মিনিট কাটা কি নেটওয়ার্ক প্রবাহের চেয়ে সহজ হতে পারে?

সর্বোচ্চ প্রবাহ সর্বনিম্ন কাটা উপপাদ্য ধন্যবাদ, আমরা জানি যে আমরা একটি গনা একটি নেটওয়ার্ক গ্রাফে সর্বোচ্চ প্রবাহ গনা কোনো অ্যালগরিদম ব্যবহার করতে পারেন -min কাটা। অতএব, সর্বনিম্ন সংকেত গণনার জটিলতা সর্বাধিক -প্রবাহের কম্পিউটিংয়ের জটিলতা ছাড়া আর কিছু নয়। $(s,t)$ $(s,t)$ $(s,t)$

এটা কি কম হতে পারে? ন্যূনতম গণনার জন্য কি কোনও অ্যালগরিদম থাকতে পারে - যে কোনও সর্বোচ্চ-প্রবাহের অ্যালগরিদমের তুলনায় দ্রুততর? $(s,t)$

আমি -মান-কাটা সমস্যার ) -ম্যাক্স-ফ্লো সমস্যা হ্রাস করার জন্য একটি হ্রাস সন্ধান করার চেষ্টা করেছি , তবে আমি একটি খুঁজে পাইনি। আমার প্রথম চিন্তাটি ছিল একটি বিভাজন এবং বিজয়ী অ্যালগরিদম ব্যবহার করার জন্য: প্রথমে একটি মিনিট কাট খুঁজে নিন, যা গ্রাফটি দুটি অংশে পৃথক করে; এখন পুনরাবৃত্তভাবে বাম অংশের জন্য সর্বাধিক প্রবাহ এবং ডান অংশের জন্য সর্বাধিক প্রবাহ খুঁজে পান এবং কাটা পার হওয়া সমস্ত প্রান্তের সাথে তাদের একত্রিত করুন। এটি প্রকৃতপক্ষে সর্বাধিক প্রবাহ উত্পাদন করতে কাজ করবে, তবে এর সবচেয়ে খারাপ ক্ষেত্রে চলমান সময়টি ন্যূনতম কাটা অ্যালগরিদমের চলমান সময়ের চেয়ে তত বেশি গুণ হতে পারে । এর চেয়ে ভাল হ্রাস কি আছে? $(s,t$ $(s,t)$ $O(|V|)$

আমি উপলব্ধি করেছি যে সর্বাধিক-প্রবাহের মিনি-কাটা উপপাদ্যটি দেখায় যে সর্বাধিক-প্রবাহের মান গণনা করার জটিলতা একটি ন্যূনতম কাটের ক্ষমতার কম্পিউটিংয়ের জটিলতার মতো , তবে আমি এটি সম্পর্কে জিজ্ঞাসা করছি না। আমি সর্বাধিক-প্রবাহ এবং একটি মিনিট-কাট (স্পষ্টভাবে) সন্ধানের সমস্যা সম্পর্কে জিজ্ঞাসা করছি।

এটি একটি ন্যূনতম কাটা থেকে সর্বাধিক প্রবাহ গণনার সাথে খুব ঘনিষ্ঠভাবে সম্পর্কিত , ব্যতীত: (1) আমি কেবল কার্পের হ্রাস (বহু-এক হ্রাস) নয়, এবং (২) কুক হ্রাস (টুরিং হ্রাস) অনুমোদন করতে রাজি আছি ( সম্ভবত দেওয়া এটি আমরা করতে পারেন কিছু গ্রাফ যেমন মিনিট কাটা যে এটা সহজ ম্যাক্স প্রবাহ গনা করে তোলে , যা কিছু আছে যা অন্য প্রশ্নের জন্য সুযোগ বাইরে যে হয়। $G$ $G'$ $G'$ $G$

— ডিডাব্লিউ
সূত্র

@ আশকানক্জমে, আমি আপনাকে অনুসরণ করছি না; তুমি কি বিস্তারিত বলতে পারো? আমি প্রশ্নের ৪ র্থ অনুচ্ছেদে উল্লেখ করেছি, সর্বাধিক-প্রবাহের মিনি-কাট উপপাদ্যটি দেখায় যে সর্বাধিক-প্রবাহের মান ন্যূনতম কাটার ক্ষমতার সমান । আমি সন্দেহ করি এটি আপনি কী ভাবছেন। তবে সর্বাধিক-প্রবাহের মানটি জানানো আপনাকে সর্বোচ্চ স্রোত নিজেই বলে না (উদাহরণস্বরূপ, প্রতিটি নির্দিষ্ট প্রান্তে কত পাঠাতে হবে)। এই প্রশ্নটি নিজেই সর্বোচ্চ-প্রবাহকে গণনা করার জটিলতা সম্পর্কে জিজ্ঞাসা করছে, মিন-কাট নিজেই গণনা করা comp আমার প্রশ্নটি হ'ল প্রশ্নের দ্বিতীয় অনুচ্ছেদে ঠিক যেমনটি বলা হয়েছে।

