লিনিয়ার প্রোগ্রাম হিসাবে বাছাই করা হচ্ছে

Question

এক আশ্চর্যজনক সমস্যা লিনিয়ার প্রোগ্রামিং (এলপি) থেকে মোটামুটি প্রাকৃতিক হ্রাস রয়েছে। নেটওয়ার্ক প্রবাহ, দ্বিপক্ষীয় ম্যাচিং, শূন্য-সম গেমস, সংক্ষিপ্ততম পথ, রৈখিক প্রতিরোধের একটি রূপ এবং এমনকি সার্কিট মূল্যায়নের মতো উদাহরণগুলির জন্য [১] এর অধ্যায় See দেখুন !

যেহেতু সার্কিট মূল্যায়ন লিনিয়ার প্রোগ্রামিংয়ে হ্রাস পেয়েছে, কোনও সমস্যা $P$অবশ্যই একটি রৈখিক প্রোগ্রামিং সূচি থাকতে হবে। সুতরাং, লিনিয়ার প্রোগ্রামে হ্রাসের মাধ্যমে আমাদের একটি "নতুন" বাছাই করা অ্যালগরিদম রয়েছে। সুতরাং, আমার প্রশ্নগুলি হয়

1. লিনিয়ার প্রোগ্রামটি এমন কী যা আসল সংখ্যার একটি অ্যারে বাছাই করবে ?$n$
2. কমানোর-থেকে-এলপি-এবং-সমাধানের বাছাইয়ের অ্যালগরিদমের চলমান সময়টি কী?

---

1. এস দাশগুপ্ত, সি পাপাদিমিট্রিও এবং ইউ। ওয়াজিরাণী (২০০)) রচিত অ্যালগরিদম

Comments

স্পোলার

— জো

যদি আপনি ইতিমধ্যে উত্তরটি জানেন তবে আপনি কেন প্রশ্ন জিজ্ঞাসা করছেন?

— যুবাল ফিল্মাস

@ জো উত্তরটি জানা থাকলেও আকর্ষণীয় উপাদান পোস্ট করা ভাল। এটি করার প্রচলিত উপায় হ'ল (বিস্তৃত) গ্রহণের মাধ্যমে নিজের প্রশ্নের উত্তর দেওয়া (কিছু দস্তাবেজের লিঙ্ক পোস্ট করার পরিবর্তে, যা ভেঙে যেতে পারে)।

— রাফেল

@ রাফেল যদি আর কেউ উত্তর না লিখে থাকে তবে আমি সময় পেলেই করব।

— জো

@ ইউভালফিল্মাস এমন একটি প্রশ্ন জিজ্ঞাসা করছেন যা আপনি জানেন যে উত্তরটি স্ট্যাক এক্সচেঞ্জে স্পষ্টভাবে উত্সাহিত করা হয়েছে ।

— জো

Answer 1

নীচের উত্তরটি মূলত আপনি ইতিমধ্যে জানেন এমনটির সমান, তবে এটি কিছুটা কম "জাদুকরী" বলে মনে হতে পারে। অন্যদিকে, এটি আরও প্রযুক্তিগত, তবে আমি বিশ্বাস করি যে সাধারণ প্রযুক্তি "আপনার সমস্যাটি অনুমানের ম্যাট্রিকগুলিতে একটি অনুকূলিতকরণ হিসাবে লিখুন এবং বীরখফ-ভন নিউমানকে আহ্বান করুন" এটি জানা এক দুর্দান্ত know

একটি বিন্যাস জন্য এর { 1 , ... , এন } বিন্যাস ম্যাট্রিক্স সংজ্ঞায়িত পি σ 0-1 ম্যাট্রিক্স হিসাবে যেমন যে পি আমি ঞ = 1 যদি ঞ = σ ( আমি ) এবং পি আমি ঞ = 0 অন্যথায়। এটি কেবলমাত্র ম্যাট্রিক্স যা কোনও ভেক্টরের এক্সের স্থানাঙ্কগুলিকে σ অনুসারে অনুমতি দেয় : যদি y = P σ x তবে y i = $\sigma$$\{1, \ldots, n\}$$P_\sigma$$P_{ij} = 1$$j = \sigma(i)$$P_{ij}=0$$x$$\sigma$$y = P_\sigma x$ । আমিএখন থেকেy= P σ xকেσ(x)হিসাবেচিহ্নিত করব।$y_i = x_{\sigma(i)}$$y=P_{\sigma}x$$\sigma(x)$

