ইন্ডাকশন-ইনডাকশন কী?

Question

কি আনয়ন-আনয়ন ?

আমি যে সংস্থানগুলি পেয়েছি তা হ'ল:

• T.7 অধ্যায়ের শেষে এইচওটিটি বইটি ।
• n ল্যাব এর নিবন্ধ
• ইন্ডুকটিভ-ইনডাকটিভ সংজ্ঞা নামে একটি কাগজ
• এই ব্লগ পোস্টে ইনডাকটিভ-ইনডাকটিভ ধরণের উল্লেখ রয়েছে

প্রথম দুটি উল্লেখ আমার জন্য খুব সংক্ষিপ্ত, এবং দ্বিতীয় দুটি খুব প্রযুক্তিগত। কেউ কি সাধারণ ব্যক্তির মেয়াদে এটি ব্যাখ্যা করতে পারেন? আগদা কোড থাকলে ভাল হয়।

Comments

আপনার চতুর্থ উদ্ধৃতিতে আগদা কোড রয়েছে।

— গিলস 'অসন্তুষ্ট হওয়া বন্ধ করুন' 18

অবশ্যই, তবে এটি বিশাল পরিমাণের কোডের মাধ্যমে পড়া খুব শক্ত হবে। এবং (আমার ধারণা) খুব সহজ 1 বা 2 টি উদাহরণ দেখে।

— 盛安安

Answer 1

পরিপূরক ২০১০-১০-০৩: আমি মিশ্রণ-আবেশন এবং আবেশন-পুনরাবৃত্তি মিশিয়েছি (আমি এটি প্রথমবার করিনি!)। গণ্ডগোলের জন্য আমার ক্ষমা চাইছি। আমি উভয় আবরণ উত্তর আপডেট।

আমি ফোর্সবার্গ এন্ড সেটজারের গবেষণাপত্রে বর্ণনামূলক-সূচকীয় সংজ্ঞা আলোকিত করার একটি সীমাবদ্ধ অক্ষরেখার বিবরণ পেয়েছি ।

আবেশন-পুনরাবৃত্তির

ইনডাকটিভ-রিকার্সিভ সংজ্ঞা হ'ল আমরা একটি টাইপ এবং একটি টাইপ পরিবার সংজ্ঞায়িত করি একই সাথে একটি বিশেষ উপায়ে:$A$$B : A \to \mathsf{Type}$

1. $A$ একটি প্রস্তাবনামূলক টাইপ হিসাবে সংজ্ঞায়িত করা হয়।
2. $B$ উপর পুনরাবৃত্তির দ্বারা সংজ্ঞায়িত করা হয় ।$A$
3. গভীরভাবে, সংজ্ঞা ব্যবহার করতে পারেন ।$A$$B$

তৃতীয় প্রয়োজনীয়তা ব্যতীত আমরা প্রথমে সংজ্ঞা দিতে পারি এবং তারপরে পৃথক ।$A$$B$

এখানে একটি শিশুর উদাহরণ। নিম্নলিখিত কন্সট্রাক্টর থাকতে $A$ inductively সংজ্ঞা দিন :

• $a : A$
• $\ell : \big(\sum_{x : A} B(x)\big) \to A$

পরিবার $B$ টাইপ দ্বারা সংজ্ঞায়িত করা হয়

• $B(a) = \mathtt{bool}$
• $B(\ell(x, f)) = \mathtt{nat}$ ।

সুতরাং, যা আছে তা $A$ ? সর্বপ্রথমে আমরা একটি উপাদান আছে

$$a : A.$$ যে কারণে, $B(a)$ টাইপ বি ( ক ) রয়েছে যা $\mathtt{bool}$ হিসাবে সংজ্ঞায়িত হয়েছে । অতএব, আমরা দুই নতুন উপাদান গঠন করতে পারেন $$\ell(a, \mathtt{false})$$ এবং $$\ell(a, \mathtt{true})$$ মধ্যে $A$ । এখন আমাদের $B(\ell(a, \mathtt{false})) = B(\ell(a, \mathtt{true})) = \mathtt{nat}$ , সুতরাং আমরা প্রতি$n : \mathtt{nat}$ জন্যও গঠন করতে পারি : n a t উপাদানসমূহ $$\ell(\ell(a, \mathtt{false}), n) : A$$ এবং $$\ell(\ell(a, \mathtt{true}), n) : A$$ আমরা এভাবে চলতে পারি। পরবর্তী স্তরটি হবে যেহেতু $$B(\ell(\ell(a, \mathtt{true}), n)) = \mathtt{nat}$$ প্রতিটি$m : \mathtt{nat}$ উপাদান $$\ell(\ell(\ell(a, \mathtt{true}), n), m) : A$$ এবং উপাদান $$\ell(\ell(\ell(a, \mathtt{false}), n), m) : A$$ আমরা চলতে পারি। কিছুটা চিন্তাভাবনা প্রকাশ করে যে$A$ একটি সাধারণ খালি তালিকা ভাগ করে নেওয়ার জন্য প্রাকৃতিক সংখ্যার তালিকার কমপক্ষে দুটি অনুলিপি। আমি এটি কেন অনুশীলন হিসাবে অনুশীলন হিসাবে ছেড়ে দেব।

