"অ্যান্টি-প্যালিনড্রোমিক" এমন ভাষাগুলির উদাহরণ সন্ধান করা

আসুন । একটি ল্যাঙ্গুয়েজ যদি প্রত্যেক স্ট্রিং এর জন্য "বিরোধী যে শব্দ কবিতা প্রভৃতি উলটা করিয়া পড়িলেও একই থাকে " সম্পত্তি আছে বলা হয় করে একটি যে শব্দ কবিতা প্রভৃতি উলটা করিয়া পড়িলেও একই থাকে হয়, । উপরন্তু, যে স্ট্রিং এর জন্য যে না একটি যে শব্দ কবিতা প্রভৃতি উলটা করিয়া পড়িলেও একই থাকে পারেন বা $\Sigma = \{ 0, 1 \}$ $L \subseteq \Sigma^*$ $w$ $w\notin L$ $u$ $u\in L$ $\mathrm{Reverse}(u) \in L$ , তবে দুটো একসাথে (!) (একচেটিয়া বা)।

আমি অ্যান্টি-প্যালিনড্রোম সম্পত্তিটি বুঝতে পারি, তবে আমি এই সম্পত্তি আছে এমন কোনও ভাষা খুঁজে পাইনি। নিকটস্থ আমি খুঁজে পাইনি , কিন্তু এটা একচেটিয়া বা আংশিক নেই ... যে, উদাহরণস্বরূপ, উভয় এবং হয় $\Sigma^* \setminus L$ $01$ $10$ $L$ ।

যে কেউ আমাকে এই ভাষার যথাযথ ভাষা আছে তার উদাহরণ দিতে পারে? অথবা সম্ভবত একক উদাহরণের চেয়েও বেশি, কারণ এটি একটি ভাষার উপর কোন ধরণের সীমাবদ্ধতা ফেলেছে তা দেখতে আমি ব্যর্থ। (এটা অ নিয়মিত হওয়া আবশ্যক? কনটেক্সট ফ্রি? অথবা না এমনকি ? এবং ইত্যাদি) $R$

formal-languages

— মেরিক এস।
সূত্র

"এই সম্পত্তি আছে এমন কোনও ভাষা আমি খুঁজে পেলাম না।" - আপনি শর্তটি পূরণ করে এমন কোনও ভাষা রয়েছে বলে ধরে নিলেন, সম্পত্তি দেওয়ার মাধ্যমে আপনি কেবল তার সংজ্ঞা দিয়েছেন ।

— রাফেল

আমি একমত নই, তিনি যা সংজ্ঞায়িত করেছিলেন তা ছিল ভাষার একটি শ্রেণি। এটি কোনও ভাষার জন্য একটি সংজ্ঞায়িত সংজ্ঞা গঠন করে না।

— শ্রেশ

উত্তর:

একটি উদাহরণ $L = \{ x\ \ |\ \ binary(x) < binary(x^R), x\in [0,1]^*\}$ ।

এবং এখনও অন্য একটি উদাহরণ $L' = \{ x\ \ |\ \ binary(x) > binary(x^R), x\in [0,1]^*\}$ ।

ধারণাটি হ'ল, যদি আপনি তাদের মধ্যে একটি বেছে নেওয়ার নিয়ম তৈরি করেন। আপনার নিয়মটি বেছে নেওয়া দরকার যে প্যালিনড্রোমগুলি প্রত্যাখ্যান করা উচিত ( , প্যালিনড্রোমগুলির জন্য আপনার অবশ্যই ) থাকতে হবে You আপনি বর্ণমালাও পরিবর্তন করতে পারেন, আমি গ্রহণ করেছি বাইনারি বর্ণমালা কেবল একটি দ্রুত উত্তর পেতে। $x \neq x^R$ $f(x) < f(x^R)$ $f(x)= f(x^R)$

এবং উপরে নিয়মিত নয়। এবং প্রতিটিঅ্যান্টি-প্যালিনড্রোমিকভাষা অ-নিয়মিত হবে এবং একটি আর-আর-লভাষার মতো খারাপ হতে পারে। অনির্বচনীয় ভাষার পরীক্ষা:যেমন উভয় এবং হাল্ট বা উভয় এবং হাল্ট, অন্যথায় যদি $L$ $L'$ $L=\{x\ \ |\ \$ $binary(x)<binary(x^R)$ $x$ $x^R$ $\not\in$ $x$ $x^R$ $\in$ হাল্ট $x \in$ $\}$

ক্লাউস ড্রায়ার নীচের মন্তব্যে ব্যাখ্যা করেছেন যে উত্তরের শুরুতে প্রদত্ত অ্যান্টি-প্যালিনড্রমিক ভাষাটি প্রসঙ্গমুক্ত : $L=\{x0y1x^R\ |\ x,y\in\{0,1\}^*\}$

— Shreesh
সূত্র

আমি দেখতে পাচ্ছি, সুতরাং এটি সত্য যে প্রতিটি অ্যান্টি-প্যালিনড্রোম ভাষা নিয়মিত নয়। কিন্তু এটা বলা যেতে পারে যে এটা হতে হবে

? এমনকি এই ধারণাটি প্রসারিত করে প্রতিটি অর্ডার / ফাংশন আমরা ব্যবহার করব

.. রাইটের সাথে একটি টিএম দিয়ে গণনা করা যায়?

