আমি কীভাবে পার্টিশনের সাবসেট যোগফল হ্রাস করতে পারি?

20

হয়তো এটি বেশ সহজ তবে এই হ্রাস পেতে আমার কিছুটা সমস্যা আছে। আমি কমাতে চান উপসেট যোগফল থেকে দেশভাগের কিন্তু এই সময়ে আমি সম্পর্ক মনে হল না!

লেভিন হ্রাস ব্যবহার করে কি এই সমস্যাটি হ্রাস করা সম্ভব?

বুঝতে না পারলে স্পষ্টতার জন্য লিখুন!

complexity-theory np-complete reductions

— dbonadiman
সূত্র

19

আসুন উপসেটের যোগফলের একটি উদাহরণ হতে হবে, যেখানে সংখ্যার একটি তালিকা (মাল্টিসেট), এবং লক্ষ্যফলের যোগফল। যাক । যাক যোগ করে গঠিত তালিকা হতে থেকে । $(L,B)$ $L$ $B$ $S = \sum L$ $L'$ $S+B,2S-B$ $L$

(1) যদি একটি sublist হয় করার সামিং , তারপর দুটি সমান ভাগে বিভক্ত করা যেতে পারে: এবং । প্রকৃতপক্ষে, এর প্রথম অংশ অঙ্কের , আর দ্বিতীয় $M \subseteq L$ $B$ $L'$ $M \cup \{ 2S-B \}$ $L\setminus M \cup \{ S+B \}$ $B+(2S-B) = 2S$ । $(S-B)+(S+B) = 2S$

(2) যদি দুটি সমান ভাগে বিভক্ত করা যেতে পারে , তারপর সেখানে একটি sublist হয় করার summing । প্রকৃতপক্ষে, এবং প্রতিটি অংশের পরিমাণ , তাই দুটি উপাদান বিভিন্ন অংশের অন্তর্ভুক্ত। সাধারণতার ক্ষতি ছাড়াই, । বাকি উপাদানগুলি অন্তর্ভুক্ত $L'$ $P_1,P_2$ $L$ $B$ $(S+B)+(2S-B) = 3S$ $2S$ $2S-B \in P_1$ $P_1$ এবং সমষ্টি । $L$ $B$

— ইউভাল ফিল্ম
সূত্র

2

তবে স্ট্যান্ডার্ড সাবসেট-

— সম

অ-নেতিবাচক পূর্ণসংখ্যার সাথেও সাবসেট-সুম এনপি-সম্পূর্ণ, উদাহরণস্বরূপ 3SAT থেকে হ্রাস হ্রাস অ-নেতিবাচক পূর্ণসংখ্যার সাথে শেষ হয়। এছাড়াও, সম্ভবত পূর্ণসংখ্যক SUBSET-SUM থেকে অ-নেতিবাচক পূর্ণসংখ্যক SUBSET-SUM- তে সরাসরি হ্রাস পাবে।

— যুবাল ফিল্মাস

1

হ্যাঁ, আমি জানি, এবং এই হ্রাস খুব সহজ। কেবল উল্লেখ করে যে এটি "ডিফল্ট" ফর্মের উপসেট যোগফল নয়। :)

— gukoff

যদি এটি কাজ করে

হয়

? যেমন

, মত

L^{^{'}}

$L^{'}$

L ⋃ {B, S - B}

$L \bigcup \{B, S-B\}$

| {B, S - B} | = B

$|\{B, S-B\}| = B$

| L | = B

$|L| = B$

— কৌতূহলী

1

@Issam এটা, এই পার্টিশনটির উদাহরণস্বরূপ সবসময় সমাধান হবে হবে

।

L, {B, S - B}

$L,\{B,S-B\}$

— যুবাল ফিল্মস

1

@ ইউভাল ফিল্মাস দ্বারা উল্লিখিত উত্তরটি ভুল (কোনও নেতিবাচক পূর্ণসংখ্যা না থাকলে এটি কেবল সঠিক)। নিম্নলিখিত মাল্টিসেট বিবেচনা করুন:

{- 5, 2, 2, 2, 2, 2}

$\{-5, 2, 2, 2, 2, 2\}$

এবং লক্ষ্য যোগফল । আমরা জানি যে কোনও উপসেট নেই। এখন, আমরা পার্টিশন সমস্যার জন্য উদাহরণটি তৈরি করি। যুক্ত হওয়া দুটি নতুন উপাদান এবং । মাল্টিসেটটি এখন: এবং মোট যোগফল । $-2$ $2\sigma-t = 12$ $\sigma+t = 3$

