সীমাবদ্ধ সময়ে অসীম গণনা

Question

এটি সম্ভবত একটি নির্বোধ চিন্তাধারা, তবে মনে করুন আমাদের কাছে এমন একটি কম্পিউটার রয়েছে যা গণনার একটি অসীম অনুক্রম সম্পাদন করার জন্য প্রোগ্রামযুক্ত এবং ধরুন গণনাটি সম্পূর্ণ হতে সেকেন্ড সময় নেয় । তারপরে এই কম্পিউটারটি একটি সীমাবদ্ধ সময়ে অসীম সংখ্যা গণনা করতে পারে।$i^\text{th}$$1/2^i$

কেন এটা অসম্ভব? অ-তুচ্ছ হিসাব চালাতে কতক্ষণ সময় লাগে তার কোনও নিচু আবদ্ধ আছে?

Comments

সম্পর্কিত ধারণা, সীমাবদ্ধ শক্তি ব্যবহার করে অসীম গণনা: ডাইসনের চিরন্তন বুদ্ধি ।

— পিটার

Answer 1

এই "ধরণের" কম্পিউটারটি জেনো মেশিন হিসাবে পরিচিত । এর কম্পিউটেশনাল মডেল হাইপারকমপুটেশন নামে একটি বিভাগে পড়ে । হাইপারকমপুটেশনাল মডেলগুলি গাণিতিক বিমূর্ততা এবং কারণগুলিতে তারা যেভাবে কাজ করতে সংজ্ঞায়িত হয়েছে, সেগুলি শারীরিকভাবে সম্ভব নয়।

উদাহরণস্বরূপ আপনার জেনো মেশিনটি নিন। যদি আমরা জেনো মেশিনটিকে যেকোন ধরণের গণনাকারী মেশিন হিসাবে কল্পনা করি তবে এটি অ্যাবাকাস বা ইন্টিগ্রেটেড সার্কিট ব্যবহার করে তা বিবেচনাধীন নয়। বলুন যে মেশিন দ্বারা ব্যবহৃত প্রোগ্রামের ডেটা এটিকে প্রতীকগুলির একটি দীর্ঘ টেপ দ্বারা খাওয়ানো হয় (ঠিক যেমন একটি ট্যুরিং মেশিনের মতো)।

অবশ্যই আমরা গণিত থেকে জানি যে:

$\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}... = \sum_{n=1}^{\infty}(\frac{1}{2})^n$

যা আমরা বলি সমান । সুতরাং গণনাটি 1 সেকেন্ডে সম্পূর্ণ হওয়া উচিত কারণ সমষ্টিটি একেবারে রূপান্তর করে।$1$

কিন্তু এই অভিসৃতি, অবশ্যই উপর নির্ভরশীল, যাচ্ছে (এবং পর্যন্ত পৌঁছেছিল) অনন্ত। শারীরিক অর্থে, এর অর্থ হ'ল প্রতিটি গণনার জন্য প্রয়োজনীয় সময় যত কম হয়, গণনা মেশিনের "রিড হেড" কে টেপের চিহ্নগুলির সাথে আরও দ্রুত এবং দ্রুত জিপ করতে হবে। এক পর্যায়ে, এই গতি আলোর গতি ছাড়িয়ে যাবে।$n$

সুতরাং আপনার দ্বিতীয় প্রশ্নের উত্তর দেওয়ার জন্য, কোনও গণনার উপর নিখুঁত সর্বনিম্ন-সম্ভাব্য আবশ্যক সম্ভবত প্ল্যানকের সময় অনুসারে হবে, আলোর গতিবেগকে তাত্ত্বিকের প্রাথমিক সীমাবদ্ধ ফ্যাক্টর হিসাবে গণ্য করার ক্ষেত্রে, তবে শারীরিকভাবে-কল্পনাযোগ্য মডেলগুলি গণনা করা হবে।

Comments

প্রতিটি অপারেশনের জন্য শক্তির প্রয়োজনীয়তাও রয়েছে, কিছুটা বার$2^{256}$

— উল্টাতে

এই প্রোগ্রামটি: 10: জেনো মেশিনে 10 সমাপ্তি পান?