R

$R$

R

$R$

— মেরিক এস

@Marik There are well-defined but uncomputable functions. For example mapping from numbers representing M,w in Halting problem to [0,1].

— Shreesh

Yes, but will such functions be able to define a total order on

Σ^{*}

$\Sigma^*$ ?

— Marik S.

Yes. For example

L = {x | x \neq x^{R}, b i n a r y (x) < b i n a r y (x^{R})

$L = \{x | x \neq x^R, binary(x) < binary(x^R)$ if both

x

$x$ and

x^{R} \notin

$x^R \not\in$ or

\in

$\in$ Halt, otherwise

x

$x$ or

x^{R}

$x^R$ whichever is in Halt

}

$\}$ . Halt is all

(M, w)

$(M,w )$ such that

M

$M$ halts on

w

$w$ .

— Shreesh

And if you take diagonalization language then it becomes non-RE.

— Shreesh

About generating a few examples:

Building on the answer of @shreesh, we can prove that every anti-palindrome language must be of the form

L = {x | x < x^{R}} (*)

$L = \{ x \ |\ x < x^R \}\qquad (*)$ for some strict total ordering

<

$<$ .

Indeed, given any anti-palindrome $L$ , we can define an associated $<$ as follows. We start by taking any enumeration $x_0,x_1,\ldots$ of $\{0,1\}^*$ , where each word occurs exactly once. Then, we alter the enumeration: for each pair of non-palindromes $x,x^R$ , we swap their position so to make the one that belongs to $L$ to appear before the other. The new enumeration induces a total ordering $<$ satisfying $(*)$ .

যেটি প্রতিটি হিসাবে নির্ধারিত তা নন-প্যালিনড্রোম তুচ্ছ, সুতরাং নন-প্যালিনড্রোম ভাষার সম্পূর্ণ বৈশিষ্ট্য। $L$ $(*)$ $(*)$

মূল প্রশ্ন অ্যাড্রেসিং, আমরা এখন জানি যে আমরা-বিরোধী যে শব্দ কবিতা প্রভৃতি উলটা করিয়া পড়িলেও একই থাকে ভাষায় বিভিন্ন উদাহরণ পেতে পারেন orderings হস্তশিল্প দ্বারা । আমরা আরও জানি যে এটি করে আমরা সাধারণতা হারাতে গিয়ে নিজেকে ভাষার একটি উপকلاسের মধ্যে সীমাবদ্ধ রাখি না। $L$ $<$

"এই ভাষাগুলি কি নিয়মিত হতে পারে?" প্রশ্নটি সম্পর্কে:

যে কোনও অ্যান্টি-প্যালিনড্রোম নিয়মিত নয় তা প্রমাণ করার জন্য , দ্বিধা দ্বন্দ্বের দ্বারা ধরে নিন এটি নিয়মিত। $L$

যেহেতু নিয়মিততা বিপরীত দ্বারা সংরক্ষণ করা হয় , $L^R$ is also regular.
Since regularity is preserved by union, $L \cup L^R$ , which is the set of all the non-palindromes, is also regular.
Since regularity is preserved by complement, the set of all palindromes is regular.

From the last statement, we can derive a contradiction by pumping. (See e.g. here for a solution)

— chi
সূত্র

Or more simply, you can observe that in order for a DFA to accept the language of palindromes, it needs to consider the first half of the string while parsing the second half -- but a DFA has a finite number of states and cannot store an arbitrarily long string. It's the same reasoning that shows the language of balanced parentheses is non-regular (paren-depth can be arbitrarily large).

— Kevin

I see, but if any

L

$L$ that has this property if from the form

L = {x | x < x^{R}}

$L=\{ x | x<x^R \}$ does it indicate that every language is also Context Free? Or if not CFL, then must it be in

R

$R$ ? since every order

<

$<$ can be calculated in

R

$R$ with a TM.

— Marik S.

@MarikS. The grammar of rici below proves that

L

$L$ can be context-free. I'm pretty sure that some

L

$L$ is non-recursive, since there are uncountably many such languages -- in my proof above we can make countably infinite choices about which to put first between

x

$x$ and

x^{R}

$x^R$ , and each combination gives a distinct

L

$L$ . So the cardinality of such languages is the same of

{0, 1}^{N}

$\{0,1\}^{\mathbb{N}}$ , which is uncountable.

— chi

For what it's worth, here is a simple context-free grammar for one anti-palindromic language:

\begin{aligned} S & \to 0 S 0 ∣ 1 S 1 ∣ 0 X 1 \\ X & \to ϵ ∣ X 0 ∣ X 1 \end{aligned}

$\begin{align} S &\to 0 S 0 \mid 1 S 1 \mid 0 X 1 \\ X &\to \epsilon \mid X 0 \mid X 1 \end{align}$

(In fact, this is the anti-palindromic language proposed by @shreesh, using lexicographic comparison for the less-than operator.)

— rici
সূত্র

Which leads to an even more explicit description:

L = {x 0 y 1 x^{R} | x, y \in {0, 1}^{*}}

$L=\{x0y1x^R\ |\ x,y\in\{0,1\}^*\}$ .

— Klaus Draeger