{- 5, 2, 2, 2, 2, 2, 3, 12}

$\{-5, 2, 2, 2, 2, 2, 3, 12\}$

20

$20$

পার্টিশন সমস্যাটি সাবসেটটি giving দিয়ে উত্তরটি সমাধান করে এখানে, 2 টি নতুন উপাদান একই উপসেটে রয়েছে (অর্ধের যোগফলের বিভাজনের কোনও উপায় নেই)। সুতরাং, এটি একটি পাল্টা উদাহরণ। সঠিক উত্তরটি নিম্নরূপ:

{2, 2, 2, 2, 2}

$\{2, 2, 2, 2, 2\}$

একটি উপাদান যার মান যোগ করুন । মাল্টিসেটের মোট যোগফল এখন । পার্টিশন সমস্যা যা সমষ্টি 2 সাব-সেট নির্বাচন দিতে হবে সমাধান । পার্টিশনের একটিতে নতুন উপাদান থাকবে। আমরা অন্য পার্টিশনটি নির্বাচন করি যার সমষ্টি এবং আমরা এটি একটি পার্টিশনের সমস্যায় হ্রাস করে সাবসেট সমস্যা সমাধান করেছি। লিঙ্কটি এটিই ব্যাখ্যা করে। $2t-\sigma$ $2t$ $t$ $t$

— রোহিত কুমার জেনা
সূত্র

1

তবে, যুবাল তার উত্তরের মন্তব্যে যেমন বলেছেন, আমরা ইতিবাচক পূর্ণসংখ্যার মধ্যে সীমাবদ্ধ থাকলেও সাবসেট যোগফল এনপি- কমপ্লিট। সুতরাং আমরা ধরে নিতে পারি যে কোনও নেতিবাচক সংখ্যা নেই।

— ডেভিড রিচারবি

1

হ্যাঁ, আমি সম্মত, ইতিবাচক পূর্ণসংখ্যার ক্ষেত্রেও উপসেট যোগফল এনপি-সম্পূর্ণ। আমি কেবল কোনও পূর্ণসংখ্যার জন্য আরও একটি সম্পূর্ণ প্রমাণ সরবরাহ করছিলাম।

— রোহিত কুমার জেনা

1

"কেবল একটি আরও সম্পূর্ণ প্রমাণ সরবরাহ করা" এবং ভুলভাবে দাবি করা যে একটি বিদ্যমান উত্তরটি ভুল।

— ডেভিড রিচার্বি

1

এটি অর্থে ভুল যে এটি negativeণাত্মক পূর্ণসংখ্যার জন্য কাজ করে না। :) শান্তি :)

— রোহিত কুমার জেনা

1

এখানে একটি সহজ প্রমাণ:

এটি দেখতে সহজ যে সেট-পার্টিশনটি বহুবর্ষের সময় যাচাই করা যেতে পারে; পার্টিশন $P_1,P_2$ কেবল দুটি সংখ্যার সমষ্টি করে তা যাচাই করুন যে তাদের যোগফলগুলি একে অপরের সমান, যা স্পষ্টতই বহুবচনীয় সময় যাচাইকরণ (কারণ সংক্ষেপণ একটি বহুপদী ক্রিয়াকলাপ এবং আমরা কেবলমাত্র সর্বাধিক $|X|$ বহু সংক্ষেপণ সম্পাদন করছি )।

প্রমাণের মূলটি হ'ল SUBSETSUM কে পার্টিশনে হ্রাস করা; যে শেষে দেওয়া সেটে $X$ এবং একটি মান $t$ (উপসেট সমষ্টি ক্যোয়ারী) আমরা একটি নতুন সেট গঠন $X'=X \cup \{s-2t\}$ যেখানে $s=\sum_{x \in X}x$ । এটি হ্রাস হচ্ছে তা দেখতে:

( $\implies$ ) ধরে নিন যে এখানে কিছু $S \subset X$ রয়েছে যা $t=\sum_{x \in S}x$ পরে আমাদের সেই
$s - t = \sum_{x \in S \cup {s - 2 t}} x,$ $\begin{equation*} s-t=\sum_{x \in S\cup \{ s-2t \} }x, \end{equation*}$ $s - t = \sum_{x \in X^{'} ∖ (S \cup {s - 2 t})} x$ $\begin{equation*} s-t=\sum_{x \in X' \setminus( S\cup \{s-2t\})}x \end{equation*}$ এবং আমরা হবে যে $S\cup \{ s-2t \}$ এবং $X' \setminus( S\cup \{s-2t\})$ একটি পার্টিশন গঠন $X'$
( $\impliedby$ ) ধরুন একটি পার্টিশন নেই $P_1',P_2'$ এর $X'$ যেমন যে $\sum_{x \in P_1'}x= \sum_{x \in P_2'}x$ । লক্ষ্য করুন যে, এই সংঘটিত একটি প্রাকৃতিক পার্টিশন $P_1$ এবং $P_2$ এর $X$ যেমন যে WLOG আমরা আছে
$s - 2 t + \sum_{x \in P_{1}} x = \sum_{x \in P_{2}} x$ $\begin{equation*} s-2t+\sum_{x \in P_1}x= \sum_{x \in P_2}x \end{equation*}$ $⟹ s - 2 t + \sum_{x \in P_{1}} x + \sum_{x \in P_{1}} x = \sum_{x \in P_{2}} x + \sum_{x \in P_{1}} x = s$ $\begin{equation*} \implies s-2t+\sum_{x \in P_1}x+\sum_{x \in P_1}x= \sum_{x \in P_2}x+\sum_{x \in P_1}x = s \end{equation*}$ $⟹ s - 2 t + 2 \sum_{x \in P_{1}} x = s$ $\begin{equation*} \implies s-2t+2\sum_{x \in P_1}x = s \end{equation*}$ $⟹ \sum_{x \in P_{1}} x = t$ $\begin{equation*} \implies \sum_{x \in P_1}x = t \end{equation*}$

Hence from a solution $t=\sum_{x \in S}x$ we can form a parition $P_1 =S\cup \{ s-2t \}$ , $P_2=X' \setminus( S\cup \{s-2t\})$ and conversely from a partition $P_1',P_2'$ we can form a soltuion $t=\sum_{x \in P_1'\setminus \{s-2t\}}x$ and therefore the mapping $f:(X,t)\rightarrow X'$ is a reduction (because $(X,t)$ is in the language/set SUBSETSUM $\Leftrightarrow X'=f(X,t)$ is in the language/set PARTITION) and it is clear to see that the transformation was done in polynomial time.

— Pedrpan
সূত্র

0

Subset Sum:

Input: {a1,a2,...,am} s.t M={1..m} and ai are non negative integer and S⊆{1..k} and Σai(i∈S) = t

Partition:

Input: {a1,a2,...,am} and S⊆ {1,· · ·,m} s.t Σai(i∈S) = Σaj(j∉S)

Partition Np Proof: if prover provides a partitions(P1,P2) for verifier, verifier can easily calculate the sum of P1 and P2 and check if the result is 0 in linear time.

NP_Hard: SubsetSum ≤p PARTITION

Let x be input of SubsetSum and x=〈a1,a2,...,am,t〉 and Σai(i from 1 to m) = a

Case1: 2t >= a:

Let f(x)=〈a1,a2,...,am,am+1〉 where am+1= 2t−a

We want to show that x∈SubsetSum ⇔ f(x)∈PARTITION

so there exist S⊆ {1,...,m} s.t T = {1..m} - S and Σai(i∈T) = a-t

and Let T' = {1...m,m+1} - S so Σaj(j∈T') = a-t+2t-a = t

which is exactly Σai(i∈S)= t and it shows f(x)∈PARTITION

now We also will show that f(x)∈PARTITION ⇔ x∈SubsetSum

so there exist S⊆ {1,...,m,m+1} s.t T = {1,...,m,m+1} - S and Σai (i∈T)= [a+(2t-a)-t]=t

and it shows Σai(i∈T) = Σaj(j∈S) so m+1∈T and S⊆ {1,· · ·,m} and Σai(i∈S)= t

so x∈SubsetSum

Case 2: 2t =< a :

we can check same but just this time am+1 is a−2t

— Behrooz Tabesh
সূত্র

-3

this link has a good description of both reductions, partition to subset-sum and subset-sum to partition. I think it is more obvious than YUVAL's answer. useful link

— user44970
সূত্র

4

Please do not post link-only answers. If the content at the link changes or becomes unavailable, your answer will become useless. Please amend your answer so that it is useful, even if the link is unavailable (for instance, restating the content in your own words and providing the link as reference and source).

— Tom van der Zanden