— Cano64

সহজ কথায়, গণিত অনুমান করে যে "গণনা" সুযোগে অসীম বিভাজ্য। তবে এটি কোনও শারীরিক মেশিনের ক্ষেত্রে নয়, আপনি অবশেষে এমন একটি জায়গায় পৌঁছে গেছেন যেখানে আপনি মেশিনটি সম্পাদন করতে পারে এমন কাজের ক্ষুদ্রতম ইউনিটটিকে আঘাত করেছেন। গণিত আপনাকে অনুমতি দিলেও, এই বিন্দুটির পরে গণনাটি বিভাজন করা চালিয়ে যাওয়া সম্ভব নয়। অন্য কথায়, মেশিনটি আসলে আপনি গণনার সীমাহীন সিরিজের শেষের কাছে পৌঁছানোর অনেক আগেই ক্রপ হয়ে যায়। কোনও সময়ে গণনা প্রতি সময় কমতে শুরু করে এবং আপনার অসীম সময়ের প্রয়োজন হয়।

— আরথ

@ ক্যানো 64 আমি বিশ্বাস করি হাইপারকমপুটেশনে সিদ্ধান্ত গ্রহণের মানদণ্ড হ'ল গণনার সময়সীমা একেবারে রূপান্তরিত হয়।

— থিওরি অফ

Answer 2

আদিম গণনার জন্য নেওয়া সময়টি আলোর গতি এবং পরমাণুর আকারের দ্বারা সীমাবদ্ধ থাকে, যতদূর আমরা এই একই দিনে 15 সেপ্টেম্বর, 2015 তে পদার্থবিজ্ঞানটি বুঝতে পারি।

গণনা ইউনিটটি শূন্য-আকারের কোনও কিছু (পরমাণু) থেকে তৈরি করা প্রয়োজন এবং গণনার কাজ করার জন্য, বিদ্যুৎ বা আলোককে এটি জুড়ে দেওয়া দরকার, এটি নন জুড়ে জিপ লাগাতে কতক্ষণ সময় লাগে তার দ্বারা সীমাবদ্ধ থাকবে -জারো দূরত্ব

Comments

বিজ্ঞানের দিকে ধাবিত সীমানার সাম্প্রতিক ইতিহাসের একটি দৃ concrete় উদাহরণ হ'ল দৈত্য চৌম্বকীয় দূরত্ব , একটি নোবেল-পুরষ্কারযুক্ত আবিষ্কার যা হার্ড ড্রাইভে ডেটা ঘনত্বের পক্ষে আগে অসম্ভব বলে মনে করেছিল। আপনি ফিরে যান যদি অনেক অনেক আছে; 1500 খ্রিস্টাব্দ থেকে কোনও ব্যক্তিকে "স্মার্টফোন" হওয়ার সম্ভাবনা ব্যাখ্যা করার চেষ্টা করুন। (তারা কেবল আপনাকে ডাইনি হিসাবে পোড়াতে পারে, তাই সাবধানতা অবলম্বন করুন)) সুতরাং আমি মনে করি আমাদের অনুমান করা উচিত নয় যে আমাদের বর্তমান পদার্থবিদ্যার জ্ঞান যা সম্ভব তা সম্ভব করার জন্য কঠোর সীমাবদ্ধ করে।

— রাফেল

Answer 3

$\Sigma_{n=1}^\infty (\frac{1}{2})^n$$1$

$\frac{1}{2}$$\frac{1}{4}$$\frac{3}{4}$

$c_1$$c_1$

সম্পাদনা : @ অ্যারোথ দ্বারা উল্লিখিত হিসাবে, এই উপমাটি ধরে নেওয়া হয় যে আমরা চিরতরে জলকে বিভক্ত রাখতে পারি; যে কোনও ছোট অবিভাজ্য পরমাণু নেই। যা আকর্ষণীয় (আমার মনে হয়) পয়েন্টটি উত্থাপন করে যে গণনার সীমাবদ্ধ সময় শেষ করার জন্য আমাদের অবশ্যই সময় নির্বিচারে বিভাজ্য হতে হবে।

