এলোমেলোভাবে মেলডেবল গাদা - প্রত্যাশিত উচ্চতা

র্যান্ডমাইজড মেল্ডেবল হিপগুলির একটি অপারেশন " মেল্ড " রয়েছে, যা আমরা পরে সন্নিবেশ সহ অন্যান্য সমস্ত ক্রিয়াকলাপ সংজ্ঞায়িত করতে ব্যবহার করি।

প্রশ্নটি হল, নোড সহ সেই গাছের একটি প্রত্যাশিত উচ্চতা কত ? $n$

গাম্বিন এবং মলিনকোভস্কির উপপাদ্য 1, র্যান্ডমাইজড মেল্ডেবল অগ্রাধিকার ক্যু ( প্রফেসিং অফ সফটওয়্যার 1998, কম্পিউটার সায়েন্সের বক্তৃতা নোট 1515, পিপি। 344–349, 1998; পিডিএফ ) প্রমাণ সহ এই প্রশ্নের উত্তর দেয়। তবে আমরা বুঝতে পারি না কেন আমরা লিখতে পারি:

E [h_{Q}] = \frac{1}{2} ((1 + E [h_{Q_{L}}]) + (1 + E [h_{Q_{R}}])) .

$\mathbb{E} [ h_Q] = \frac{1}{2} ((1 + \mathbb{E}[h_{Q_L}]) + (1 + \mathbb{E}[h_{Q_R}]))\,.$

আমার জন্য গাছের উচ্চতা

h_{Q} = 1 + max {h_{Q_{L}}, h_{Q_{R}}},

$h_Q = 1 + \max\, \{ h_{Q_L}, h_{Q_R}\}\,,$

যা আমি প্রসারিত করতে পারি:

E [h_{Q}] = 1 + E [max {h_{Q_{L}}, h_{Q_{R}}}] = 1 + \sum k P [max {h_{Q_{L}}, h_{Q_{R}}} = k] .

$\mathbb{E} [ h_Q] = 1 + \mathbb{E}[\max \,\{ h_{Q_L}, h_{Q_R}\}] = 1 + \sum k \mathbb{P}[\max\, \{ h_{Q_L}, h_{Q_R}\} = k]\,.$

সম্ভাব্যতা যে দুটি সাব-ট্রি উচ্চতা সর্বোচ্চ সমান $k$ মোট সম্ভাবনা আইন ব্যবহার পুনর্লিখিত করা যেতে পারে:

\begin{aligned} P [max {h_{Q_{L}}, h_{Q_{R}}} = k] \\ = P [max {h_{Q_{L}}, h_{Q_{R}}} = k ∣ h_{Q_{L}} \leq h_{Q_{R}}] P [h_{Q_{L}} \leq h_{Q_{R}}] \\ + P [max {h_{Q_{L}}, h_{Q_{R}}} = k ∣ h_{Q_{L}} > h_{Q_{R}}] P [h_{Q_{L}} > h_{Q_{R}}] \\ = P [h_{Q_{R}} = k ∣ h_{Q_{L}} \leq h_{Q_{R}}] P [h_{Q_{L}} \leq h_{Q_{R}}] \\ + P [h_{Q_{L}} = k ∣ h_{Q_{L}} > h_{Q_{R}}] P [h_{Q_{L}} > h_{Q_{R}}] . \end{aligned}

$\begin{align*} \hspace{2em}&\hspace{-2em} \mathbb{P}[\max\, \{ h_{Q_L}, h_{Q_R}\} = k] \\ &= \mathbb{P}[\max\, \{ h_{Q_L}, h_{Q_R}\} = k \mid h_{Q_L}\leq h_{Q_R}]\,\mathbb{P}[h_{Q_L} \leq h_{Q_R}]\\ &\hspace{2em} + \mathbb{P}[\max\, \{ h_{Q_L}, h_{Q_R}\} = k \mid h_{Q_L} > h_{Q_R}]\,\mathbb{P}[h_{Q_L} > h_{Q_R}] \\ &= \mathbb{P}[h_{Q_R} = k \mid h_{Q_L} \leq h_{Q_R}]\,\mathbb{P}[h_{Q_L} \leq h_{Q_R}]\\ &\hspace{2em}+ \mathbb{P}[h_{Q_L} = k \mid h_{Q_L} > h_{Q_R}]\,\mathbb{P}[h_{Q_L} > h_{Q_R}]\,. \end{align*}$