— DW

@ আশকানক্জমে, না, আমি কোনও ভুল অনুমান করি নি। আপনি স্পষ্টতই ধরে নিচ্ছেন যে মিনিট-কাট সন্ধানের জন্য ফোর্ড-ফুলারসন হ'ল দ্রুততম অ্যালগরিদম ... তবে যতদূর আমি জানি, কেউ কখনও এটি প্রমাণিত করতে পারেনি, এবং আমরা জানি না যে এটি সঠিক বা না। আমার কাছে এমন শোনা যাচ্ছে যে আপনি নিম্ন-সীমাবদ্ধ প্রমাণগুলির সাহায্যে স্ট্যান্ডার্ড রোকি ভুল করছেন: "এই সমস্যাটি দ্রুত সমাধান করার কোনও উপায় আমি দেখতে পাচ্ছি না, তাই এটি অসম্ভব হতে হবে"। (পিএস আপনি আমাকে সর্বাধিক প্রবাহের মিনিট কাট সম্পর্কে পাঠ্যপুস্তকের স্টাফ বলছেন telling আমি আপনাকে সাহায্য করার প্রয়াসের প্রশংসা করি, তবে আমি এর সাথে ইতিমধ্যে পরিচিত ...)

— ডিডাব্লু

আপনার বক্তব্য যতদূর "আমি মনে করি এটি প্রমাণিত হতে পারে যে আপনার যদি কেবল মিনিট কাট থাকে তবে আপনি সর্বাধিক প্রবাহ পেতে পারেন" ভাল, আমি আপনাকে তার প্রমাণ সহ একটি উত্তর লিখতে উত্সাহিত করি - কারণ এটি মূলত যা আমার প্রশ্ন জিজ্ঞাসা করা হয়। আমি এর প্রমাণ কখনও দেখিনি, তবে আপনার কাছে থাকলে আমি আশা করি এটি লিখে রাখবেন!

— DW

@ ডিডাব্লু আমি মনে করি আমি এখন প্রশ্নটি আরও ভালভাবে পেয়েছি। আমি মনে করি আপনি বহুভিত্তিক টিউরিং হ্রাস দেওয়ার বিষয়টি সত্যই প্রমাণ করেছেন।

প্রমাণ করার জন্য আপনার কি ধ্রুবক টুরিং হ্রাসের প্রয়োজন হবে না , এমনকি এমন কোনও হ্রাস সম্ভব না তা প্রমাণ করেও তা অস্বীকার করে না?

f (n) = Θ (g (n))

$f(n) = \Theta(g(n))$

— থমাস বসমান

@ থমাস বসম্যান, হ্যাঁ, এটি সঠিক। [আপনাকে বিভ্রান্ত করার জন্য দুঃখিত আমি প্রশ্নে যে হ্রাস পেয়েছি তা প্রমাণ করে যে

, যা খুব দুর্বল নিম্ন সীমানা। আমি আশা করছি যে কোনও হ্রাস হতে পারে যা প্রমাণ করে যে

, তবে আমি জানি না যে কীভাবে এটি তৈরি করা যায়]]

f (n) = Ω (g (n) / n)

$f(n) = \Omega(g(n)/n)$

f (n) = Ω (g (n))

$f(n) = \Omega(g(n))$

— ডিডাব্লু

-1

এখানে একটি সম্ভাব্য পন্থা:

ধরুন আপনি কাটা এস জানেন, তবে থেকে তে প্রবাহ সন্ধান করা শূন্য ব্যয়ের সাথে ন্যূনতম নেটওয়ার্কের প্রবাহের সমস্যা, যেহেতু আপনি প্রতিটি শীর্ষে এবং তে প্রবাহে জানেন । ধরুন একটি উল্লেখ করে প্রবাহ এবং নোড-আর্ক ম্যাট্রিক্স (অর্থাত সারি , কর্নেল 1 হয়েছে থাকে এর লেজ হয় , -1 যদি তার মাথা, শূন্য অন্যথায়), এবং দিন যে এই ধরনের হতে যদি $S$ $t$ $V\setminus S$ $t$ $f$ $S-t$ $A$ $i$ $j$ $i$ $j$ $b$ $Af = b$ $f$ সরবরাহ / চাহিদা এবং প্রবাহ সংরক্ষণ সন্তুষ্ট করে। তারপর গসিয়ান বর্জন সঙ্গে আমরা একটি সম্ভবপর সমাধান জানতে পারেন অপারেশন। $|V|^3$

