিস্টিয়ান শ্রোতাকে ধরে নিচ্ছেন বলে মনে হয় না (যা আমি অবশ্যই নই); আমার লেখার ভুল বোঝাবুঝি করে তিনি যা লেখেন তা বোঝা যায় না। আমার ত্রুটিটি খুঁজে পেয়ে আমি পোস্টটি বেশ আকর্ষণীয় মনে করি। ¬ পিP¬P
মার্ক ভ্যান লিউউইন

1
গণনাযোগ্যতা সম্পর্কে অধ্যায়ে দ্য প্রকৃতি অফ কমিউশন ( amazon.com/gp/cdp/member-reviews/A2DGFHJVZ92HVI/… ) বইয়ের অনুরূপ শিরাতে আরও একটি প্রমাণ রয়েছে । সেখানে লেখকরা রোজারের উপপাদ্যটি ব্যবহার এড়িয়ে চলেন এবং কেবল সর্বজনীন মেশিনের অস্তিত্ব ধরে নিলেন (যেমন, চার্চ-টুরিং থিসিস)। যথাযথ রেফারেন্সটি 7.2.5 পৃষ্ঠা 238.
মার্কোস ভিলাগ্রা

21

নীল কৃষ্ণস্বামীর উত্তর বন্ধের সমস্যা, আপত্তিজনক সেট: সাধারণ গাণিতিক প্রমাণ? সিএসটিওরিতে বিভাগের তত্ত্বের ছত্রছায়ায় উপরের ফলাফলগুলিকে সংযুক্ত রেফারেন্সগুলিতে উল্লেখ করা হয়েছে।


1
এই গবেষণাপত্রটি সিস্তিরির উত্তরে উল্লেখ করা হয়নি (তবে এটি উত্তর থেকে আন্দ্রেজ বাউরের ব্লগ পোস্টের মন্তব্যে রয়েছে) তবে এটি সম্ভবত একটি ভাল ওভারভিউও ।
আর্টেম কাজনাটচিভ

এটি প্রমাণের মিলের ভিত্তিতে সংযোগ, ফলাফলগুলির মধ্যে জড়িত হওয়ার চেয়ে তাই না?
রাফেল

1
আচ্ছা, আর্টেমের সাথে লিঙ্ক করা কাগজে থাকা ভিউটি হ'ল এগুলি সমস্তই একক বিভাগ-তাত্ত্বিক সত্যের প্রকাশ।
সুরেশ

16

(সুরেশের উত্তরের এটি একটি মন্তব্য বলে মনে করা হচ্ছে, তবে এটি ফিট করার পক্ষে এটি খুব দীর্ঘ। তাই আমি ইতিমধ্যে ক্ষমাপ্রার্থী যে এটি সত্যই মার্কের প্রশ্নের উত্তর দেয় না))

আমি নীলের উত্তরটি খুঁজে পেয়েছি হ্যালটিং সমস্যা, আপত্তিজনক সেট: সাধারণ গাণিতিক প্রমাণ? সিএসটিওরি এবং আন্দ্রেজ বাউরের ব্লগ পোস্টটি দুটি কারণে অসন্তুষ্ট।

প্রথমত, সংযোগটি ব্যাখ্যা করার জন্য আমাদের সাধারণত সমস্ত বিভাগ-তাত্ত্বিক জার্গন প্রয়োজন হয় না। অনস্বীকার্য ভাষার অস্তিত্ব ক্যান্টোরের উপপাদ্য দ্বারা বোঝানো হয়েছে , যার একটি খুব প্রাথমিক তির্যক প্রমাণ রয়েছে। কারণ প্রোগ্রামের সেটে equinumerous হয় । অন্যদিকে, যেহেতু প্রতিটি ভাষা of এর উপসেট হিসাবে দেখা যায় , এবং এইভাবে সমস্ত ভাষার সেট সমান । ক্যান্টর এর উপপাদ্য দ্বারা সেখান থেকে কোন surjection হয় সম্মুখের , এবং এইভাবে আমরা জানি একটি undecidable ভাষা সেখানে থাকা আবশ্যক।এন পি ( এন ) এন পি ( এন )NNP(N)NP(N)

