আয়তক্ষেত্রাকার টুকরো দিয়ে withেকে রাখার এনপি-কঠোরতা (গুগল হ্যাশ কোড 2015 পরীক্ষার রাউন্ড)

Question

গুগল হ্যাশ কোড 2015 পরীক্ষার রাউন্ড ( সমস্যার বিবৃতি ) নিম্নলিখিত সমস্যা সম্পর্কে জিজ্ঞাসা করেছে:

• ইনপুট: কিছু চিহ্নিত স্কোয়ার সহ একটি গ্রিড , একটি প্রান্তিক , সর্বাধিক অঞ্চলটি ∈ এন এ ∈ $M$$T \in \mathbb{N}$$A \in \mathbb{N}$
• আউটপুট: মধ্যে পূর্ণসংখ্যা স্থানাঙ্ক সঙ্গে অসংলগ্ন করা আয়তক্ষেত্র একটি সেট সর্ববৃহৎ সম্ভব মোট আয়তন যেমন প্রতিটি আয়তক্ষেত্র অন্তত অন্তর্ভুক্ত চিহ্নিত স্কোয়ার এবং প্রতিটি আয়তক্ষেত্র সর্বাধিক এলাকা আছে ।টি $M$$T$$A$

গুগলের পরিভাষায়, গ্রিডটি একটি পিজ্জা, চিহ্নিত স্কোয়ারগুলি হ্যাম এবং বিচ্ছিন্ন আয়তক্ষেত্রগুলি টুকরা হয়।

আমরা এই সমস্যাটিকে পরিষ্কারভাবে একটি সমস্যার সমস্যায় পুনঃসংশোধন করতে পারি input একটি অতিরিক্ত ইনপুট যুক্ত করে এবং উত্তরটি দেওয়া যাক "সেখানে কি বিচ্ছিন্ন আয়তক্ষেত্রের একটি সেট রয়েছে যার শর্তটি সন্তুষ্ট করে যার আয়তন কমপক্ষে বর্গক্ষেত্র হয়"।$n \in \mathbb{N}$$n$

আমার প্রশ্ন: গুগল সমস্যা যখন প্রার্থীদের একটি নির্দিষ্ট উদাহরণে গণনা সমস্যার জন্য "যথাসম্ভব উত্তম" সমাধান সন্ধান করতে বলেছে, তবে আমি মনে করি যে এটি সম্ভবত সাধারণ সমস্যা (তার সিদ্ধান্তের বাক্সে) এনপি-সম্পূর্ণ। তবে, এনপি-কঠোরতা দেখানোর জন্য আমি কোনও হ্রাস পাচ্ছি না। (এনপি-সদস্যতা তাত্ক্ষণিক।) কীভাবে প্রমাণ করতে হয় যে এই সমস্যাটি এনপি-হার্ড?

সমস্যাটি কল্পনা করতে সহায়তা করার জন্য কয়েকটি উদাহরণ অনুসরণ করে। চিহ্নিত বর্গক্ষেত্র , এবং বাই গ্রিড Consider চিহ্নিত চিহ্নিত স্কোয়ারগুলি সূচিত করতে গ্রাফিকভাবে উপস্থাপিত :4 { 0 , 1 , 2 , 3 } × { 0 , 1 , 2 , 3 } ( 1 , 1 ) ( 0 , 2 ) ( 2 , 2 $4$$4$$\{0, 1, 2, 3\} \times \{0, 1, 2, 3\}$$(1, 1)$$(0, 2)$$(2, 2)$X

..X.
.X..
..X.
....

সেট করুন (সর্বাধিক বর্গক্ষেত্রের আয়তক্ষেত্র ) এবং (একটি আয়তক্ষেত্রের জন্য কমপক্ষে একটি চিহ্নিত বর্গক্ষেত্র), একটি অনুকূল সমাধান (যা পুরো গ্রিডকে কভার করে) নিম্নলিখিত আয়তক্ষেত্রগুলি নেবে:6 টি = $A = 6$$6$$T = 1$

aaAa
bBcc
bbCc
bbcc

এবং সহ নিম্নলিখিত গ্রিডে :টি = $A = 3$$T = 2$

XXX
.X.
...

কেবল তিনটি স্কোয়ার coveringেকে দেওয়ার চেয়ে ভাল কেউ করতে পারে না:

AAA
.X.
...

অথবা

XBX
.B.
.b.

(মনে রাখবেন যে পার্টিশনের আয়তক্ষেত্রগুলি ওভারল্যাপ করতে পারে না)।

অন্যান্য লোকেরা এই প্রশ্নটি দেখার সাথে সাথে আমরা বিন প্যাকিং, সমস্যা, 3-স্যাট এবং হ্যামিল্টোনিয়ান চক্রকে আচ্ছাদন থেকে হ্রাস করার চেষ্টা করেছি এবং আমরা কোনও কাজ করার ব্যবস্থা করতে পারি নি।

Answer 1

এটি একচেটিয়া ঘনক্ষেত্রের পরিকল্পনার 1-3 স্যাট থেকে হ্রাসের স্কেচ:

সংজ্ঞা [ ২-৩ এসএটি সমস্যা]:
ইনপুট: একটি 3-সিএনএফ সূত্র , যাতে প্রতিটি অনুচ্ছেদ ঠিক তিনটি থাকে: । প্রশ্ন: জন্য কি সন্তোষজনক নিয়োগ রয়েছে যে প্রতিটি দফার তে ঠিক একটি সত্য আক্ষরিক থাকে?$\varphi = C_1 \land C_2 \land ... \land C_m$$C_j$$C_j = (\ell_{j,1} \lor \ell_{j,2} \lor \ell_{j,3})$
$\varphi$$C_j$

