গণনার উচ্চ-স্তরের বিবরণে পালিয়ে গিয়ে কি হাল্টিং সমস্যাটি "সমাধান করা" যেতে পারে?

Question

আমি সম্প্রতি একটি আকর্ষণীয় উপমা শুনেছি যা বলেছে যে থামানো সমস্যার অনস্বীকার্যতার টুরিংয়ের প্রমাণ রাসেলের নাপিত প্যারাডক্সের সাথে খুব মিল similar

তাই আমি অবাক হয়ে উঠলাম: গণিতবিদরা অবশেষে ক্যান্টারের নিখরচায় ক্ষেত্রটির সূক্ষ্ম সূত্র থেকে আরও জটিল অ্যাসিডোম সিস্টেমে (জেডএফসি সেট থিওরি) রূপান্তর করে সেট তত্ত্বকে সামঞ্জস্য করতে পেরেছিলেন, গুরুত্বপূর্ণ বর্জন (বিধিনিষেধ) এবং পথে সংযোজন করে।

সুতরাং সম্ভবত টিউরিং মেশিনের চেয়ে আরও শক্তিশালী এবং আরও অভিব্যক্তিক সাধারণ গণনার একটি বিমূর্ত বর্ণনার চেষ্টা করা সম্ভব হয়েছিল এবং যার সাহায্যে কেউ থামতে সমস্যা সমাধানের জন্য অস্তিত্বের প্রমাণ বা এমনকি একটি অ্যালগরিদম অর্জন করতে পারে একটি নির্বিচারে টুরিং-মেশিন?

Comments

কম্পিউটার সায়েন্স স্ট্যাক এক্সচেঞ্জে আপনাকে স্বাগতম। আপনি এখনও এটি না করে থাকলে দয়া করে cs.stackexchange.com/tour.if পড়ুন । --- আপনি টিএম এর চেয়ে বেশি শক্তিশালী মডেলের জন্য কী চেষ্টা করেছিলেন? আপনাকে বাধা দিচ্ছে কি?

— বাবু

@ বাবু বিপরীতে, আপনার একটি কম শক্তিশালী মডেল প্রয়োজন।

— যুবাল ফিল্মাস

@ ইউভালফিল্মাস ওয়েল, ওপি আরও দুর্বল মডেল নয়, আরও শক্তিশালী মডেল চাইছে। --- এইচ 2 সি 3 এর কাছে ক্ষমা চেয়ে ... আমার প্রশ্ন আসলে একটি রসিকতা ছিল কারণ যখন লোকেরা তাদের গৃহকর্মকে প্রশ্ন হিসাবে জমা দেয়। এটি অবশ্যই এখানে যথাযথ ছিল না, কারণ কেউই আশা করে না আপনি এমন একটি মডেল পাবেন। আমি আশা করি আপনি এটি খুব অ্যাসিডলি নেবেন না।

— বাবু

আপনি হাইপারকমপুটেশন এন.ইউইকিপিডিয়া.আর.উইকি / হাইপারকমপুটেশন সম্পর্কে পড়তে পছন্দ করতে পারেন ।

— এরিক টাওয়ার

Answer 1

আপনি সত্যিই তুলনা করতে পারবেন না। নাইভ সেট থিওরিতে প্যারাডক্স ছিল যা জেডএফসি সেট থিওরী দ্বারা নির্মূল করা হয়েছিল। ধারাবাহিকতার জন্য তত্ত্বটি উন্নত করতে হবে, কারণ বৈজ্ঞানিক কাজের একটি প্রাথমিক ধারণা হ'ল ধারাবাহিকতা অর্জনযোগ্য (অন্যথায় যুক্তি একটি চঞ্চল ব্যবসায় পরিণত হয়)। আমি মনে করি গণিতবিদরা আশা করেছিলেন এটি সম্ভব হবে, এবং সমস্যাটি সমাধানে কাজ করেছেন।

গণনা তত্ত্ব এবং থামার সমস্যা নিয়ে এমন কোনও পরিস্থিতি নেই। কোনও প্যারাডক্স নেই, কোনও অসঙ্গতি নেই। এটি ঠিক তাই ঘটে যে কোনও টিউরিং মেশিন নেই যা টিএম থামিয়ে দেওয়া সমস্যার সমাধান করতে পারে। এটি কেবল একটি উপপাদ্য, প্যারাডক্স নয়।

