স্থান-সংকোচনের সাথে র‌্যাঙ্ক ছাড়াই ইউনিয়ন-সংক্রান্ত জটিলতা

Question

উইকিপিডিয়া বলেছে যে পাথ সংকোচনের ছাড়াই র‌্যাঙ্ক অনুসারে ইউনিয়ন একটি মোড়িত সময় জটিলতা দেয় এবং র‌্যাঙ্ক এবং পাথ সংমিশ্রনের দ্বারা উভয় ইউনিয়ন এর এমোরিটাইজড সময় জটিলতা দেয় (যেখানে হয় একারম্যান ফাংশনের বিপরীত)। যাইহোক, এটি ইউনিয়ন র‌্যাঙ্ক ছাড়াই পাথ সংক্ষেপণের চলমান সময়ের কথা উল্লেখ করে না, যা আমি সাধারণত নিজেকে বাস্তবায়ন করি।$O(\log n)$$O(\alpha(n))$$\alpha$

পাথ-সংক্ষেপণ অপ্টিমাইজেশানের সাথে ইউনিয়ন-সন্ধানের আনুগঠিত সময়ের জটিলতাটি কী, তবে র‌্যাঙ্ক অপ্টিমাইজেশনের দ্বারা ইউনিয়ন ছাড়াই?

Comments

মনে রাখবেন যে একারম্যান ফাংশনের বিপরীত, । এখানে "বিপরীতমুখী" অর্থ বিপরীতটি কোনও ক্রিয়াকলাপ হিসাবে নয়, পারস্পরিক ক্রিয়াকলাপ হিসাবে: যেমন, যদি , , না$\alpha(n)$$1/A(n, n))$$f(n)=A(n,n)$$\alpha(n)=f^{-1}(n)$$1/f(n)$।

— ডিডাব্লিউ

আমি বুঝতে পারি যে এটি তুলনামূলকভাবে পুরানো প্রশ্ন, তবে আমার উত্তর এবং একটি প্রাসঙ্গিক কাগজ দেখুন: epubs.siam.org/doi/abs/10.1137/S0097539703439088 । সীমানা অনুলিপি করার সময় আমি হয়ত একটি বা দুটি বিবরণ মিস করেছি।

— সেক্ষেত্রে

Answer 1

সিডেল এবং শারির ২০০৫ [১] এ প্রমাণ করেছিলেন যে স্বেচ্ছাসেবীভাবে সংযোগ স্থাপনের সাথে পাথ সংক্ষেপণ ব্যবহার করা হয় $m$ অপারেশন মোটামুটি একটি জটিলতা আছে $O((m+n)\log(n))$।

[1] দেখুন, বিভাগ 3 (নির্বিচার লিঙ্ক): আসুন $f(m,n)$ এর সাথে ইউনিয়নের সন্ধানের রানটাইম বোঝাও $m$ অপারেশন এবং $n$উপাদান। তারা নিম্নলিখিত প্রমাণ করেছেন:

দাবি 3.1। যে কোনও পূর্ণসংখ্যার জন্য$k>1$ আমাদের আছে $f(m, n)\leq (m+(k−1)n)\lceil \log_k(n) \rceil$।

[1] অনুসারে, সেটিংস $k = \lceil m/n \rceil + 1$ দেয়

$$f(m, n)\leq (2m+n) \log_{\lceil m/n\rceil +1}n$$ ।

তারজান এবং ভ্যান লিউউয়েন [২], বিভাগ 3: তে আরও জটিল পদ্ধতি ব্যবহার করে অনুরূপ আবদ্ধতা প্রদান করা হয়েছিল:

[2] এর লেমা 7। অনুমান করা$m \geq n$। যেকোন ধরণের সংযোগ এবং নিষ্পাপ লিঙ্ক ব্যবহার করে সেট অপারেশনগুলির যে কোনও ক্রম প্রয়োগ করা হয়েছে, সন্ধানের পথে নোডের মোট সংখ্যা সর্বাধিক$(4m + n) \lceil \log_{\lfloor 1 + m/n \rfloor}n \rceil$ অর্ধাহীন এবং নিষ্পাপ সংযোগের সাথে, সন্ধানের পথে নোডগুলির মোট সংখ্যা সর্বাধিক $(8m+2n)\lceil \log_{\lfloor 1 + m/n \rfloor} (n) \rceil$।