যদি ধারাগুলিতে সমস্ত আক্ষরিক ধনাত্মক (একচেটিয়া) হয় তবে সমস্যাটি এনপি-সম্পূর্ণ রয়ে গেছে, যদি ভেরিয়েবলগুলির সাথে সংযোগকারী ক্লজগুলি প্ল্যানার (প্ল্যানার) তৈরি করা হয় এবং প্রতিটি ভেরিয়েবল হ'ল 3 ধারা (সিউবিক) (সি মুর এবং জেএম) এর মধ্যে থাকে তবে রবসন, সাধারণ টাইলসের সাথে হার্ড টাইলিং সমস্যা, ডিস্ক্রিট কমপুট। জিওম। 26 (2001), 573-590)

আমরা ব্যবহার করি এবং পরিসংখ্যানগুলিতে হ্যামটি নীল রঙের বাক্স (ট্রান্সজেনিক হ্যাম?), কমলা বাক্স সহ পিজ্জা দ্বারা উপস্থাপিত হয়।$T=3, A=6$

ধারণাটি হ্যামের ট্র্যাকগুলি ব্যবহার করা যা ইতিবাচক বা নেতিবাচক সংকেত বহন করে; ট্র্যাক 1 একজন পরিবর্তনের মাঝে hams 2 টুকরা খুব বেশী কথা, যাতে তারা এলাকার পিজা এক ফালি দ্বারা ঠিক আওতায় আসবে স্থাপন দিয়ে তৈরি করা হয় ; ট্র্যাকের অংশগুলি বা সাথে পর্যায়ক্রমে চিহ্নিত করা হয়েছে , যদি ধনাত্মক বিভাগগুলিতে টুকরো কেটে দেওয়া হয় তবে ট্র্যাকটি একটি ইতিবাচক সংকেত বহন করবে:$A$$+$$-$

প্রতিটি ভেরিয়েবল , যা ঠিক 3 এসএটি ক্লজের সাথে সংযুক্ত থাকে, তিনটি হ্যাম ট্র্যাকের (তিনটি ধনাত্মক বিভাগ) সংলগ্ন প্রান্তগুলি উপস্থাপন করে, যাতে এটি কাটার দুটি স্বতন্ত্র উপায় রয়েছে, একটি ইতিবাচক সংকেত "উত্পন্ন" করবে সমস্ত 3 টি ট্র্যাকের (এটি পুনঃপ্রকাশ ) অন্যটি নেতিবাচক সংকেত ( )। লক্ষ্য করুন যে আমরা মিশ্র ইতিবাচক এবং নেতিবাচক সংকেতও তৈরি করতে পারি, তবে সেই ক্ষেত্রে কমপক্ষে একটি হ্যাম অনাবৃত থাকে ।$x_i$$x_i = TRUE$$x_i = FALSE$

৩ টি with সহ 1-3 স্যাট সূত্রের প্রতিটি ধারা তিনটি স্বতন্ত্র হ্যাম ট্র্যাকের তিনটি আগত ধনাত্মক বিভাগের সাথে কেবল একটি একক হাম দ্বারা উপস্থাপিত হয় ; নির্মাণের মাধ্যমে ইতিবাচক সংকেত বহনকারী তিনটি ট্র্যাকের মধ্যে একটিই হ্যাম-ক্লজটি "কভার" করতে পারে।এল আই , 1 , এল আই , 2 , এল আই , $C_j$$L_{i,1}, L_{i,2}, L_{i,3}$

অবশেষে আমরা অন্তর্নিহিত পরিকল্পনাকারী গ্রাফ অনুসারে সিগন্যালগুলি বহন করতে শিফটটি তৈরি করতে এবং গ্যাজেটগুলি ঘুরিয়ে দিতে পারি এবং শেষের দিকগুলি সামঞ্জস্য করতে পারি:

মনে করুন ফলাফলের গ্রাফে হ্যামস রয়েছে । নির্মাণের মাধ্যমে পিজ্জার প্রতিটি স্লাইসে অবশ্যই 3 টি হ্যাম থাকতে হবে এবং সমস্ত ক্ষেত্রে প্রতিটি স্লাইস অঞ্চল পর্যন্ত বাড়ানো যেতে পারে ।$H$$A$

যদি আসল ১-২ স্যাট সূত্রটি সন্তুষ্ট হয় তবে নির্মাণের মাধ্যমে আমরা পিএজার টুকরো কেটে ফেলতে পারি ( এর মোট অঞ্চল সহ ) এবং কোনও হ্যাম অনাবৃত থাকে না।এ এইচ /$H /3$$A H / 3$

অপ্পোসাইট দিকের দিকে, যদি আমরা পিৎজার টুকরো কেটে ফেলতে পারি (মোট অঞ্চল ) তবে কোনও হ্যাম অনাবৃত থাকে না, এবং ভেরিয়েবল গ্যাজেটগুলিতে এবং ধারাগুলিতে সংকেতগুলি সামঞ্জস্যপূর্ণ: ক্লজের উপরের হ্যামটি isাকা থাকে ধনাত্মক ভেরিয়েবল থেকে ঠিক একটি ধনাত্মক টুকরোগুলি আসে এবং প্রতিটি পরিবর্তনশীল 3 টি ইতিবাচক সংকেত বা 3 negativeণাত্মক সংকেত (কোনও মিশ্র সংকেত নয়) উত্পন্ন করে; সুতরাং কাটগুলি একটি বৈধ 1-3 টি স্যাট অ্যাসাইনমেন্ট প্ররোচিত করে।এ এইচ /$H /3$$A H / 3$