সুতরাং এটি হতে পারে যে মহাবিশ্ব সম্পর্কে আমাদের বোঝার কিছু সাফল্য আমরা এখন কল্পনাও করতে পারি না তার চেয়ে কমপিউশন মডেলগুলিকে নিয়ে যায়। এইমাত্র একমাত্র ইভেন্ট, খুব দুর্বল আকারে, টিএম রাজ্যের মধ্যে থেকে যায়, সম্ভবত কোয়ান্টাম কম্পিউটিং ছিল। এই খুব দুর্বল উদাহরণ যা জটিলতা স্পর্শ করে (এটি কতক্ষণ সময় নেয়?) তার চেয়ে কমপ্যাটিবিলিটি (এটি কি সম্ভব?) না, আমি সন্দেহ করি যে এই গ্রহের যে কারওর একটি ধারণা আছে যে টিএম ছাড়িয়ে গণ্যতা আশা করা উচিত।

তদ্ব্যতীত, থামানো সমস্যাটি এই সত্যটির প্রত্যক্ষ পরিণতি যে টুরিং মেশিনগুলি একটি নির্দিষ্ট সীমাবদ্ধ টেক্সট, চিহ্নগুলির ক্রম দ্বারা বর্ণনাযোগ্য। এটি আসলে আমাদের সমস্ত জ্ঞানের ক্ষেত্রে সত্য (যতদূর আমরা জানি), এবং এ কারণেই বক্তৃতা এবং বইগুলি এত গুরুত্বপূর্ণ। প্রমাণ এবং গণনা বর্ণনা করার জন্য আমাদের সমস্ত কৌশলগুলির ক্ষেত্রে এটি সত্য।

সুতরাং আমরা আমাদের গণনা করার পদ্ধতিটি প্রসারিত করার কোনও উপায় খুঁজে বের করতে চাইলে, টি + মেশিনগুলি দিয়ে বলুন। হয় এর অর্থ হ'ল আমরা সীমাবদ্ধ দলিল লেখার বাইরে জ্ঞান প্রকাশের একটি উপায় খুঁজে পেয়েছি, সেক্ষেত্রে পুরো জিনিসটি আমার এখতিয়ারের বাইরে চলে যায় (আমি নিখুঁত অক্ষমতার দাবি করি) এবং সম্ভবত অন্য কারওরও নয়। অথবা এটি সীমাবদ্ধ নথিগুলিতে এখনও প্রকাশযোগ্য হবে, এক্ষেত্রে টি + মেশিনগুলির জন্য এটির নিজস্ব থামার সমস্যা রয়েছে have এবং আপনি আবার প্রশ্ন জিজ্ঞাসা করা হবে।

আসলে সেই পরিস্থিতি বিপরীতে বিদ্যমান। কিছু ধরণের মেশিন ট্যুরিং মেশিনের চেয়ে দুর্বল, যেমন লিনিয়ার বাউন্ডেড অটোমেটা (এলবিএ)। যদিও তারা বেশ শক্তিশালী, তবে এটি টিএমের জন্য ঠিক যেমনটি করা হয়েছিল ঠিক তেমনি দেখা যায় যে এলবিএ এলবিএর জন্য থামার সমস্যাটি সমাধান করতে পারে না। তবে টিএম এটি এলবিএর জন্য সমাধান করতে পারে।

অবশেষে, আপনি ওরাকল প্রবর্তন করে আপনি আরও শক্তিশালী গণনীয় মডেলগুলি কল্পনা করতে পারেন, এটি এমন ডিভাইস যা নির্দিষ্ট সমস্যার উত্তর দিতে পারে এবং উত্তরগুলির জন্য একটি টিএম দ্বারা ডাকতে পারে, তবে দুর্ভাগ্যক্রমে শারীরিকভাবে বিদ্যমান নেই। এই ধরণের ওরাকল-এক্সটেন্ডেড টিএম আমি উপরে বিবেচিত টি + মেশিনের একটি উদাহরণ। তাদের মধ্যে কিছু টিএম থামিয়ে দেওয়া সমস্যার সমাধান করতে পারে (বিমূর্তভাবে, বাস্তবের জন্য নয়), তবে তাদের নিজস্ব হালটিং সমস্যা এমনকি বিমূর্তভাবে সমাধান করতে পারে না।