আরও একটি সংজ্ঞা: একটি অ-নেতিবাচক ম্যাট্রিক্স এম দ্বিগুণ-স্টোকাস্টাস্টিক যদি এর প্রতিটি সারি এবং এর প্রতিটি কলামের প্রতিটি 1 এর যোগফল হয়।$n\times n$$M$

এবং একটি সত্য যা সম্মিলনমূলক অপ্টিমাইজেশনে অত্যন্ত গুরুত্বপূর্ণ - বীরখফ-ভন নিউমানান উপপাদ্য:

একটি ম্যাট্রিক্স দোকর সম্ভাব্যতার সূত্রাবলি যদি এবং কেবল যদি এটা বিন্যাস ম্যাট্রিক্স, অর্থাত্ একটি উত্তল সংমিশ্রণ হয় যদি এবং কেবল যদি বিদ্যমান আছে একাধিক বিন্যাসন σ 1 , ... , σ ট এবং ইতিবাচক reals α 1 , ... , α ট যেমন যে এম = Σ ট i = 1 α i P σ i এবং ∑ α i = 1 ।$M$$\sigma_1, \ldots, \sigma_k$$\alpha_1 , \ldots, \alpha_k$$M = \sum_{i = 1}^k{\alpha_i P_{\sigma_i}}$$\sum{\alpha_i} = 1$

লক্ষ্য করুন যে দ্বিগুণ স্টোকাস্টিক ম্যাট্রিক্স অসমতার দ্বারা সংজ্ঞায়িত হয়েছে

∀ j : n ∑ i = 1 M i j = 1 ∀ i , j : M i j ≥

$$\forall i: \sum_{j = 1}^n{M_{ij}} = 1$$ $$\forall j: \sum_{i = 1}^n{M_{ij}} = 1$$ $$\forall i, j: M_{ij} \geq 0$$

এই সমস্ত বৈষম্য একসাথে নেওয়া একটি পলিটোপ পি নির্ধারণ করে$P$ এবং বীরখফ-ভন নিউমানান উপপাদ্য বলে যে এই বহুভুজের এক্সট্রামাল পয়েন্ট (শীর্ষে) সমস্ত ক্রম ছাড়ার ম্যাট্রিক্স। বেসিক লিনিয়ার প্রোগ্রামিং থেকে, আমরা এটিকে বোঝাচ্ছি যে যে কোনও লিনিয়ার প্রোগ্রামের উপরের সীমাবদ্ধতা হিসাবে উপরের অসমতা রয়েছে (এবং অন্য কোনও সীমাবদ্ধতা নেই) একটি অনুকূল সমাধান হিসাবে একটি ক্রমুয়েশন ম্যাট্রিক্স থাকবে।

সুতরাং একটি ইনপুট দেওয়া অনুসারে বাছাই করা হবে, আমরা শুধু একটি রৈখিক উদ্দেশ্য নিয়ে আসা প্রয়োজন চ একটি ( এম ) , যার জন্য:$a = (a_1, \ldots, a_n)$$f_a(M)$

• যদি σ ( a ) বাছাই করা হয় তবে τ ( a ) হয় না।$f_a(P_\tau) < f_a(P_\sigma)$$\sigma(a)$$\tau(a)$

তারপর বাড়ানোর লক্ষ্যে উদ্দেশ্য একটি রৈখিক প্রোগ্রাম প্রণয়ন এবং অসাম্য সীমাবদ্ধতার উপরের হিসাবে, এবং আপনি নিশ্চিত করছেন যে একটি অনুকূল সমাধান বিন্যাস ম্যাট্রিক্স হয় পি σ জন্য σ যেমন যে σ ( একটি ) বাছাই হয়। অবশ্যই, এটি "বন্ধ পড়তে" সহজ σ থেকে পি σ ।$f_a(M)$$P_\sigma$$\sigma$$\sigma(a)$$\sigma$$P_\sigma$