সুতরাং শেষে আমি পেতে:

\begin{aligned} E [h_{Q}] & = 1 + \sum k {P [h_{Q_{R}} = k ∣ h_{Q_{L}} \leq h_{Q_{R}}] P [h_{Q_{L}} \leq h_{Q_{R}}] \\ + P [h_{Q_{L}} = k ∣ h_{Q_{L}} > h_{Q_{R}}] P [h_{Q_{L}} > h_{Q_{R}}]} . \end{aligned}

$\begin{align*}\mathbb{E} [ h_Q] &= 1 + \sum k \{ \mathbb{P}[h_{Q_R} = k \mid h_{Q_L} \leq h_{Q_R}]\,\mathbb{P}[h_{Q_L} \leq h_{Q_R}]\\ &\hspace{2em}+ \mathbb{P}[h_{Q_L} = k \mid h_{Q_L} > h_{Q_R}]\,\mathbb{P}[h_{Q_L} > h_{Q_R}] \}\,. \end{align*}$

এখানেই আমি আটকা পড়েছি। আমি দেখতে পাচ্ছি যে কম-বেশি সমান (তবে আমাদের সর্বাধিক need ) । তবে শুরু থেকেই সূত্রের দিকে নিয়ে যাওয়া কিছুই নয়। $\mathbb{P}[h_{Q_L} > h_{Q_R}]$ $\frac{1}{2}$ $\leq \frac{1}{2}$

সাবট্রির উচ্চতা আমার কাছে স্বাধীন বলে মনে হয় না।

সাহায্যের জন্য ধন্যবাদ.

— ম্যাটিউজ উইজাইস্কি
সূত্র

কাগজে, উচ্চতা নয়। এটি একটি সম্পূর্ণ বাইনারি গাছের গোড়া থেকে এলোমেলো হাঁটার দৈর্ঘ্য (তারা জোর দেয় প্রতিটি পাতাকে "নীল"), তাই তাদের যে মত প্রকাশ তা সঠিক জিনিস the $h_Q$

এছাড়াও, আপনি অন্তর্ভুক্তি এড়াতে পারেন। গভীরতা একটি নির্দিষ্ট পাতার এ বিভক্তি সম্ভাবনা ঠিক হয় । তাই হাঁটার প্রত্যাশিত দৈর্ঘ্য $d$ $2^{-d}$

\sum_{ℓ \in leaves (Q)} depth (ℓ) 2^{- depth (ℓ)}

$\sum_{\ell\in \text{leaves}(Q)} \text{depth}(\ell)2^{-\text{depth}(\ell)}$

যা কোনও বিতরণের এনট্রপি আকারের একটি সেট। $|\text{leaves}(Q)|$

— লুই
সূত্র

কেন আপনি আমাকে ইন্ডাকশনটি ব্যবহার করতে হবে না কেন আপনি আরও বিশদে ব্যাখ্যা করতে পারেন? আমি প্রত্যাশিত দৈর্ঘ্যের সূত্রের সাথে একমত। আমি শুধু দেখতে পাচ্ছি না কেন এটি ও (লগইন) হওয়া উচিত? স্ট্রিংগুলিতে একটি বিতরণ এনট্রপি বলতে কী বোঝ?

— ম্যাটিউজ উইজিজিস্কি

কারণ আকার এর সেটগুলিতে একটি বিতরণের এনট্রপি সর্বজনীনভাবে বিতরণ দ্বারা সর্বাধিক পরিচিত, যা ক্ষেত্রে এটি ।

n

$n$

\log n

$\log n$

— লুই