Comments

জেডএফসিটি ধারাবাহিকভাবে ধরে রাখুন, এটি এখনও অসম্পূর্ণ অর্থাত্ এমন বাক্য রয়েছে যা আমরা জেডএফসি থেকে প্রমাণ করতে পারি না বা অস্বীকারও করতে পারি না, এবং এটি থমকে থাকা সমস্যাটি সমাধানযোগ্য না হওয়ার সাথে নিবিড়ভাবে জড়িত, যদি থামানো সমাধানযোগ্য হয় তবে আমরা সমস্ত বাক্য প্রমাণ বা প্রমাণ করতে পারতাম। এটি গণিত, এবং এটি সমাধান করা কোনও অসঙ্গতি নয় বরং এটি একটি উপপাদ্য (গডেল)

— হার্নান_চি

@ হার্নান_ছে ভাল ... হ্যাঁ এবং ... কি ...? আপনি যদি ভাবেন যে অসম্পূর্ণতা অসম্পূর্ণতার চেয়ে খারাপ নয় তবে এটি আপনার ব্যক্তিগত রায়। আমি সন্দেহ করি বেশিরভাগ গণিতবিদ সম্মত হবেন। আপনি টিএম পছন্দ করতে পারেন না যা শেষ হয় না। তবে আপনি কি তাদের সর্বদা শেষ করতে চান, কখনও কখনও হ্যাঁ এবং কখনও কখনও না বলে একই ইনপুটটিতে। আপনি কি উত্তর দিতে হবে? এবং যদি আপনি অ-সংকল্পবাদ মনে করেন ... তবে দু'বার ভাবেন।

— বাবু

আমি কেবল এই স্পষ্ট করেই মন্তব্য করেছি যে কম্পিউটার বিজ্ঞান এবং গণিত একই সমস্যার সাথে লড়াই করে, পাঠকদের উত্তরটির ভুল ব্যাখ্যা করতে এড়ানোর জন্য যেমন গণিতটি জেডএফসির সাথে তার ভিত্তি সংক্রান্ত সমস্যাগুলি সমাধান করা হয়েছে এবং থামানো সমস্যাটি কেবল একটি কম্পিউটার বিজ্ঞানের সমস্যা ছিল, এটাই নয়, অসম্পূর্ণতা এবং থামার সমস্যার মধ্যে একটির সাথে একটি করে যোগাযোগ রয়েছে, এটি একই সমস্যা। আমি অসম্পূর্ণতা চেয়ে অসম্পূর্ণতা খারাপ বা ভাল বলে মনে করি না, তবে আমি মনে করি আপনি যদি উচ্চতর অর্ডার সিস্টেম তৈরি করতে চান তবে অসম্পূর্ণতা অসঙ্গতি হয়ে যাবে।

— হার্নান_চে

Answer 2

ভাল, আপনি সর্বদা সাধারণ টুরিং মেশিন থামার সমস্যার জন্য ওরাকল দিয়ে সজ্জিত একটি টুরিং মেশিনটিকে সর্বদা বিবেচনা করতে পারেন। অর্থাত, আপনার নতুন মেশিনটির একটি বিশেষ টেপ রয়েছে, যার উপরে এটি একটি সাধারণ ট্যুরিং মেশিনের বর্ণনা এবং এর ইনপুটটি লিখতে পারে এবং জিজ্ঞাসা করতে পারে যে মেশিনটি এই ইনপুটটিতে থামে কিনা। একক পদক্ষেপে, আপনি একটি উত্তর পেয়েছেন এবং আপনি এটি আরও গণনা সম্পাদন করতে ব্যবহার করতে পারেন। (এটি একক পদক্ষেপে রয়েছে কিনা তা বিবেচ্য নয়: কিছু সীমাবদ্ধ পদক্ষেপের নিশ্চয়তা দেওয়া থাকলে এটি যথেষ্ট হবে))

