পি

Question

আমি সচেতন যে এটি একটি খুব বোকা প্রশ্ন (বা বিবৃতি খুব স্পষ্ট) মনে হয়। তবে আমি এক পর্যায়ে বিভ্রান্ত হয়ে পড়েছি।

আমরা পি এনপি$=$ প্রদর্শন করতে পারি যদি এবং কেবলমাত্র যদি আমরা একটি অ্যালগরিদম ডিজাইন করতে পারি যা এনপিতে কোনও নির্দিষ্ট সমস্যার সমাধান করে বহুপক্ষীয় সময়ে।

তবে, আমি বুঝতে পারছি না যে পৃথিবীতে কীভাবে আমরা প্রমাণ করতে পারি যে P NP । দয়া করে আমাকে নিম্নোক্ত সাদৃশ্যের জন্য ক্ষমা করুন কারণ এটি এতটা অপ্রাসঙ্গিক হতে পারে, তবে কাউকে P NP এর সমান নয় কিনা তা প্রমাণ করতে বললে আমার কাছে কাউকে বলার মতো appears শ্বরের অস্তিত্ব নেই বলে মনে হয়।$\neq$

সমস্যাগুলির একটি সেট রয়েছে, সেগুলি বর্তমান প্রযুক্তির নির্বিশেষে বহু-সংখ্যক রাজ্যের নন-ডিসট্রিম্যানটিক ফিনাইট অটোমেটা (এনএফএ) দ্বারা সমাধান করতে অক্ষম (আমি জানি এটি একটি opালু সংজ্ঞা)। তদতিরিক্ত, আমাদের মধ্যে একটি বেশিরভাগ বড় অ্যালগরিদম রয়েছে যা কিছু জটিল সমস্যা তৈরি করে (সংক্ষিপ্ততম পথ, ন্যূনতম বিস্তৃত বৃক্ষ এবং এমনকি সংখ্যার যোগফল ) বহুবর্ষ-সময়ের সমস্যাগুলি তৈরি করে।$1 + 2 + \dots + n$

সংক্ষেপে আমার প্রশ্ন: আমি যদি বিশ্বাস করি যে পি এনপি$=$ , আপনি বলবেন "তবে আপনার অ্যালগরিদমটি দেখান যা বহু সময়ের সময়ে এনপি সমস্যা সমাধান করে !"! মনে করুন যে আমি পি এনপি বিশ্বাস করি । তাহলে আপনি ঠিক কী জিজ্ঞাসা করবেন? আপনি কি আমাকে দেখাতে চান?$\neq$

উত্তরটি পরিষ্কারভাবে "আপনার প্রমাণ"। যাইহোক, কোন ধরণের প্রমাণ দেখায় যে অ্যালগরিদমের অস্তিত্ব থাকতে পারে না? (এই ক্ষেত্রে, এনপি সমস্যার জন্য একটি বহুপদী সময় অ্যালগরিদম )

Comments

"একটি এনডিএফএস" কী?

আমার অর্থ এনএফএ (নন-ডিস্ট্রিমেন্টিক সসীম অটোমেটা)। সংক্ষিপ্ত বিবরণটি ছিল "নন-ডিস্ট্রিমেন্টিক সসীম রাষ্ট্রীয় মেশিন", যা আমি ভুল করে লিখেছি।

— পাদওয়ান

সম্ভবত এই প্রশ্ন দরকারী হতে পারে।

— টম ভ্যান ডার জ্যানডেন

@ টমভান্ডারজান্দেন এটি সত্যিই দরকারী, ধন্যবাদ!

— পাদওয়ান

"আমরা যদি পি = এনপিটি প্রদর্শন করতে পারি তবেই এবং যদি আমরা একটি অ্যালগরিদম ডিজাইন করতে পারি যা এনপিতে যে কোনও সমস্যার সমাধান বহুবচনীয় সময়ে সমাধান করে।" - ভুল । আমরা আলগোরিদিমটি নিচে লিখতে সক্ষম হব না। এটি তার অস্তিত্ব দেখাতে যথেষ্ট।

— রাফেল

Answer 1

আমি যে তিনটি প্রধান উপায় সম্পর্কে সচেতন তা প্রমাণ করতে পারে যে পি$\,\neq\,$এনপি ।