একটা প্রবাহ আমরা অবশিষ্ট গ্রাফ যা সর্বাধিক লাগে গঠন করা প্রয়োজন থেকে আপনি কাটুন জন্য সময়, এবং তারপরে সম্ভাব্য পারাপার ছেদচিহ্ন। $|E|$ $|V|$

সুতরাং সম্পূর্ণ গ্রাফ এবং ন্যূনতম কাটা কেবল উত্স বা কেবল ডুবে থাকার জন্য, হ্রাস উভয় দিকের সবচেয়ে খারাপ ক্ষেত্রে সমান সময় নেয়। যাইহোক, আমি মনে হবে যে আপনি একটি সম্ভবপর সমাধান খোঁজার যতো তাড়াতাড়ি করা সম্ভব বিশেষ কাঠামো দেওয়া। কীভাবে প্রমাণ করতে হবে তা সম্পর্কে আমি নিশ্চিত নই। $Af =b$ $|V|^3$

— টমাস বোসমান
সূত্র

আমি বুঝতে পারি না যে কীভাবে গাউসিয়ান নির্মূলকরণ ব্যবহার করে

খুঁজে পাবেন । আমাদের আছে

লিনিয়ার সমীকরণ

অজানা। সাধারণত

, সুতরাং অজানাগুলি অনন্যভাবে নির্ধারণ করার জন্য আমাদের পর্যাপ্ত সমীকরণ থাকবে না। আমি কোন কৌশল অবহেলা করছি?

f

$f$

| V |

$|V|$

| E |

$|E|$

| E | > | V |

$|E|>|V|$

— DW

আমি এটিরও বিশেষজ্ঞ নই, তাই আমার ভুল হতে পারে। তবে কোনও অনন্য সমাধান নেই বলে মনে হয় এটি সহজ করে তুলেছে। যদি আপনি এটিকে সারি হ্রাস করা ইচেলোন ফর্মটিতে হ্রাস করেন তবে আপনার কাছে

স্বতন্ত্র কলাম। তারপরে সেই সাবম্যাট্রিক্স এবং

অনন্য সমাধানটি, অন্যান্য সমস্ত কলামের শূন্য প্রবাহের সাথে একত্রিত করে একটি অনন্য অনন্য সমাধান দেবে, যা প্রতি প্রতি সমস্যা নয়। যে সমস্যাটি আমি আগে থেকেই দেখতে পাচ্ছিলাম তা হ'ল

ক্ষমতা সীমাবদ্ধতা লঙ্ঘন করে তবে আমি স্বজ্ঞাতভাবে বলতে পারি যে এটিকে সরাসরি আটকানোর একটি উপায় আছে

| V |

$|V|$

b

$b$

f

$f$

— টমাস বোসম্যান

হ্যাঁ, সামর্থ্যের সীমাবদ্ধতাগুলি মূল চ্যালেঞ্জের মতো বলে মনে হচ্ছে। অন্যথায়, লিনিয়ার সমীকরণের সিস্টেমটি সমাধান করা আপনাকে এমন একটি সমাধান দিতে পারে যা

কে সন্তুষ্ট করে তবে এটি বৈধ প্রবাহ নয় কারণ এটি ক্ষমতা সীমাবদ্ধতা লঙ্ঘন করে।

A f = b

$Af=b$

— DW

ঠিক আছে ক্র্যাপ। আপনি সীমাবদ্ধতাগুলি (ওপরের এবং নিম্ন) যুক্ত করতে পারেন, যা আপনি জানেন যে এর সমাধান রয়েছে তবে আপনার | ভি | + 2 | ই | সারিগুলি যাতে ধীরে ধীরে হয় তখন কেবলমাত্র সর্বাধিক প্রবাহ গণনা করা।

— টমাস বসমান

অন্য সমস্যাটি হ'ল সামর্থ্যের সীমাবদ্ধতাগুলি অসমতা (সমতা নয়), সুতরাং আপনি গাউসিয়ান নির্মূল ব্যবহার করতে পারবেন না: আপনার রৈখিক প্রোগ্রামিং ব্যবহার করা দরকার, যা আপনারা বলেছেন যে কেবল গণনা করার চেয়ে কোনও দ্রুত হওয়ার সম্ভাবনা নেই doesn't সর্বোচ্চ প্রবাহ সরাসরি।

— ডিডাব্লু