অনস্বীকার্য সমস্যা এবং এর অবহেলা অনস্বীকার্য

Question

অনেকগুলি "বিখ্যাত" অনস্বীকার্য সমস্যা তবুও কমপক্ষে সেমিডেসিডেবল, তাদের পরিপূরকগুলি অনিবার্য হয়ে ওঠে। সর্বোপরি একটি উদাহরণ হোল্ডিং সমস্যা এবং এর পরিপূরক হতে পারে।

তবে, কেউ কি আমাকে এমন উদাহরণ দিতে পারবেন যাতে সমস্যা এবং এর পরিপূরক উভয়ই অনস্বীকার্য এবং সেমিডেসিডেবল নয়? আমি তির্যক ভাষা এলডি সম্পর্কে ভেবেছিলাম, তবে পরিপূরকটি অনির্বাচিত বলে মনে হয় না।

সেক্ষেত্রে, এর অর্থ কি এই বোঝা যাচ্ছে যে একটি টুরিং মেশিন এম কিছু স্ট্রিং "হারাতে" পারে যা তার পরিবর্তে স্বীকৃত হওয়া উচিত, যেহেতু তারা সেই ভাষার অংশ যা আমরা চিহ্নিত করার চেষ্টা করছি?

Answer 1

নিম্নলিখিত ভাষা বিবেচনা করুন:

$$L_2 = \{(M_1,x_1,M_2,x_2) : \text{$M_1$ halts on input $x_1$ and $M_2$ doesn't halt on input $x_2$}\}.$$

$L_2$ অনস্বীকার্য এবং আধা-নির্ধারণযোগ্য নয় এবং এটির পরিপূরক হিসাবে এটি সত্য। কেন? অন্তর্নিহিতটি হল " ইনপুট থামবে না " অর্ধ-নির্ধারণযোগ্য নয়, সুতরাং আধা-সিদ্ধান্ত নেওয়া যায় না; এবং আপনি সম্পূরক তাকান , একই জিনিস ঘটে । এটি হ্রাস ব্যবহার করে আরও সতর্কতার সাথে আনুষ্ঠানিকভাবে তৈরি করা যেতে পারে।$M_2$$x_2$$L_2$$L_2$$M_1$

আরও সাধারণভাবে, যদি একটি ভাষা অনিবার্য এবং আধা-নির্ধারণযোগ্য নয়, তবে$L$

$$L' = \{(x,y) : x \in L, y \notin L\}$$

আপনার প্রয়োজনীয়তা পূরণ করে: এবং আধা-সিদ্ধান্ত গ্রহণযোগ্য নয় এবং এটি পরিপূরকের ক্ষেত্রেও একই ।$L'$$L'$

Answer 2

নোট করুন যে অপ্রতিরোধ্য সমস্যাগুলি আপনি যে মাপদণ্ডটি সন্ধান করছেন তা ফিট করে: সমস্যা এবং এর পরিপূরক উভয়ই আধা-সিদ্ধান্ত গ্রহণযোগ্য নয়। এটি কারণ কেবলমাত্র অনেকগুলি অর্ধ-সিদ্ধান্ত গ্রহণযোগ্য সমস্যা রয়েছে তবে অসংখ্য সমস্যা রয়েছে।

একটি উদাহরণস্বরূপ, যাক টুরিং মেশিনের জন্য বিরাম সমস্যা হতে দিন একটি ওরাকল সঙ্গে টুরিং মেশিনে বর্গ হতে  । যাক জন্য বিরাম সমস্যা হতে  । আমি দাবি করি যে বা  অর্ধ-নির্ধারণযোগ্য নয়$H$$\cal{M}$$H$$H_2$$\cal{M}$$H_2$$\overline{H_2}$