1. দেখানো হচ্ছে যে এখানে কিছু সমস্যা রয়েছে যা  এনপিতে রয়েছে তবে  পি তে নেই । আপনি সম্ভবত প্রমাণ তুলনা ভিত্তিক বাছাই প্রয়োজন সময়ের সাথে সাথে পরিচিত একটি তালিকা সাজাতে এন  আইটেম। নীতিগতভাবে, কেউ একই ধরণের প্রমাণ উপস্থাপন করতে পারে যে 3 এস্যাট বা অন্য কোনও এনপি- অসম্পূর্ণ সমস্যাটি কোনও ধ্রুবক সি এর জন্য  ও ( এন সি ) সময়ে সমাধান করা যায় না । জ্যামিতিক জটিল জটিলতা থিওরি বীজগণিত জ্যামিতি এবং গোষ্ঠী উপস্থাপনা তত্ত্বের কাছ থেকে এই জাতীয় নিম্নতর সীমাটি প্রমাণ করতে সমস্যাগুলি ধারণ করে এমন প্রতিসাম্যগুলি বিবেচনা করে ব্যবহার করার চেষ্টা করে। $\Omega(n\log n)$$n$$O(n^c)$$c$সার্কিট জটিলতা অন্য এক।

2. দেখানো হচ্ছে যে পি এবং  এনপির বিভিন্ন কাঠামোগত বৈশিষ্ট্য রয়েছে। উদাহরণস্বরূপ,  পরিপূরক অধীনে পি বন্ধ রয়েছে। আপনি যদি সেই এনপি দেখাতে পারতেন$\,\neq\,$কো-এনপি (অর্থাত্ এনপি  পরিপূরক হিসাবে বন্ধ হয় না), তবে অবশ্যই পি হতে হবে$\,\neq\,$এনপি । অবশ্যই, এটি সমস্যাটিকে এক স্তর আরও গভীর করে দিচ্ছে - আপনি কীভাবে এনপি প্রমাণ করবেন?$\,\neq\,$কো-এনপি ?

   $\exists\mathrm{SO}$

3. প্রমাণ করুন যে কিছু সমস্যা এনপি- সম্পূর্ণ নয় । যদি পি$\,=\,$$\emptyset$$\Sigma^*$ $\,\neq\,$এনপি ।

Comments

প্রমাণ করুন যে বহুপদী স্তরক্রমটি কোনও স্তরে পতিত হয় না।

— মোহাম্মদ আল-তুরস্কিস্তি

$\mathrm{P\neq NP}$

Answer 2

সংক্ষেপে আমার প্রশ্ন: আমি যদি বিশ্বাস করি যে পি = এনপি , আপনি বলবেন "তবে আপনার অ্যালগরিদমটি দেখান যা বহু সময়ের সময়ে এনপি সমস্যা সমাধান করে !"!

ভুলে যাবেন না যে আপনার এখনও প্রমাণ করতে হবে যে আপনার অ্যালগোরিদম সমস্যাটি সমাধান করে, এবং এটি বহু-কালীন সময়ে চলে।

মনে করুন যে আমি পি ≠ এনপি বিশ্বাস করি । তাহলে আপনি ঠিক কী জিজ্ঞাসা করবেন? আপনি কি আমাকে দেখাতে চান?

প্রথমে "কেন" পি ≠ এনপি "ব্যাখ্যা করার চেষ্টা করুন এবং কেন এই কারণটি একটি উপযুক্ত যৌক্তিক কাঠামোয় পি ≠ এনপি প্রমাণ করতে ব্যবহার করা যেতে পারে । তারপরে একটি প্রমাণ স্কেচ করুন এবং এর সর্বাধিক সন্দেহজনক অংশগুলি কীভাবে রক্ষা করা যায় তা ব্যাখ্যা করুন। এরপরে, এই প্রমাণটিকে সরল বিবৃতিতে বিভক্ত করুন, যা স্বতন্ত্রভাবে যাচাই করা যেতে পারে।

