এভিএল গাছ ওজন-ভারসাম্যহীন নয়?

Question

আগের প্রশ্নে ওজন ভারসাম্যযুক্ত গাছের সংজ্ঞা এবং লাল-কালো গাছ সম্পর্কিত একটি প্রশ্ন ছিল।

এই প্রশ্নটি একই প্রশ্নটি জিজ্ঞাসা করা, তবে এভিএল গাছগুলির জন্য ।

প্রশ্নটি হ'ল, অন্য প্রশ্নের মতো ভারসাম্যযুক্ত গাছগুলির সংজ্ঞা দেওয়া ,$\mu$

এমন কি কোনও জিটি যে সমস্ত বড় এভিএল গাছগুলি ভারসাম্যযুক্ত?$\mu \gt 0$$\mu$

আমার ধারণা, এভিএল গাছগুলির একটিমাত্র সংজ্ঞা আছে এবং এখানে কোনও দ্বিধা নেই।

Answer 1

দাবি : না, এমন কোনও ।$\mu$

প্রুফ : আমরা ক্রমবর্ধমান আকারের এভিএল গাছগুলির একটি সীমাহীন ক্রম দিচ্ছি যার দাবির বিরোধিতা করে ওজন-ভারসাম্য মান থাকে ।$0$

যাক উচ্চতার সম্পূর্ণ গাছ ; এটিতে নোড রয়েছে। এইচ 2 এইচ + 1 - $C_h$$h$$2^{h+1}-1$

যাক ফিবানচি গাছ উচ্চতার ; এটিতে নোড রয়েছে। [ ১ , ২ , টিওসিপি ৩ ]$S_h$F h + 2 - $h$$F_{h+2} - 1$

এখন এর সাথে দিয়ে আমরা দাবি করি যে গাছগুলির ক্রমটি একটি পাল্টা উদাহরণ হিসাবে দাবি করি। টি এইচ = এন ( এস এইচ , সি এইচ$(T_h)_{i\geq 1}$$T_h = N(S_h,C_h)$

কিছু জন্য এর মূলের ওজন-ভারসাম্য মান বিবেচনা করুন : এইচ ∈ এন$T_h$$h \in \mathbb{N}_+$

$\qquad \displaystyle \begin{align*} \frac{F_{h+2}}{2^{h+1} + F_{h+2} - 1} &= \frac{1}{1 + \frac{2^{h+1}}{F_{h+2}} - \frac{1}{F_{h+2}{}}} \\ &\sim \frac{F_{h+2}}{2^{h+1}} \\ &= \frac{\frac{1}{\sqrt{5}}(\phi^{h+2} - \hat{\phi}^{h+2})}{2^{h+1}} \\ &\sim \frac{\phi^{h+2}}{\sqrt{5}\cdot 2^{h+1}} \underset{h \to \infty}{\to} 0 \end{align*}$

এই প্রমাণ শেষ।

স্বরলিপি :

• $F_n$ হল তম ফিবোনাচি সংখ্যা$n$
• φ ≈ - $\phi \approx 1.6$ হয় গোল্ডেন অনুপাত , তার অনুবন্ধী।$\hat{\phi} \approx -0.62$
• f g lim n → ∞ f ( n $f \sim g$ অর্থ হ'ল এবং asyptotically সমান, অর্থাৎ ।$f$$g$$\lim_{n \to \infty} \frac{f(n)}{g(n)} = 1$

নোটা বেন : ফিবোনাচি গাছগুলি হ'ল সেই অ্যাভিএল গাছ যা প্রদত্ত উচ্চতার জন্য সর্বনিম্ন নোড থাকে (বা সমতুল্যভাবে, প্রদত্ত সংখ্যার নোডের সর্বাধিক উচ্চতা)।

সংযোজন : আমরা যদি কোনও প্রফেসরের কথা উল্লেখ না করে থাকি তবে আমরা কীভাবে ফিবোনাচি গাছ নিয়ে আসতে পারি? আচ্ছা, যতটা সম্ভব নোডের সাথে উচ্চতার এর একটি এভিএল গাছটি দেখতে কেমন হবে? অবশ্যই আপনার একটি রুট দরকার। সাবট্রির একটির উচ্চতা এবং আমাদের এটি যতটা সম্ভব নোড দিয়ে বেছে নিতে হবে। অন্যটির উচ্চতা ভারসাম্য শর্ত লঙ্ঘন না করে উচ্চতা থাকতে পারে এবং আমরা এটি যতটা সম্ভব নোড দিয়ে বেছে নিই। সংক্ষেপে, আমরা পুনরাবৃত্তভাবে আমরা যে গাছগুলি তৈরি করি তা নির্মাণ করি! এই প্রথম চারটি:h - 1 h - $h$$h-1$$h-2$

^{[ উত্স ]}

আমরা নোড সংখ্যার জন্য একটি পুনরাবৃত্তি সেট আপ উচ্চতার সঙ্গে সঙ্গে thusly নির্মাণ গাছে :$f(h)$$h$

$\qquad \displaystyle \begin{align*} f(1) &= 1 \\ f(2) &= 2 \\ f(h) &= f(h-1) + f(h-2) + 1 \qquad n \geq 3 \end{align*}$

এটি সমাধান করা যা আমরা উপরে ব্যবহার করেছি used$f(h) = F_{h+2} - 1$

---

একই প্রমাণটি নীবার্গেল্ট এবং রেইনগোল্ড (1972) দ্বারা সীমাবদ্ধ ব্যালেন্সের বাইনারি অনুসন্ধান গাছগুলিতে (কম বিশদ সহ) দেওয়া হয়েছে ।