দ্বিতীয়ত, উপরোক্ত প্রমাণটি অসন্তুষ্টিজনক যেহেতু আমরা একটি যুক্তিসঙ্গত অগ্রহণযোগ্য ভাষার উদাহরণ "দেখতে "ও চাই। উপরোক্ত প্রমাণগুলি গণনা যুক্তি হিসাবে দেখা যেতে পারে এবং এই অর্থে সত্যই "গঠনমূলক" নয়। টিউরিং থামার সমস্যাটির উদাহরণ হিসাবে আবিষ্কার করে।


+1 এটি একটি আরও সহজ পদ্ধতি, তবে আমি এখনও এ নিয়ে সন্দেহ করি: "এবং সুতরাং আমরা জানি যে অবশ্যই একটি অনির্বচনীয় ভাষা থাকতে হবে।" আপনি কি অনিবার্য ভাষা এবং অনস্বীকার্য সমস্যার মধ্যে পার্থক্য নির্দিষ্ট করতে পারেন?
হার্নান_চে

1
@ হার্নান_ই আসলে "পার্থক্য" নেই। গণনা তত্ত্বের কোনও সিদ্ধান্তের সমস্যাটিকে ইনপুটগুলির সেট-এর কোনও হ্যাঁ-বা-প্রশ্ন হিসাবে সংজ্ঞায়িত করা যেতে পারে । সুতরাং, আমরা প্রতিটি সিদ্ধান্ত সমস্যা ইনপুটগুলির সেট সেট করতে পারি যার জন্য উত্তরটি হ্যাঁ। সেট সমস্যাটি দ্বারা সংজ্ঞায়িত ভাষা । পি এল Σ এল পিxΣPLΣLP
দাই

বোঝা গেছে, আপনি খুব স্পষ্ট, আমি গণনা যুক্তি পুরোপুরি সন্তোষজনক নয়, তবে উদাহরণ ছাড়াই আমিও মনে করি সম্ভবত সবচেয়ে খারাপ দিকটি অসীম, তখন সেখানে বলার চেয়ে বড় অবাক হওয়ার কিছু নেই there অনির্বচনীয় ভাষা, একটি সীমাবদ্ধ মামলার যুক্তিটি প্রসারিত করা ( সীমাবদ্ধ করার পক্ষে আরও ভাল বলা ) দুর্দান্ত হবে , (আমি একটি অনিবার্য সমস্যার উদাহরণ চাইছি না), তবে সীমাবদ্ধ সেটগুলির জন্য বৈধ হওয়ার অনুরূপ প্রমাণ (বা আপত্তি) ইনপুটটি of এর পরিবর্তে এনLΣN
স্বীকৃত

কিন্তু তির্যক যুক্তি প্রকৃতপক্ষে একটি গঠনমূলক প্রমাণ। ক্যান্টোরের উপপাদ্যটিতে আপনার হ্রাসের পাশাপাশি, অনস্বীকার্য ভাষা হ'ল এমন সমস্ত মেশিনের সেট যাঁর এনকোডিং স্বীকৃত ভাষায় নেই।
উইলার্ড ঝান

6

ইউনিভার্সাল ট্যুরিং মেশিনগুলি কিছু তির্যক তর্কগুলির জন্য দরকারী, যেমন সময় বা স্থান জটিলতার শ্রেণিবিন্যাসের কিছু শ্রেণির বিভাজন : সর্বজনীন মেশিনটি prove in এ সিদ্ধান্ত গ্রহণের সমস্যা রয়েছে তা প্রমাণ করার জন্য ব্যবহৃত হয় তবে । (WP নিবন্ধে আরও ভাল সীমা পাওয়া যাবে)ডিটাইম ( এফ ( এন / 2 ) )DTIME(f(n)3)DTIME(f(n/2))

