সাধারণ বহুভুজগুলির অনন্য ত্রিভুজ্যকরণ ডুয়ালগুলি

Question

একটি সাধারণ বহুভুজের একটি ত্রিভুজ (স্টেইনার পয়েন্ট ছাড়াই) দেওয়া হয়েছে $P$, কেউ এই ত্রিভুজালের দ্বৈত বিবেচনা করতে পারেন, যা নীচে সংজ্ঞায়িত হয়েছে। আমরা আমাদের ত্রিভুজাকৃতিতে প্রতিটি ত্রিভুজের জন্য একটি শীর্ষবিন্দু তৈরি করি, এবং যদি ত্রিভুজগুলি একটি প্রান্ত ভাগ করে থাকে তবে আমরা দুটি শীর্ষে সংযুক্ত করি। দ্বৈত গ্রাফটি সর্বোচ্চ তিনটি ডিগ্রি সহ একটি গাছ হিসাবে পরিচিত।

আমার আবেদনের জন্য, আমি নিম্নলিখিতগুলিতে আগ্রহী। একটি গাছ দেওয়া হয়েছে$T$ সর্বোচ্চ ডিগ্রি তিন সহ, সর্বদা একটি সাধারণ বহুভুজ থাকে? $P$ যেমন প্রতিটি ত্রিভুজুণের দ্বৈত (স্টেইনার পয়েন্ট ছাড়াই) $P$ সমান $T$। এখানে, এর ত্রিভুজ$P$ অনন্য হতে পারে না, তবে আমার প্রয়োজন দ্বৈত গ্রাফটি অনন্য হওয়া উচিত।

এটি অবশ্যই সত্য যখন $T$ একটি পথ, তবে আপনি যখন তিনটি ডিগ্রি বিশিষ্ট হন তখন অস্পষ্ট হয়ে যায়।

Comments

দ্বৈত গ্রাফ অগত্যা একটি গাছ নয়। এই তারা-জাতীয় আকৃতিটি বিবেচনা করুন , যা আপনার প্রান্ত ভাগের সংজ্ঞা (পূর্ণ বা আংশিক) এর উপর নির্ভর করে হয় 4 টি শীর্ষে বিভক্ত গ্রাফ বা 4-চক্র।

— orlp

ভালো বল ধরা! আমি উল্লেখ করতে ভুলে গেছি যে আমি আমার ত্রিভুজগুলিতে স্টেইনার পয়েন্টগুলিকে অনুমতি দিই না। আমি প্রশ্ন আপডেট করব।

— নিজবেল 99

আকর্ষণীয় প্রশ্ন, তবে আমি কী আগ্রহী তা এই প্রয়োগ কি হতে পারে। আপনি বলতে পারেন?

— বিচ্ছিন্ন টিকটিকি

Answer 1

একটি গাছ দেওয়া হয়েছে $T$ সর্বোচ্চ ডিগ্রি তিন সহ, সর্বদা একটি সাধারণ বহুভুজ থাকে? $P$ যেমন প্রতিটি ত্রিভুজুণের দ্বৈত (স্টেইনার পয়েন্ট ছাড়াই) $P$ সমান $T$?

হ্যাঁ. এটি দেখানোর জন্য, আমি আপাতদৃষ্টিতে সামান্য শক্তিশালী ফলাফল পাওয়ার জন্য একটি পদ্ধতি দেব:

একটি গাছ দেওয়া হয়েছে $T$ সর্বোচ্চ ডিগ্রি তিন সহ, একটি বহুভুজ নির্মাণ করুন $P$, এই ধরনের যে অনন্য ট্রায়াঙ্গুলেশন এর$P$ (স্টেইনার পয়েন্ট ছাড়াই) রয়েছে $T$ এটি দ্বৈত হিসাবে

প্রাথমিক ত্রিভুজ তৈরি করে শুরু করুন $\Delta_0$, কিছু শীর্ষবিন্দু উপস্থাপন $v_0$ ভিতরে $T$ এবং যোগ করুন $v_0$ কাতারে $Q$। তারপরে, নিম্নলিখিত পর্যন্ত পুনরাবৃত্তি করুন$Q$ খালি:

