কঠোরতা এবং হ্রাস এর দিকনির্দেশ

Question

আসুন আমরা বলি যে আমরা জানি যে সমস্যা A কঠিন, তারপরে আমরা A কে অজানা সমস্যায় হ্রাস করি বি প্রমাণ করার জন্য বিও শক্ত is

উদাহরণ হিসাবে: আমরা জানি 3-রঙ করা শক্ত hard তারপরে আমরা 3-রঙিনকে 4-রঙিনে হ্রাস করি। 3-রঙিনে রঙগুলির মধ্যে একটিতে বিভ্রান্ত করে আপনার 4-কালারিং রয়েছে, 4-রঙ করা খুব শক্ত।

এইভাবে। তবে কেন এটি 4-রঙ করা শক্ত তা প্রমাণ? আপনি কি 4-রঙিন সমস্যার সমাধানটি 3-রঙিন সমস্যার সমাধান করতে পারেন? যদি তাই হয়, কিভাবে? যদি তা না হয় তবে এটি কেন একটি বৈধ প্রমাণ?

বোনাস প্রশ্ন: বহুপুত্র হ্রাস উভয় উপায়ে যেতে সক্ষম হতে হবে?

সম্পাদনা করুন: আপনি যদি উদাহরণের মাধ্যমে এটি কেন এমনভাবে ব্যাখ্যা করতে সক্ষম হন তবে আপনি ইন্টারনেটকে পছন্দসই করবেন। আমি এটি কোথাও একটি কংক্রিট উপায়ে ব্যাখ্যা করতে পারেনি।

Comments

আপনি যদি দুটি এনপি-সম্পূর্ণ সমস্যার সাথে মোকাবিলা করছেন, তবে হ্যাঁ, বহুবিবাহের হ্রাস অবশ্যই থাকতে হবে যা উভয় উপায়েই চলে। অনেক ক্ষেত্রে, এ থেকে বি এবং বি থেকে ক হ্রাস একে অপরের থেকে একেবারে আলাদা দেখায়।

— জো

সমস্যাগুলি উভয় একই জটিলতার শ্রেণিতে না থাকলে উভয় উপায়ে হ্রাস নাও হতে পারে।

— জো

Answer 1

একটি সমস্যা থেকে হ্রাস অন্য সমস্যার একটি রূপান্তর হয় কোনো ইনস্ট্যান্সের এর একটি দৃষ্টান্ত মধ্যে এর , যেমন যে$A$$B$$f$$a$$A$$f(a)$$B$

$$\qquad\qquad x∈A ~~⇔~~ f(x)∈B \qquad \qquad (E)$$

যদি আপনার আগ্রহী জটিলতা সংরক্ষণ করে এমন রূপান্তর হয় (যেমন, বিবেচনা করে তবে একটি বহুপদী রূপান্তর ) তবে একটি অ্যালগরিদম সমাধান এর অস্তিত্বই একটি অ্যালগোরিদম সমাধান এর অস্তিত্বকে বোঝায় : এটি চালানোর জন্য যথেষ্ট , তারপরে ।$f$$f$$\mathsf{NP}$$\mathcal A_B$$B$$A$$f$$\mathcal A_B$

অত: পর থেকে এই ধরনের একটি হ্রাস অস্তিত্ব থেকে মানে যে তুলনায় অনেক সহজ নয় । অন্যভাবে হ্রাস করার প্রয়োজন নেই।$A$$B$$B$$A$

উদাহরণস্বরূপ, গ্রাফ রঙ করার জন্য। আপনি 3-রঙিনকে 4-রঙিনে হ্রাস করতে পারবেন তবে তাৎক্ষণিকভাবে নয়। আপনি যদি গ্রাফ এবং আপনি তবে আপনার কাছে সেই তবে আপনার অবশ্যই। উপসংহার সমানতা হয় , সম্মানিত করা হয় না তাই হয় না কমানো।$G$$f(G)=G$$x∈3\mathsf{COL}$ $⇒$ $f(x)∈4\mathsf{COL}$$f(x)∈4\mathsf{COL}$ $⇒$ $x∈3\mathsf{COL}$$(E)$$f$

আপনার সঠিক হ্রাস নির্মাণ করতে পারেন থেকে থেকে কিন্তু এটি একটি সামান্য আরো জটিল: কোন গ্রাফের জন্য যাক হতে গ্রাফ অন্য একটি নোড সঙ্গে বাড়ানো যে প্রতিটি অন্যান্য নোডের সাথে একটি প্রান্তের সাথে যুক্ত।$f$$3\mathsf{COL}$$4\mathsf{COL}$$G$$f(G)$$G$$u$

• রূপান্তরটি জটিলতা-সংরক্ষণকরণ (বহুপদী, এখানে);
• যদি রয়েছে তারপর রয়েছে : শুধু জন্য চতুর্থ রঙ ব্যবহার ;$G$$3\mathsf{COL}$$f(G)$$4\mathsf{COL}$$u$
• যদি রয়েছে তারপর আপনি প্রমাণ করতে পারেন যে ছাড়া সমস্ত নোড একটি রং নয় আছে 'র, অত রয়েছে ।$f(G)$$4\mathsf{COL}$$u$$u$$G$$3\mathsf{COL}$

যে প্রমাণ করে যে কমানো এবং সেই তুলনায় কঠিন । আপনি একই ভাবে প্রমাণ করিতে পারেন যে তুলনায় কঠিন কোন , আকর্ষণীয় প্রমাণ যে হচ্ছে কোনো তুলনায় কঠিন ।$f$$4\mathsf{COL}$$3\mathsf{COL}$$n\mathsf{COL}$$m\mathsf{COL}$$n≥m$$3\mathsf{COL}$$n\mathsf{COL}$

Comments

কেন এই ধরনের হ্রাস বোঝায় যে বি এ এর ​​চেয়ে সহজ নয়? প্রচেষ্টার জন্য ইউভি, তবে আমার শঙ্কিত মস্তিষ্কের জন্য খুব বিমূর্ত।

— আনফুন বিড়াল 21

আপনি কি A কে B এ কমিয়ে দেওয়ার পরে উত্তরটি A এর মতো হবে? আমি মনে করি আমি এটি পেয়েছি: যদি আসল উদাহরণটিতে তিনটি বর্ণ থাকে তবে রূপান্তরিত দৃষ্টান্তটিতে একটি চারটি বর্ণ থাকবে তাই উত্তরটি যদি "হ্যাঁ, এটির একটি চারটি রঙ আছে", উত্তরটিও "হ্যাঁ, এটি আছে" একটি তিনটি রং "? তবে এটি কি এখনও সম্ভব নয় যে রূপান্তরিত দৃষ্টান্ত B এ তিনটি রঙিন হওয়া ছাড়াই চারটি বর্ণ রয়েছে? আমি কল্পনা করেছি চারটি রঙের সাথে কোনও গ্রাফ রঙ করা আরও সহজ ...

— আনফুন বিড়াল

@TheUnfunCat (3 এবং 4 বর্ণের উদাহরণ সহ আপডেট করা হয়েছে)

— 21 ই