কেন কঠোর সিদ্ধান্ত সমস্যার গণনা বৈকল্পিক স্বয়ংক্রিয়ভাবে শক্ত হয় না?

Question

এটি সুপরিচিত যে 2-স্যাট পি-তে রয়েছে However তবে, এটি একটি আকর্ষণীয় বলে মনে হচ্ছে যে প্রদত্ত 2-স্যাট সূত্রের সমাধানের সংখ্যা গণনা করা, অর্থাৎ, # 2-স্যাট # পি-হার্ড is এটি হ'ল আমাদের একটি সমস্যার উদাহরণ রয়েছে যার জন্য সিদ্ধান্ত নেওয়া সহজ তবে গণনা শক্ত।

তবে একটি নির্বিচারে এনপি-সম্পূর্ণ সমস্যা বিবেচনা করুন (বলুন 3-সিওএল)) আমরা এর গণনা বৈকল্পিকের কঠোরতা সম্পর্কে অবিলম্বে কিছু বলতে পারি?

সত্যই আমি যা জিজ্ঞাসা করছি তা হল: কেন আমাদের কঠিন সিদ্ধান্তের সমস্যার একটি গণনা বৈকল্পিক দেখানোর জন্য অন্য প্রমাণ প্রয়োজন কেন এটি # পি-হার্ড? (কখনও কখনও আপনি পার্সিমোনিয়াস হ্রাস দেখতে পান যা সমাধানের সংখ্যা সংরক্ষণ করে ইত্যাদি)। আমি সত্যিই বলতে চাচ্ছি, যদি কাউন্টিং সমস্যা ছিল সহজ, আপনি স্বয়ংক্রিয়ভাবে সিদ্ধান্ত সমস্যা পাশাপাশি সমাধান করতে পারে! তাহলে এটি কীভাবে কঠিন হতে পারে না? (ঠিক আছে, সম্ভবত এটি শক্ত, তবে হার্ডের সংজ্ঞাটি সম্পর্কে আমি নিশ্চিত নই)।

Answer 1

এটি কোনও স্বয়ংক্রিয় তাত্ত্বিক না হওয়ার কারণ "সিদ্ধান্ত কঠোরভাবে বোঝায় যে গণনা কঠিন" এই দুটি বিবৃতি "শক্ত" এর বিভিন্ন সংজ্ঞা ব্যবহার করে।

• কোনও সিদ্ধান্তগত সমস্যা যদি এটি বহু-সময়কালীন বহু-ওয়ান হ্রাস (ওরফে কার্প হ্রাস, ওরফে বহু-সময়ের ম্যাপিং হ্রাস) এর অধীনে এনপি-সম্পূর্ণ হয় A

• বহু গণ-সময়কালীন টুরিং হ্রাস (ওরফে কুক হ্রাস) এর অধীনে # পি- অসম্পূর্ণ হলে গণনা সমস্যা শক্ত ।

যেমন, যদি একটি সিদ্ধান্ত সমস্যা দ্বারা NP -complete, আমরা জানি যে সংশ্লিষ্ট কাউন্টিং সমস্যা দ্বারা NP -hard কিন্তু যে কি কঠিন কাউন্টিং সমস্যা সংজ্ঞা নয়। হচ্ছে #P -complete শুধু হচ্ছে চেয়ে অনেক শক্তিশালী বিবৃতি মনে করা হয় দ্বারা NP -hard - তোদা দেখানো হয়েছে যে #P -complete সমস্যার তাই এলোমেলোভাবে কমানোর অধীনে সমগ্র বহুপদী অনুক্রমের জন্য কঠিন, একটি জটিলতা শ্রেণী হিসেবে, #P অনেক কাছাকাছি মতানুযায়ী থেকে PSPACE চেয়ে  দ্বারা NP ।

বিপরীত দিকে যেতে, এটা স্পষ্টভাবে সত্য যে, যদি গণনা সমস্যা এফপিতে থাকার দিক থেকে সহজ হয়  , তবে সিদ্ধান্তের সমস্যাটি  পি । সর্বোপরি, আপনি যদি দক্ষতার সাথে গণনা করতে পারেন তবে অবশ্যই উত্তরটি ননজারো কিনা তা বলতে পারবেন। তবে, কেবল গণনা সংস্করণটি "হার্ড নয়" (যেমন, # পি- কমপ্লিট নয়) বোঝায় না যে এটি "সহজ" (যেমন,  এফপিতে )। লাডনারের উপপাদ্যটি # পি পর্যন্ত প্রসারিত হয়  , যদি এফপি$\,\neq\,$** # পি ** তারপরে তাদের মধ্যে স্বতন্ত্র জটিল শ্রেণির সীমাহীন শ্রেণিবিন্যাস রয়েছে যাতে আমাদের "হার্ড-নন" গণনা সেই শ্রেণীর যে কোনও একটির জন্যই সম্পূর্ণ হতে পারে এবং সুতরাং, "সহজ" ( এফপিতে ) হতে পারে না  ।

এটি বলার পরে, আমি মনে করি না যে অনুমানের কোনও সিদ্ধান্তের এনপি- কমপ্লিট হওয়ার অর্থ আমাদের গণনার কোনও উদাহরণ নেই যা গণনা সংস্করণ # পি- কমপ্লিট। সুতরাং, এটি কোনও উপপাদ্য নয় তবে এটি অনুগতভাবে সত্য।

Comments

প্রকৃতপক্ষে. শেষ অনুচ্ছেদে অ্যাপ্রোপস , আপনি cstheory.stackexchange.com/q/16119/5038 এ সেই বিন্দুটির বিষয়ে আরও কিছুটা আলোচনা পেতে পারেন ।

— DW

1. গণনা সমস্যাটি কোনও এনপি সমস্যার জন্য স্বতন্ত্রভাবে সংজ্ঞায়িত করা হয়নি, আপনাকে এনপি সমস্যার জন্য গণনা সংস্করণ সম্পর্কে কথা বলার আগে যাচাইকারীটি ঠিক করতে হবে । ২. জটিলতায় কঠোরতা আপেক্ষিক অসুবিধা , পরম অসুবিধা নয় । সুতরাং যখন আমরা বলি যে কোন সমস্যা কঠিন তখন সুস্পষ্ট প্রশ্নটি কি এবং কোন ধরণের তুলনার সাথে সম্পর্কিত?

— কাভেঃ