তবে, পুরোপুরি সত্যি বলতে, সর্বজনীন মেশিনটি 'নেতিবাচক' অংশে ব্যবহৃত হয় না: প্রমাণ হিসাবে ধরা পড়ে যে এমন একটি মেশিন যা থামানো সমস্যার একটি সময়-সীমিত সংস্করণ সমাধান করবে এবং তারপরে এটি নির্মাণে এগিয়ে যাবে । (এখানে কোনও সার্বজনীন মেশিন নেই) সার্বজনীন মেশিনটি থামানো সমস্যার সময়-সীমাবদ্ধ সংস্করণটিকে আরও বেশি পরিমাণে সমাধান করতে ব্যবহৃত হয়।¬ কে কেK¬KK


পর্যাপ্তভাবে নন কনস্ট্যান্ট এফ (এন) এর জন্য।
যোনাতন এন

0

"যদি থামার সমস্যা না হয়, তবে সর্বজনীন টুরিং মেশিনগুলি কোনও তির্যক যুক্তিতে কার্যকর?"

ধানের উপপাদ্যটি মূলত টুরিং মেশিনের বিরুদ্ধে তির্যককরণের সাধারণীকরণ। এটি দেখায় যে ট্যুরিং মেশিনগুলির সম্পর্কে একেবারেই কোনও সম্পত্তি নেই যা আপনি সমস্ত টুরিং মেশিনের জন্য একটি একক অ্যালগরিদম দিয়ে সিদ্ধান্ত নিতে পারেন যদি না সেই সম্পত্তি সমস্ত টিউরিং মেশিন বা কোনও ট্যুরিং মেশিন রাখে না। সমস্ত টিউরিং মেশিন বা কোনও ট্যুরিং মেশিনের সম্পত্তি হোল্ডিংটি তির্যকরণ মেশিন হতে তির্যক বস্তুকে আটকাতে বাধা দেয়, সুতরাং সম্পত্তি সম্পর্কে সিদ্ধান্তের বিরোধিতা করার জন্য এটি প্রথমে তালিকায় থাকতে পারে না। আসলে এটিই একমাত্রতালিকায় তির্যক বস্তুটি আটকে রাখা এবং সম্পত্তি সম্পর্কে সিদ্ধান্তের বিরোধিতা করা থেকে বিরত রাখার জিনিসটি ট্যুরিং মেশিনের সমস্ত সম্পত্তি অনস্বীকার্য। আপনি যে বিষয়গুলি সম্পর্কে সিদ্ধান্ত নেওয়ার চেষ্টা করছেন এবং এখনও সিদ্ধান্তটিকে তুচ্ছ করছেন তার তালিকার একটি সদস্য হওয়া দরকার এই তির্যক বস্তুর এই প্যাটার্নটি, লভেরের উপপাদ্য (সুরেশের উত্তরের লিঙ্কে রেফারেন্স করা) সমালোচনামূলক সমালোচনা তির্যক ধারণাটি সম্পূর্ণরূপে সাধারণকরণের জন্য to এখন, যেহেতু আমরা অভিজ্ঞতার দ্বারা জানি যে প্রায় প্রতিটি তির্যককে গাণিতিক যুক্তিতে কিছু গুরুত্বপূর্ণ ফলাফল অর্জনের সাধারণ সম্পত্তি বলে মনে হয়, যা লভেরের উপপাদ্যকে বেশ আকর্ষণীয় হাতিয়ার করে তুলেছে।

আমাদের সাইট ব্যবহার করে, আপনি স্বীকার করেছেন যে আপনি আমাদের কুকি নীতি এবং গোপনীয়তা নীতিটি পড়েছেন এবং বুঝতে পেরেছেন ।
Licensed under cc by-sa 3.0 with attribution required.