আবেশন-আনয়ন

একটি ইন্ডাকটিভ-ইন্ডাকটিভ সংজ্ঞা এছাড়াও একটি টাইপ $A$ এবং একই সাথে একটি টাইপ পরিবার $B : A \to \mathsf{Type}$ সংজ্ঞা দেয় : A → T y p e :

1. $A$ inductively সংজ্ঞায়িত করা হয়
2. $B$ inductively সংজ্ঞায়িত করা হয়, এবং এটি$A$
3. গুরুতরভাবে, $A$$B$ উল্লেখ করতে পারে ।

ইন্ডাকশন-রিকার্সন এবং ইন্ডাকশন-ইনডাকশনের মধ্যে পার্থক্যটি বোঝা গুরুত্বপূর্ণ। আনয়ন-পুনরাবৃত্তির আমরা সংজ্ঞায়িত $B$ ফর্ম সমীকরণ প্রদানের মাধ্যমে

$$B(\mathsf{c}(\ldots)) = \cdots$$ যেখানে $\mathsf{c}(\ldots)$ জন্য একটি কন্সট্রাকটর হয় $A$ । একটি প্রস্তাবনামূলক-প্রস্তাবনামূলক সংজ্ঞা আমরা সংজ্ঞায়িত $B$ উপাদান গঠনের জন্য কনস্ট্রাকটর প্রদানের মাধ্যমে $B$ ।

আসুন আমরা আমাদের পূর্ববর্তী উদাহরণটি সংযোজন-প্রবর্তন হিসাবে সংস্কার করি। প্রথমে আমরা inductively দেওয়া Tpye $A$ :

• $a : A$
• $\ell : \big(\sum_{x : A} B(x)\big) \to A$

পরিবার $B$ টাইপটি নিম্নলিখিত নির্মাতারা দ্বারা সংজ্ঞায়িত করা হয়েছে:

• $\mathsf{Tru} : B(a)$
• $\mathsf{Fal} : B(a)$
• যদি $x : A$ এবং $y : B(x)$ তবে $\mathsf{Zer} : B(\ell(x,y))$
• যদি $x : A$ এবং $y : B(x)$ এবং $z : B(\ell(x,y))$ তবে $\mathsf{Suc}(z) : B(\ell(x,y))$ ।

যেমন আপনি দেখতে পাচ্ছেন, আমরা $B$ এর উপাদানগুলি উত্পন্ন করার জন্য বিধিগুলি দিয়েছিলাম যা $B(a)$ হ'ল (আইসোমপ্রিক থেকে বুলিয়ান) এবং $B(\ell(x,y))$ প্রাকৃতিক সংখ্যাকে (আইসমোর্ফিক) ।

Comments

কেন এমন

— হ'ল

একটি ইন্ডাকটিভ-ইনডাকটিভ টাইপ কি তা শেখানোর জন্য। আমি আপনাকে একটি প্রকৃত উদাহরণ দিতে পারি, যথা একটি ধরণের মহাবিশ্ব, তবে তা বিভ্রান্তিকর হবে।

— আন্দ্রেজ বাউর 21

@ আন্দ্রেজবাউর এটি আমার কাছে আরো বেশি সংযোজন-পুনর্বিবেচনার মতো দেখায়। ইন্ডাকশন-আনয়ন হয় যখন টাইপ পরিবারকে একটি ইন্ডাকটিভ টাইপ হিসাবে সংজ্ঞায়িত করা হয় ।

— গ্যালাইস

উফফ, আপনি একেবারে ঠিক বলেছেন। আমি এটা ঠিক করব.

— আন্দ্রেজ বাউর

$\ell$