ডাবল-স্যাট প্রমান করা এনপি-সম্পূর্ণ

Question

সুপরিচিত SAT সমস্যাটি এখানে রেফারেন্সের জন্য সংজ্ঞায়িত করা হয়েছে ।

ডাবল-স্যাট সমস্যাটি হিসাবে সংজ্ঞায়িত করা হয়েছে

$\qquad \mathsf{DOUBLE\text{-}SAT} = \{\langle\phi\rangle \mid \phi \text{ has at least two satisfying assignments}\}$

কীভাবে আমরা এটি এনপি-সম্পূর্ণ হিসাবে প্রমাণ করব?

প্রমাণ করার একাধিক উপায় প্রশংসা করা হবে।

Answer 1

এখানে একটি সমাধান দেওয়া হল:

স্পষ্টত ডাবল স্যাট জন্যে , যেহেতু একটি NTM ডাবল স্যাট সিদ্ধান্ত নিতে পারেন নিম্নরূপ: একটি বুলিয়ান ইনপুট সূত্র উপর φ ( এক্স 1 , ... , x এর এন ) , nondeterministically 2 বরাদ্দকরণ অনুমান কিনা উভয় সন্তুষ্ট যাচাই φ ।${\sf NP}$$\phi(x_1,\ldots,x_n)$$\phi$

ডাবল-স্যাট হ'ল কমপ্লিট, তা দেখানোর জন্য , আমরা নীচে SAT থেকে ডাবল-স্যাটকে হ্রাস দেব:${\sf NP}$

ইনপুটের :$\phi(x_1,\ldots,x_n)$

1. একটি নতুন ভেরিয়েবল প্রবর্তন করুন ।$y$
2. আউটপুট সূত্র ।$\phi'(x_1,\ldots,x_n, y) = \phi(x_1,\ldots,x_n) \wedge (y \vee \bar y)$

তাহলে স্যাট জন্যে, তারপর φ অন্তত 1 পরিতৃপ্ত নিয়োগ আছে, এবং সেইজন্য φ ' ( এক্স 1 , ... , x এন , Y ) অন্তত 2 পরিতৃপ্ত বরাদ্দকরণ হিসাবে আমরা সন্তুষ্ট করতে পারেন হয়েছে নতুন ধারা ( y ∨ ˉ y ) y = 1 বা y = 0 নতুন ভেরিয়েবল y এর জন্য নির্ধারণ করে , তাই ϕ ′ ( $\phi (x_1,\ldots,x_n)$$\phi$$\phi'(x_1,\ldots,x_n, y)$$y \vee \bar y$$y = 1$$y = 0$$y$$\phi'$ , ..., এক্স এন , ওয়াই ) ∈ ডাবল-স্যাট।$x_1$$x_n$$y$$\in$

অন্যদিকে, যদি তবে পরিষ্কারভাবে ϕ ′ ( x 1 , … , x n , y ) = ϕ ( x 1 , … , x n ) ∧ ( y ∨ ˉ) y ) এর কোনও সন্তোষজনক দায়িত্ব নেই, সুতরাং ϕ ′ ( x 1 , … , $\phi(x_1,\ldots,x_n)\notin \text{SAT}$$\phi' (x_1,\ldots,x_n, y) = \phi (x_1,\ldots,x_n) \wedge (y \vee \bar y)$ ।$\phi'(x_1,\ldots,x_n,y) \notin \text{Double-SAT}$

অতএব, এবং তাই ডাবল-স্যাট হ'ল এন পি- কমপ্লিট।$\text{SAT} \leq_p \text{Double-SAT}$${\sf NP}$

Comments

এটি আমার প্রস্তাবের চেয়েও সুন্দর।

— রাফেল

Answer 2

$\mathsf{SAT}$$\mathsf{SAT}$$\mathsf{DOUBLE\text{-}SAT}$

$\varphi$$\varphi \lor f(\varphi)$$\varphi$$f$