তবে এই পদ্ধতির সাথে দুটি সমস্যা রয়েছে।

1. এই ধরণের ওরাকল দিয়ে সজ্জিত টুরিং মেশিনগুলি তাদের নিজস্ব থামার সমস্যাটি সিদ্ধান্ত নিতে পারে না: টেরিংয়ের সাধারণ থামানো সমস্যার অনস্বীকার্যতার প্রমাণটি সহজেই এই নতুন সেটিংয়ে পরিবর্তন করা যেতে পারে। প্রকৃতপক্ষে, একটি অসীম শ্রেণিবিন্যাস, যা "ট্যুরিং ডিগ্রি" নামে পরিচিত, হায়ারার্কির পরবর্তী স্তরটিকে পূর্ববর্তীটির থামিয়ে দেওয়ার সমস্যার জন্য একটি ওরাকল দিয়ে তৈরি করা হয়েছিল।

2. এই ধরণের ওরাকল শারীরিকভাবে প্রয়োগ করা যেতে পারে এমন কোনও উপায়ে কেউ কখনও পরামর্শ করেনি। এটি তাত্ত্বিক ডিভাইস হিসাবে খুব ভাল তবে কোনওটি কীভাবে তৈরি করবেন সে সম্পর্কে কারও কোনও ধারণা নেই।

এছাড়াও, নোট করুন যে জেডএফএসি এক অর্থে নিষ্পাপ সেট তত্ত্বের চেয়ে দুর্বল, শক্তিশালী নয়। জেডএফসিসি রাসেলের প্যারাডক্সটি প্রকাশ করতে পারে না, যেখানে নিষ্পাপ সেট তত্ত্বটি পারে। তেমনি, আরও ভাল উপমাটি জিজ্ঞাসা করা হবে যে ট্যুরিং মেশিনের তুলনায় কমপিউটিংয়ের দুর্বল মডেলগুলির জন্য থামার সমস্যাটি স্থিতিশীল কিনা। উদাহরণস্বরূপ, ডিটারমিনিস্টিক সসীম অটোমেটা (ডিএফএ) এর জন্য থামার সমস্যাটি নির্ধারণযোগ্য, যেহেতু প্রতিটি ইনপুটটির জন্য ডিএফএগুলি থামার গ্যারান্টিযুক্ত।

Comments

আমি মনে করি যে তার নিজস্ব থামানো সমস্যাটি অটোম্যাটার কোনও পরিবার যদি তুচ্ছ হয় তবে তা সমাধানযোগ্য, তা হয় তারা সকলেই থেমে থাকেন বা তাদের কেউই করেন না (যা এই ক্ষেত্রে অদ্ভুত হিসাবে বিবেচিত হতে পারে)।

— বাবু

@ বাবু: অটোম্যাটা সম্পর্কে কী যেখানে মেশিনটি চিরতরে লুপ করে, মেশিন 1 মিথ্যা আউটপুট দেয় যদি এর ইনপুটটি 0 অন্যটি আউটপুট দেয় সত্য এবং তারপরে থামে। অন্য সমস্ত মেশিন ফলস আউটপুট দেয় এবং তারপরে থামবে। এটি কি অটোমাতার একটি পরিবার যা 1 প্রোগ্রামে অ-তুচ্ছ থামানো সমস্যার সমাধান করে? বা কোনও সম্পত্তি যেমন, যেকোন ধরণের রচনা না থাকার কারণে এটি কী স্বয়ংক্রিয় পরিবারও নয়?

— স্টিভ জেসপ

@ স্টিভ জেসোপ ওয়েল, আপনি (এবং ডেভিস রিচার্বি) সম্ভবত এক অর্থে সঠিক। যা আমাকে বিরক্ত করে তা হ'ল এটি একটি স্বীকৃত উদাহরণ। আপনি একটি অত্যন্ত দুর্বল পরিবার তৈরি করেন যে পরিবারের একটি মেশিন পুরো পরিবারের জন্য একটি স্থগিত সিদ্ধান্ত হয়। তবে, যেমন আপনি নিজেকে সন্দেহ করছেন (রচনা সম্পর্কে আপনার মন্তব্য সিএফ), তেমনি কিছু বেসিক ক্লোজার সম্পত্তি হারাতে পারে যাতে সমস্যাটিকে তুচ্ছ করা যায়। আমার কাছে কোনও উত্তর নেই, এবং আমি একমত যে আমার মন্তব্যে আরও বেশি যোগ্যতার প্রয়োজন যা অটোমাতার একটি পরিবার গঠন করে, তবে আপনার পাল্টা উদাহরণ আমাকে অবিস্মরণীয় রাখে।