[2] এর লেমা 9। অনুমান করা$m < n$। সংক্ষেপণ এবং নিষ্পাপ সংযোগ ব্যবহার করে প্রয়োগ করা কোনও সেট ক্রিয়াকলাপে, সন্ধানের পথে নোডের মোট সংখ্যা সর্বাধিক$n + 2m \lceil \log n\rceil + m$।

[1]: আর। সিডেল এবং এম। শিরির। পাথ সংক্ষেপণের শীর্ষ-ডাউন বিশ্লেষণ। সিয়াম জে কম্পিউটিং, 2005, খণ্ড। 34, নং 3, পিপি 515-525।

[২]: আর টারজান এবং জে ভ্যান লিউউয়েন। ইউনিট অ্যালগরিদম সেট ইউনিট এর সবচেয়ে খারাপ কেস বিশ্লেষণ। জে. এসিএম, খণ্ড 31, নং 2, এপ্রিল 1984, পৃষ্ঠা 245-281।

Answer 2

Amorised চলমান সময় কি তা আমি জানি না, তবে আমি একটি সম্ভাব্য কারণ উল্লেখ করতে পারি যে কিছু পরিস্থিতিতে আপনি কেবল পথ সংকোচনের চেয়ে উভয়ই ব্যবহার করতে চাইতে পারেন: অপারেশন প্রতি সবচেয়ে খারাপ সময় চলমান সময় $\Theta(n)$ আপনি যদি কেবলমাত্র পাথ সংক্ষেপণ ব্যবহার করেন, যা আপনি উভয় ইউনিয়নকে র‌্যাঙ্ক এবং পাথ সংক্ষেপণ ব্যবহার করে তুলনায় অনেক বড়।

এর ক্রম বিবেচনা করুন $n$ ইউনিয়নের ক্রিয়াকলাপগুলি দূষিতভাবে গভীরতার একটি গাছ উত্পাদন করতে বেছে নিয়েছে $n-1$(এটি নোডগুলির কেবল একটি ক্রমিক পথ, যেখানে প্রতিটি নোড পূর্ববর্তী নোডের সন্তান)। তারপরে গভীর নোডে একক ফাইন্ড অপারেশন করাতে লাগে$\Theta(n)$সময়। সুতরাং, অপারেশন প্রতি সবচেয়ে খারাপ সময় চলমান সময় হয়$\Theta(n)$।

বিপরীতে, ইউনিয়ন বাই র‌্যাঙ্ক অপ্টিমাইজেশনের সাথে, প্রতি অপারেশনে সবচেয়ে খারাপ সময় চলমান $O(\log n)$: কোনও একক অপারেশন এর চেয়ে বেশি সময় নিতে পারে না $O(\log n)$। অনেক অ্যাপ্লিকেশনগুলির জন্য, এটি কোনও বিষয় নয়: সমস্ত ক্রিয়াকলাপের মোট চলমান সময় (অর্থাত্ মোড়িত চলমান সময়) গুরুত্বপূর্ণ হবে, একক ক্রিয়াকলাপের জন্য সবচেয়ে খারাপ সময় নয়। যাইহোক, কিছু ক্ষেত্রে অপারেশন প্রতি সবচেয়ে খারাপ সময় সময় বিবেচনা করতে পারে: উদাহরণস্বরূপ, অপারেশন প্রতি সবচেয়ে খারাপ ক্ষেত্রে সময় হ্রাস করতে$O(\log n)$ একটি ইন্টারেক্টিভ অ্যাপ্লিকেশনটিতে কার্যকর হতে পারে যেখানে আপনি নিশ্চিত করতে চান যে কোনও একক ক্রিয়াকলাপ দীর্ঘ সময়ের জন্য দেরি না করতে পারে (যেমন, আপনি গ্যারান্টি চান যে কোনও একক ক্রিয়াকলাপ অ্যাপ্লিকেশনকে দীর্ঘ সময়ের জন্য হিমায়িত করতে না পারে) বা বাস্তব সময়ে অ্যাপ্লিকেশন যেখানে আপনি নিশ্চিত করতে চান যে আপনি সর্বদা রিয়েল-টাইম গ্যারান্টিগুলি পূরণ করবেন।