আমরা দেখাতে পারি যে কোনও মেশিন দ্বারা in দ্বারা সিদ্ধান্ত নেওয়া হয় না  : যুক্তিটি একই তর্ক হিসাবে যে সাধারণ টুরিং মেশিনটি থামানো সমস্যা  কোনও সাধারণ টুরিং মেশিন দ্বারা সিদ্ধান্ত নেওয়া হয় না। এখন, ধরুন যে দ্বন্দ্বের জন্য  কিছু সাধারণ মেশিন দ্বারা অর্ধ-সিদ্ধান্ত নিয়েছে  । ওয়েল, একটি ওরাকল সঙ্গে  , আমরা কিনা পরীক্ষা করতে পারেন  স্থগিত কোন বিশেষ ইনপুট জন্য যে, আসলে কোন মেশিন contradicting  সিদ্ধান্ত নেয়  । সুতরাং  অর্ধ-নির্ধারণযোগ্য নয়।$H_2$$\cal{M}$$H$$H_2$$T$$H$$T$$\cal{M}$$H_2$$H_2$

এটি দেখানোর জন্য এখনও অবধি রয়ে গেছে যে semi অর্ধ-নির্ধারণযোগ্য নয়। প্রথমত, দয়া করে মনে রাখবেন এটি একটি মেশিন দ্বারা সেমি-সিদ্ধান্ত নিয়েছে  : আবার, যুক্তি হিসাবে একই  আধা সিদ্ধান্ত নিয়েছে একজন সাধারণ টুরিং মেশিন দ্বারা হচ্ছে।  কিছু মেশিনের দ্বারা আধা-সিদ্ধান্ত নেওয়া যায় না  কারণ এটি যদি হয় তবে এবং  both উভয়ই in মেশিনগুলির দ্বারা অর্ধ-সিদ্ধান্ত নেওয়া হবে  , সুতরাং উভয় ভাষা মধ্যে মেশিন দ্বারা নির্ধারিত হবে  । কিন্তু আমরা ইতিমধ্যে জানি যে  যে কোন মেশিন দ্বারা সিদ্ধান্ত নিয়েছে হয় না  । সুতরাং,$\overline{H_2}$$\cal{M}$$H$$\overline{H_2}$$\cal{M}$$H_2$$\overline{H_2}$$\cal{M}$$\cal{M}$$H_2$$\cal{M}$$\overline{H_2}$ না কোনো মেশিন দ্বারা আধা সিদ্ধান্ত নেওয়া হয়  । , কোনও সাধারণ মেশিন দ্বারা আধা-সিদ্ধান্ত নেওয়া হয় না, যেহেতু  every প্রতিটি সাধারণ টিউরিং মেশিন থাকে। (একটি সাধারণ ট্যুরিং মেশিন জন্য ওরাকল সহ একটি ট্যুরিং মেশিন  যা কখনই সেই ওরাকল ব্যবহার করে না))$\cal{M}$$\overline{H_2}$$\cal{M}$$H$

Answer 3

এখানে কিছু প্রাকৃতিক উদাহরণ দেওয়া হল:

• সমস্ত ইনপুটগুলিতে থামানো সমস্ত টিউরিং মেশিনগুলির ভাষা কখনও কখনও TOTAL চিহ্নযুক্ত। এই ভাষাটি ।$\Pi_2^0$

• সমস্ত ট্যুরিং মেশিনের ভাষা অসম্পূর্ণভাবে অনেক ইনপুটগুলিতে থেমে থাকে , কখনও কখনও INF হিসাবে চিহ্নিত হয়। এই ।$\Pi_2^0$

• সমস্ত টিউরিং মেশিনের ভাষা নির্বিচারে দীর্ঘ ইনপুটগুলিতে থামে, কখনও কখনও সিওএফ হিসাবে চিহ্নিত হয়। এই ভাষাটি ।$\Sigma_3^0$

$\Pi_2^0$ এবং মাত্রা হয় আঙ্কিক অনুক্রমের । সম্পূর্ণতার ফলাফলগুলি বোঝায়, বিশেষত, এই ভাষাগুলি না হয় অর্ধবৃত্তিমূলক এবং সহ-সেমিডেসিডেবল।$\Sigma_3^0$