— বাবু

Answer 3

সতর্কতা: একটি দার্শনিক / অ-কঠোর উত্তর

এটি কিছুটা "দার্শনিক" পেতে পারে তবে আমি মনে করি এটি আপনার প্রশ্নের স্পিরিটের সাথে খাপ খায়।

একটি পুনরাবৃত্তিযোগ্য মেশিন

থামার সমস্যার প্রমাণের কোণার পাথরটি হ'ল কোনও টিউরিং মেশিন একটি ফাংশনের মতো আচরণ করে: একই ইনপুটটির জন্য এটি সর্বদা একই আউটপুট দেয়। আপনি যদি এই সম্পত্তিটি সরিয়ে ফেলেন তবে আপনাকে "সাধারণ" থামানোর সমস্যাটি মোকাবেলা করতে হবে না, এই অর্থে যে মেশিনটি তার নিজস্ব বৈশিষ্ট্য আবিষ্কার করতে পারে। তবে আপনি যেমন একটি মেশিনের পছন্দসই তাত্ত্বিক বৈশিষ্ট্য অনেক looseিলা।

বৈশিষ্ট্য সরানো হচ্ছে

সেট থিওরি থেকে বিভাগ তত্ত্বে যাওয়ার মতো এটি কিছুটা: আপনি সীমাবদ্ধতা হারিয়ে কিছু "প্যারাডক্সন" আলগা করেন। তবে ফলাফলটি পরিচালনা করা আরও অনেক কঠিন।

এই ক্ষেত্রে এর অর্থ: মেশিন আপনাকে "সঠিক" ফলাফল উপস্থাপন করে তবে আপনার কোনও ধারণা থাকবে না। যত তাড়াতাড়ি আপনি সর্বদা কোন ফলাফলটি সঠিক তা নির্ধারণ করতে পারবেন, আপনাকে মেশিনটি নিজের মধ্যে প্রয়োগ করে একটি বৈপরীত্য তৈরি করে এক ধরণের "থামানো সমস্যা" মোকাবেলা করতে হবে। সুতরাং এই জাতীয় একটি মেশিন সম্ভবত খুব দরকারী হবে না।

Comments

আপনাকে ধন্যবাদ, সেই "অ-পুনরাবৃত্তযোগ্য মেশিন" জিনিসটি বেশ আকর্ষণীয় মনে হচ্ছে, আসলে। চতুর স্ব-পরীক্ষা-নিরীক্ষণ কর্মসূচী সম্পর্কে কিছু জ্ঞান আরামে বলতে আমি নিজেকে যথেষ্ট সক্ষম বোধ করি না (কারণ আমার অন্ত্র প্রবৃত্তিটি তারা এখনও ট্যুরিং মেশিন হিসাবে প্রকাশযোগ্য) তবে আমি মনে করি যে তারা কিছু সেট সমস্যার জন্য খুব কার্যকর হতে পারে।

— H2CO3

পুনরাবৃত্তির উদাহরণ কীভাবে দেবে? আপনি কীভাবে এই ক্ষেত্রে থামার সংজ্ঞা দিবেন তা একটি। একটি বড় অসুবিধা হ'ল, যখন আপনি অদ্ভুত গণনা মডেল, সাধারণত গেডঙ্কেনগুলি সংজ্ঞায়িত করার চেষ্টা করেন, তখন আপনাকে থামার অর্থ কীভাবে নির্ধারণ করা উচিত এবং সিদ্ধান্ত গ্রহণকারী মেশিনটি কী ধরণের ইনপুট বিশ্লেষণ করার কথা বলেছিলেন, এবং সম্ভবত কয়েকটি অন্যান্য অ-তুচ্ছ জিনিসকে বোঝাতে হবে। উদাহরণস্বরূপ দেখুন অ-নির্ধারণবাদের ক্ষেত্রে । কোন গণ্য মডেল হিসাবে বিবেচিত হতে পারে (সম্ভবত মেশিনগুলির একটি অ্যাডহক সংগ্রহ নয়) এর বিষয়টি উল্লেখ না করা।