জন্য একটি পছন্দ হ'ল ভি টি এম এ যেখানে ভি = ( 1 , … , এন ) । যাচাই করুন যে$f_a(M)$$v^T M a$$v = (1, \ldots, n)$

• এটি রৈখিক ;$M$
• জন্য , চ একটি ( পি σ ) = Σ এন আমি = 1 আমি একটি σ ( আমি ) ;$P_\sigma$$f_a(P_\sigma) = \sum_{i = 1}^n{i a_{\sigma(i)}}$
• $\sigma$$\sigma(a)$$\sigma(a)$

এবং ভয়েলা, আপনি বাছাই করার জন্য একটি লিনিয়ার প্রোগ্রাম আছে। বাছাইয়ের জন্য নির্বোধ মনে হয়, তবে এটি বাস্তবে অপ্টিমাইজেশানের একটি শক্তিশালী পদ্ধতি।

Comments

এমন কিছু যা আমি মোকাবেলা করি নি: যখন একাধিক অনুকূল সমাধান হয়, তখন তাদের মধ্যে কিছুতে অনুমানের ম্যাট্রিক হবে না (এবং কিছু অবশ্যই হবে)। এটি ঠিক করার অনেকগুলি সহজ উপায় রয়েছে: পার্থক্য দ্বারা আপনি নকলগুলি সরাতে পারেন$a$।

— সাশো নিকোলভ

যখন একাধিক অনুকূল সমাধানগুলি থাকে তখন কিছুগুলি অনুমানের ম্যাট্রিক হতে পারে না (তবে সর্বদা কিছু অনুকূল সমাধান একটি ক্রমুয়েশন ম্যাট্রিক্স হবে)। যদি উদ্দেশ্যমূলক ক্রিয়াটি স্থির থাকে, তবে সমস্ত সম্ভাব্য সমাধানগুলি সর্বোত্তম।

— সাশো নিকোলভ

@ টার্বো লিনিয়ার প্রোগ্রামটি পুরোপুরি এই উত্তরে লেখা আছে। স্পষ্টতই এর কোনও অখণ্ডতার বাধা নেই। আমি আপনার দ্বিতীয় প্রশ্নের উত্তর দেওয়ার চেষ্টা করব না। আমি এখানে বাছাইয়ের জন্য যেভাবে দ্বিগুণ স্টোকাস্টিক ম্যাট্রিক্স নিয়ে রৈখিক ক্রিয়াকে অনুকূল করে তুলেছি এবং জিআই লিখতে চেষ্টা করুন। এটি ব্যর্থ হয় যেখানে নিজের জন্য দেখুন।

— সাশো নিকোলভ

অনুশীলনে আপনি সম্ভবত সিমপ্লেক্স ব্যবহার করতে চান তবে তত্ত্বের ক্ষেত্রে আপনি বহুবর্ষের সময় এলপি সল্ভার ব্যবহার করে বহুপাক্ষিক সময়ের অ্যালগরিদম পেতে পারেন, উদাহরণস্বরূপ একটি অভ্যন্তর বিন্দু পদ্ধতি বা উপবৃত্তাকার পদ্ধতিটি। এর বিট জটিলতায় আপনি সময়কে বহুপদী সময় দেবেন$a$। যখন সীমাবদ্ধ ম্যাট্রিক্স টিউএম হয় (যেমন এখানে রয়েছে), সেখানে শক্তিশালী পলটাইম সলভার খুব বেশি রয়েছে cstheory.stackexchange.com/questions/4454/… ।

— সাশো নিকোলভ

এবং হ্যাঁ, সবচেয়ে সহজ কাজটি হ'ল আপনার অনন্য অনুকূল সমাধান রয়েছে তা নিশ্চিত করা, যা আপনি একটি ক্ষুদ্র এলোমেলো প্রতিবিম্ব যুক্ত করে করতে পারেন $a$।

— সাশো নিকোলভ