Comments

"এবং ঠিক যেমন পরিষ্কারভাবে আপনার কাছে নীল বালতিতে toালতে আরও জল থাকবে" - অগত্যা নয়। একটি সুনির্দিষ্ট পর্যায়ে pourালাও সরঞ্জাম দিয়ে আপনি শেষ পর্যন্ত এমন একটি জায়গায় পৌঁছে যাবেন যেখানে নীল বালতিতে পানির 2 টি অণু রয়েছে। তারপরে 1 অণু। তারপরে আপনি হয় শেষ অণু pourালুন, বা আপনি করবেন না। অথবা আপনি এটিটিকে তার বেস পরমাণুতে বিভক্ত করে তোলেন, কিন্তু তারপরে এটি আর জল হয় না (বা এসটিপিতে স্বচ্ছল)। পয়েন্টটি হ'ল, আপনি অসীম সিরিজের শেষের আগে পানির শেষ অণুতে ভালভাবে নেমে যাবেন , সুতরাং নীল বালতিতে "সর্বদা" জল থাকবে না।

— আরথ

@ অ্যারোথ: হ্যাঁ সত্য, উপমা কাজ করার জন্য আপনাকে অবশ্যই জল সম্পর্কে সন্তুষ্টিজনক "ঘনত্ব", এক ধরণের "সর্বদা বিভাজ্য" হিসাবে ভাবতে হবে। আপনার বক্তব্য আকর্ষণীয় কারণ এটি গুরুত্বপূর্ণ কিছু হাইলাইট করে; সীমাবদ্ধ গণনা শেষ করার জন্য, সময়কে ঘন / সর্বদা বিভাজ্য হতে হবে। যদি খুব অল্প সময়ের মধ্যে উপস্থিত থাকে, সময়ের একটি অবিভাজ্য পারমাণবিক ইউনিট থাকে, তবে অসীম গণনাটি অসীম সময় নেয় (বা প্রতিটি সংখ্যায় কিছু পয়েন্টের পরে অবশ্যই সময় লাগবে না)।

— epa095

$\sum_{i=1}^\infty 2^{-i}$$2^{-i}$

@ ডেভিড-রিচরবি: সমস্যাটি কি অন্যরকমভাবে পুনরুদ্ধার করছে না, এটি সম্পর্কে চিন্তাভাবনার সহজ উপায় দিচ্ছে, যা অন্তর্দৃষ্টি প্রদান করে ঠিক কী? এছাড়াও মনে রাখবেন আপনি হয় এছাড়াও সমস্যা restating, সময় পরিমাণ থেকে মূলদ সংখ্যার যোগফল হয়। একটি (অত্যন্ত) সংক্ষিপ্ত পদক্ষেপ হ্যাঁ, তবে একটি বিশ্রাম কম নয়। আপনি যদি যুক্তিযুক্ত সংখ্যার সংখ্যার সংমিশ্রণ সম্পর্কে জানেন, তবে বিশ্রামটি এটি বোঝা সহজ করে তোলে, তবে কারও কারও কাছে আমি নিশ্চিত যে এটি জলের ক্ষেত্রে এটি বোঝা আরও সহজ। অন্তত আমি প্রথমে বুঝতে পেরেছিলাম কেন কিছু অসীম অঙ্কগুলি কেন রূপান্তরিত হয় এবং কিছু না কেন।

— epa095

@ Epa095 অন্তর্দৃষ্টি প্রদানের সাথে একটি পরিচিত পরিস্থিতির উল্লেখ করে অপরিচিত পরিস্থিতিকে ব্যাখ্যা করা এবং অন্য পরিস্থিতির বোঝার জন্য একটি পরিস্থিতির সাথে পরিচিতিটি ব্যবহার করা জড়িত। আপনি এটি করছেন না: আপনি একটি অপরিচিত পরিস্থিতি (একটি অসীম, রূপান্তরকারী সমষ্টি গণনা) অন্য দ্বারা ব্যাখ্যা করার চেষ্টা করছেন (নিখুঁত নির্ভুলতার সাথে অসীম বিভাজ্য জলের বালতি ingালা)। যে লোকেরা অঙ্কের সংবহন সম্পর্কে জানে তাদের উপমা প্রয়োজন হয় না; যে লোকেরা অঙ্কের সংশ্লেষ সম্পর্কে জানে না, তাদের জন্য "যৌক্তিক সংখ্যার" নামকরণ করে "অনুমানের পানির পরিমাণ" নামকরণ করলে কোনও লাভ হয় না।

— ডেভিড রিচারি