• উদাহরণস্বরূপ, জেডএফসি দ্বারা সরবরাহিত লজিক্যাল কাঠামো মডেলগুলির অস্তিত্ব প্রমাণ করার ক্ষেত্রে (একটি নির্দিষ্ট অর্থে এমনকি খুব ভাল) খুব ভাল (অজানা সংখ্যার সুস্পষ্ট সেটগুলি দেওয়া হয়, প্রায়শই অতিরিক্ত ধাতব বৈশিষ্ট্যগুলি সন্তুষ্ট করেও)। সুতরাং আপনি যদি কিছু অদ্ভুত বৈশিষ্ট্যযুক্ত কোনও মডেলটির অস্তিত্ব সম্পর্কিত P ≠ NP সম্পর্কিত কোনও কারণ জানেন , তবে প্রথমে এই কারণটি ব্যাখ্যা করুন এবং তারপরে জেডএফসির মধ্যে কীভাবে সম্পর্কিত মডেলটি তৈরি করা যায় তা দেখান।
• একটি উদাহরণ হিসাবে, আমি বিশ্বাস করি যে একটি কারণ "কেন" পি ≠ এনপি হ'ল গণিত এলোমেলোতা সহ শারীরিক জগতে ঘটে যাওয়া প্রায় সমস্ত কিছুকে আনুমানিক করতে পারে। যাইহোক, এটি একটি পরিচিত সত্য যে আনুষ্ঠানিক সিস্টেমগুলি একটি নির্দিষ্ট স্ট্রিং, সংখ্যা, "অবজেক্ট", বা "আর্টিফ্যাক্ট "কে মূলত এলোমেলো হিসাবে প্রমাণ করার দক্ষতায় খুব সীমিত, সুতরাং এই কারণটি প্রমাণের জন্য ব্যবহার করা সম্ভব না যে কোনও স্পষ্টভাবে প্রদত্ত নির্বাহী আনুষ্ঠানিক পদ্ধতিতে। সম্ভবত আপনি যদি সম্ভাব্য (কোয়ান্টাম) প্রুফ সিস্টেমটি ডিজাইন করেন আপনি সিস্টেমে কিছু নির্দিষ্ট প্রমাণ কেবল আপনার উপলব্ধ শারীরিক সংস্থার উপর নির্ভর করে সীমাবদ্ধতার সম্ভাব্যতা যাচাই করতে পারবেন ...
• সম্ভবত অ-উদাহরণ হিসাবে, বাদ দেওয়া মধ্যের আইনটি মূলত (গাণিতিক) মহাবিশ্বের একটি স্থির দৃষ্টিভঙ্গি প্রতিফলিত করে এবং তাই গতিময় মহাবিশ্বের ধারণের পক্ষে অত্যন্ত সম্ভাবনা নেই । এখন এনপি = কোএনপি (বা বহুবর্ষীয় শ্রেণিবিন্যাসের অন্য কোনও ধসের) মূলত সময়ের জটিলতার ক্ষেত্রে বর্জনিত মাঝারি আইনের আনুমানিক সংস্করণ হবে, তবে এটি সম্ভব হওয়ার জন্য সময়ের জটিলতা গতিশীল মহাবিশ্বের খুব কাছাকাছি। জিরার্ডের লিনিয়ার লজিকের মতো যৌক্তিক কাঠামো রয়েছে যা মহাবিশ্বের গতিশীল দিকগুলি ধারণ করতে সক্ষম, তাই ... তবে লক্ষ করুন যে ব্রাউভার একই পরিস্থিতিতে ছিলেন এবং ইতোমধ্যে হিলবার্টের প্রোগ্রামটির প্রয়োজনীয় ব্যর্থতাটি তার উদ্বোধনী ভাষণ হিসাবে অন্তর্দৃষ্টি এবং রূপবাদে সত্য বলেছিলেন 1912 সালে (কেন এটি বিজ্ঞপ্তিযুক্ত যুক্তি হবে তা ব্যাখ্যা করে), তবে এখনও 1930 সাল থেকে গডেলের অসম্পূর্ণতার প্রমাণ স্কেচ করতে পারিনি।
• একটি আনুমানিক উদাহরণ হিসাবে, এর জন্য উপলব্ধ প্রমাণ কিছু ক্যাপচার করার চেষ্টা করা যাক পি ≠ দ্বারা NP , যথা ট্রাভেলিং বিক্রয়িক polytope জন্য আবদ্ধ নিম্ন সূচকীয় কারণে এবং রেজল্যুশন intractablilty ভিত্তিক satisfiability পদ্ধতি দুর্বল পায়রার খোপ নীতিগুলো। এই ক্ষেত্রে "কেন" হ'ল এনপি-সম্পূর্ণ সমস্যার একটি নির্দিষ্ট শ্রেণি টিএসপি-র জন্য রৈখিক প্রোগ্রামিং সূত্রের মতো, অথবা