— বাবু

@ এইচ 2 সি 3 একটি পুনরাবৃত্তিযোগ্য মেশিনটি "সাধারণ থামার সমস্যা" থেকে বেরিয়ে আসার জন্য আপনাকে যে সম্পত্তিটি উত্সর্গ করতে হবে তার উপর কেবল এক ধরণের "গেদাঙ্কেন পরীক্ষা" (মেশিনটি নিজেই পরিদর্শন করতে দিয়ে দ্বন্দ্ব তৈরি করা) is আপনি এমন একটি মেশিন পাবেন যা কখনও কখনও সঠিক থাকে তবে কখন তা আপনি জানেন না। এটি এমন প্রোগ্রামের মতো যা পরের সপ্তাহের জন্য লটারির সংখ্যা গণনা করে। আমি আপনাকে সহজেই এমন একটি প্রোগ্রাম সরবরাহ করতে পারি। আপনার পক্ষে সিদ্ধান্ত নেওয়া শক্ত অংশটি হ'ল, আমি আপনাকে যে প্রচুর প্রোগ্রাম দেব তা হ'ল

— সঠিকটি

Answer 4

ট্যুরিং মেশিনের সীমাবদ্ধতা প্রকাশ করার জন্য হ্যালটিং প্রব্লেম তৈরি করা হয়নি, বরং সমস্ত লজিক সিস্টেমের সীমাবদ্ধতা প্রকাশ করার জন্য যা সীমাবদ্ধ সংখ্যার চিহ্ন ব্যবহার করে প্রকাশ করা যেতে পারে। একবার কোনও যুক্তি ব্যবস্থায় কিছু জটিলতার সমস্যার সমাধান প্রকাশ করার ক্ষমতা থাকলে, এটি সমাধান করতে পারে না এমন সমস্যাগুলি প্রকাশ করার ক্ষমতাও রাখে। এর আগে সমাধান করা যায় না এমন সমস্ত সমস্যার সমাধান প্রকাশের জন্য পর্যাপ্ত লজিক সিস্টেমের যে কোনও প্রসারণের ক্ষেত্রে এটি সমাধান করতে পারে না এমন নতুন সমস্যা প্রকাশ করার ক্ষমতাও অন্তর্ভুক্ত থাকবে।

কোনও নির্দিষ্ট "বর্ধিত ট্যুরিং মেশিন" নির্দিষ্টকরণের জন্য, একটি "সুপার-এনহান্সড টুরিং মেশিন" নির্দিষ্ট করা সম্ভব হবে যা ইটিএমের জন্য একটি প্রোগ্রাম পরীক্ষা করতে পারে এবং এটি থামবে কিনা তা রিপোর্ট করতে পারে, তবে এসইটিএম কেবলমাত্র এর জন্য প্রোগ্রাম বিশ্লেষণ করতে সক্ষম হবে ETM - এটি SETM প্রোগ্রামগুলি বিশ্লেষণ করতে সক্ষম হবে না। এমন কোনও মেশিন সংজ্ঞায়িত করার কোনও উপায় নেই যা নিজের জন্য প্রোগ্রাম বিশ্লেষণ করতে পারে এবং সেগুলি থামবে কিনা তা নির্ধারণ করতে পারে কারণ নতুন বৈশিষ্ট্য যুক্ত করার কাজটি স্ব-বিশ্লেষকের জন্য নতুন প্রয়োজনীয়তা তৈরি করবে এবং বৈশিষ্ট্যগুলি প্রয়োজনীয়তার সাথে "ধরা" দেওয়ার কোনও উপায় নেই there's ।

Answer 5

এই জাতীয় মেশিনগুলি কল্পনা করা হয়েছিল এবং তাদের সুপার-ট্যুরিং মেশিন বলা হয় । সুপার টুরিং মেশিনের বেশ কয়েকটি বড় ক্লাস

• আসল সংখ্যা মেশিন (যেমন এনালগ কম্পিউটার)
• টুরিং মেশিনগুলি অসীম সময় দেয়
• ননডেটারিস্টেমিক ট্যুরিং মেশিন

সমস্ত সুপার-টিউরিং মেশিন থামার সমস্যাটি সমাধান করতে পারে না (ননডেটেরিমিনিস্টিক টিউরিং মেশিন, বিশেষত, পারে না)। তবে ধারণাগত মেশিনগুলি তৈরি করা হয়েছে, অন্তত চিন্তার পরীক্ষায় thought