• শীর্ষ উপাদানটি পপ করুন, $v$, কিউ থেকে।
• প্রতিটি প্রতিবেশী ভার্টেক্সের জন্য $w$ যার জন্য আমরা এখনও একটি ত্রিভুজ স্থাপন করি নি, একটি দিক বেছে নিন $AB$ ত্রিভুজ এর $\Delta_v$ এবং একটি বিষয় $D$ লাইন দ্বারা উত্পাদিত শঙ্কু অঞ্চলের ভিতরে $AB$ এবং এর পার্শ্ববর্তী বিভাগগুলি যেমন ত্রিভুজ $\Delta ABD$অন্য কোনও ত্রিভুজ ছেদ করে না। (নীচের চিত্র দেখুন) সেট$\Delta_w\leftarrow\Delta ABD$ এবং যোগ করুন $w$ প্রতি $Q$।

এই চিত্রটি একটি সম্ভাব্য বহুভুতের উদাহরণ দেয় $P$ (বাম) প্রদত্ত জন্য $T$ (ডান)

এই পদ্ধতিটি কেন কাজ করে তা দেখতে প্রথমে নোট করুন যে একটি নতুন ত্রিভুজ তৈরি করার পরে বিভাগগুলি $AB$ এবং $AD$ একটি শঙ্কু তৈরি করুন যা বিদ্যমান ত্রিভুজগুলির সাথে ছেদ না করে খালি-ফাঁকা অঞ্চল রয়েছে (আগের চিত্রটিও দেখুন), যাতে আমরা প্রতিটি পদক্ষেপে একটি উপযুক্ত পয়েন্ট খুঁজে পেতে পারি এবং বহুভুজ তৈরি করতে পারি।

দ্বিতীয়ত, আমরা এর মধ্যে ত্রিভুজগুলি বেছে নিয়েছি এর মধ্যে যে রেখাংশটি $CD$ পুরোপুরি ভিতরে থাকা হয় না $P$। যদি কোনও কোণ-পয়েন্ট থাকে$Q \notin \{B,D\}$ ইতিমধ্যে স্থাপন ত্রিভুজ এর যে $DQ$ সম্পূর্ণরূপে হয় $P$, তারপরে এটি অবশ্যই উত্পাদিত শঙ্কুর ভিতরে থাকা উচিত $AD$ এবং $BD$। তবে যেহেতু এই শঙ্কুটির অংশটি ভিতরে নেই$\Delta ABD$ পূর্ববর্তী ত্রিভুজ দ্বারা উত্পাদিত শঙ্কুতে রয়েছে, যেমন একটি $Q$পূর্ববর্তী স্থানযুক্ত ত্রিভুজটির জন্য একটি অভিন্ন বিন্দু উপস্থিত থাকলেই উপস্থিত থাকে। যেহেতু প্রথম ত্রিভুজটির জন্য এই জাতীয় বিন্দুর অস্তিত্ব নেই তাই এর অর্থ আমরা যুক্ত হওয়া কোনও ত্রিভুজের পক্ষে এরকম কোনও বিন্দু নেই।

এর অর্থ সমস্ত জোড় $(X,Y)$ যে কোন কোণে $P$ যার জন্য সেগমেন্ট $XY$ সম্পূর্ণরূপে অন্তর্ভুক্ত $P$ ইতিমধ্যে নির্মিত ত্রিভুজায়নের মধ্যে রয়েছে, সুতরাং ত্রিভুজ্যরণটি অনন্য $P$ (সমস্ত ত্রিভুজগুলি একই সংখ্যক অভ্যন্তরীণ বিভাগকে যুক্ত করে)

নোট করুন যে এই পদ্ধতিতে নির্মিত বহুভুজগুলির পরিবর্তে তীক্ষ্ণ কোণ রয়েছে। আমি সন্দেহ করি যে নির্বিচারে বৃহত গ্রাফগুলিতে স্বেচ্ছাসেবী ছোট কোণগুলির সাথে বহুভুজগুলির প্রয়োজন হয়, যা সীমাবদ্ধ নির্ভুলতার সাথে এই বহুভুজগুলি আঁকলে সমস্যা হতে পারে।

_{*: পার্থক্যটি হ'ল, আমরা যদি আইসোমর্ফিজম (যা ত্রিভুজ এবং দ্বৈতগুলির পৃথকীকরণের স্বতন্ত্রতার সাথে সামঞ্জস্যপূর্ণ) হিসাবে 'অনন্য' ব্যাখ্যা করি তবে আমরা একাধিক ত্রিভুজযুক্ত বহুভুজের সাথে ঠিক থাকব যে সমস্ত আইসোমোরিক দ্বৈত রয়েছে। যাইহোক, কয়েকটি দ্বৈত আর বিচ্ছিন্ন নয় তা নিশ্চিত করার জন্য সেই বহুভুজের আরও ত্রিভুজগুলি 'সংযুক্ত' করা সম্ভব।}