প্রাকৃতিক ভিত্তিতে রেজোলিউশন ভিত্তিক কিছু প্রাকৃতিক (এনপি-সম্পূর্ণ সমস্যার জন্য বিবেচিত শ্রেণীর জন্য) নীতিগুলির উপর নির্ভর করে অ্যালগরিদমগুলি দ্বারা দক্ষতার সাথে সমাধান করা যায় না- স্যাট জন্য প্রমাণ পদ্ধতি। এটি কিছু প্রমাণ করার জন্য বিভিন্ন কাগজপত্র বিভিন্ন স্বতন্ত্র কারণ দিয়েছে, টিএসপির সর্বশেষ প্রবন্ধটি উদাহরণস্বরূপ "এলপিগুলির একটি সেমিডাইফাইনেট প্রোগ্রামিং সংস্কার এবং একমুখী কোয়ান্টাম যোগাযোগ প্রোটোকলের মধ্যে ঘনিষ্ঠ সংযোগকে" কারণ হিসাবে উল্লেখ করেছে, এবং রেজোলিউশনের শেষ কাগজটি দুটি স্বতন্ত্র কারণ হিসাবে উদ্ধৃত করা হয়েছে, "কবুতরের নীতি প্রতিনিধিত্ব করে এমন একটি শ্রেণির সূত্রের জন্য এবং এলোমেলোভাবে উত্পন্ন সূত্রগুলির জন্য" নিম্ন সীমানা "।
  আপনি পর্যবেক্ষণ করতে পারেন যে সময়ের সাথে সাথে ফলাফলগুলিকে আরও শক্তিশালী করার চেষ্টা করা হয়েছিল। টিএসপি-র প্রাথমিক ফলাফলগুলি কেবলমাত্র সম্মিলিত লিনিয়ার প্রোগ্রামিং সূত্র সম্পর্কিত, তবে সর্বশেষ ফলাফলগুলিতে এ জাতীয় কোনও বিধিনিষেধ নেই এবং টিএসপি ছাড়াও সর্বাধিক কাটা এবং সর্বাধিক স্থিতিশীল সেট সমস্যার ক্ষেত্রে প্রযোজ্য। রেজোলিউশনের প্রাথমিক ফলাফলগুলি কেবলমাত্র বেসিক ডেভিস-পুটনাম রেজোলিউশন পদ্ধতি এবং একক শ্রেণীর কৃত্রিম পাল্টা উদাহরণ হিসাবে বিবেচিত হয়েছে, সর্বশেষ ফলাফলগুলি রেজোলিউশন ভিত্তিক পদ্ধতিগুলির বৃহত শ্রেণিগুলি কভার করে এবং প্রাকৃতিকভাবে ঘটে যাওয়া একাধিক শ্রেণীর প্রতি-উদাহরণ দেয়।
  টিএসপি-র জন্য, টিএসপি, সর্বাধিক কাটা এবং সর্বোচ্চ স্থিতিশীল সেট ছাড়াও আরও সমস্যার জন্য প্রয়োগ না করে ফলাফল কীভাবে আরও শক্তিশালী করা উচিত তা আমার কোনও ধারণা নেই। রেজোলিউশনের জন্য, ফলাফলগুলি আরও কীভাবে আরও শক্তিশালী করা যায় সে সম্পর্কে আমার অনেক ধারণাগুলি থাকবে তবে আমি যে নিবন্ধটি সংযুক্ত করেছি তা হল ২০০২ সাল, স্টিফেন কুক এবং ফুং ন্যুগেইন ২০১০ সালে প্রুফ কমপ্লেক্সির একটি মনোগ্রাফ লজিকাল ফাউন্ডেশন প্রকাশ করেছিলেন যা আমি এমনকি ব্রাউজও করি নি, এবং আমি অনুমান করুন এটি ইতিমধ্যে আমার অনেক ধারণাগুলি কভার করবে। পি our এনপিতে আমাদের আগ্রহ থাকা সত্ত্বেও সময়ের সাথে সাথে এই ফলাফলগুলি কতটা শক্তিশালী হয়েছে তা আমাদের বেশিরভাগের পক্ষে এটি কতটা তাত্পর্যপূর্ণ তা লক্ষ করা আকর্ষণীয় isপ্রশ্ন। এমনকি যদি এটি ইতিমধ্যে প্রমাণিত হত যে কাটা নিয়মের সমতুল্য ব্যতীত লজিক্যাল সিস্টেমে নির্ভর অ্যালগরিদমগুলি দক্ষতার সাথে সন্তুষ্টিযোগ্যতা সমস্যাগুলি সমাধান করতে পারে না, তবে আমরা এখনও বিশ্বাস করব যে পি ≠ এনপি তে মূলত কোনও অগ্রগতি হয়নি , সমস্যাটি মূলত সমস্যাটিই রয়েছে that এখনও সর্বদা হিসাবে ব্যাপকভাবে খোলা।