সম্ভবত নেতিবাচক ওজনযুক্ত ওজনযুক্ত নির্দেশিত অ্যাসাইক্লিক গ্রাফগুলিতে সর্বনিম্ন স্ট্যাট কাট

আমি নিম্নলিখিত সমস্যার মধ্যে দৌড়ে:

রিয়েল-মূল্যবান প্রান্তের ওজন সহ একটি নির্দেশিত অ্যাসাইক্লিক গ্রাফ এবং দুটি শীর্ষে এবং টি, সর্বনিম্ন স্টাট কাট গণনা করুন।

সাধারণ গ্রাফের জন্য এটি এনপি-হার্ড, যেহেতু কেউ কেবলমাত্র প্রান্তের ওজনগুলি উল্টিয়ে (ত্রুটিযুক্ত আমাকে সংশোধন করে) এর থেকে সর্বোচ্চ-কাটা হ্রাস করতে পারে।

ডিএজিগুলি নিয়ে পরিস্থিতি কী? বহু-কালীন সময়ে মিন-কাট (বা সর্বাধিক কাটা) সমাধান করা যায়? এটি কি এনপি-হার্ড এবং যদি তা হয় তবে কোনও পরিচিত আনুমানিক অ্যালগরিদম রয়েছে?

আমি এটিতে কাজটি সন্ধান করার চেষ্টা করেছি তবে সক্ষম হয়েছি না (সম্ভবত আমি আমার অনুসন্ধানগুলিতে কেবল ভুল কীওয়ার্ড ব্যবহার করছি), তাই আমি আশা করছিলাম যে কেউ এই সম্পর্কে কিছু জানতে পারে (বা খুঁজে পেতে পারে)।

— জর্জ
সূত্র

মিন-কাটের লিনিয়ার-প্রোগ্রামিং সূত্রটি এখানে কোথায় ব্যর্থ হয়?

— পিটার শর

( en.wikedia.org/wiki/… থেকে স্বরলিপি ব্যবহার করে ): নেতিবাচক ওজনযুক্ত প্রান্তগুলির জন্য d_ {ij ar নির্বিচারে বড় হতে পারে। এমনকি যদি উপরে থেকে এক_ d_ {ij bound সীমাবদ্ধ হয়, এটি সর্বদা নেতিবাচক ওজন সহ প্রান্তগুলির সর্বাধিক সম্ভাব্য মান গ্রহণ করবে। সুতরাং এই জাতীয় প্রোগ্রামের সমাধানটি সর্বদা একটি বৈধ স্টাট কাট দেয় না। আমি ভুল হতে পারি যেহেতু আমি এই জাতীয় সমস্যাগুলির সাথে খুব বেশি অভিজ্ঞ নই, যদি দয়া করে আমাকে সংশোধন করেন। মূলত আমি জানতে চাই ম্যাক্স-কাট (স্বেচ্ছাসেবী ওজন সহ) ডিগের জন্য দক্ষতার সাথে সমাধান করা যায় কি না।

— জর্জি

এই কাজটি করতে, আপনাকে প্রথম বৈষম্যকে একটি সমতায় পরিবর্তন করতে হবে:

d_{i j} = p_{j} - p_{i}

$d_{ij} = p_j - p_i$ । তখনও কেন এটি ব্যর্থ হয় তা আমি দেখতে পাই না তবে সম্ভবত আমি কিছু মিস করছি। এ নিয়ে আমি খুব একটা ভাবিনি।

— পিটার শর

সম্ভবত আমিই এখানে কিছু মিস করছি। এই গ্যারান্টি কি যে সব

p_{i}

$p_i$ অবিচ্ছেদ্য মান গ্রহণ? একটি আবদ্ধ হতে পারে

p_{i}

$p_i$ উপরে 1 দিয়ে, তবে আমি নিশ্চিত না যে এটি কাজ করে কি না। সমস্যাটি মনে হচ্ছে যদি এটি সমাধান করা যায় তবে প্রান্তের ওজনগুলি উল্টিয়ে কেউ তার সর্বোচ্চ কাটাকে হ্রাস করতে পারে, যা ম্যাক্স-কাট এনপি-হার্ড হওয়ায় সম্ভব নয়। তবে আমি এখানে ভুল হতে পারে।

— জর্জ

ডিএজিএসের জন্য কি সর্বাধিক কাটা এনপি-হার্ড? যদি গ্রাফটি কোনও ডিএজি না হয়, আপনি সেই বৈষম্যকে একটি সমতায় পরিবর্তন করতে পারবেন না, কারণ চক্র থাকলে আপনার অসমতার প্রয়োজন। সুতরাং সাধারণ ক্ষেত্রে এলপি নেতিবাচক ওজন নিয়ে কাজ করে না।

— পিটার শর

মন্তব্যগুলিতে আপনি নিজের সমস্যাটিকে আরও কিছুটা পরিমার্জন করেছেন। আরও সুনির্দিষ্টভাবে বলতে গেলে, আপনার কাছে একটি ডিএজি রয়েছে যা উত্স থেকে দূরে সমস্ত প্রান্তকে প্রবাহিত করে $s$ এবং ডুবির দিকে $t$ (এটি হ'ল সমস্ত প্রান্তগুলিই একটি পথে চলছে $s$ প্রতি $t$ )। আপনি ডাগের দুটি টুকরোটির মধ্যে সর্বনিম্ন কাটাটি পেতে চান, যেখানে প্রথম টুকরোটি সংযুক্ত রয়েছে $s$ , এবং দ্বিতীয়টি সংযুক্ত $t$ । এই সমস্যার জন্য, MIN-CUT এর জন্য স্ট্যান্ডার্ড লিনিয়ার-প্রোগ্রামিং অ্যালগরিদমের একটি প্রকরণ এমনকি নেতিবাচক প্রান্তের ওজন সহ।

উইকিপিডিয়ায় আমরা একই স্বরলিপি ব্যবহার করি । প্রান্তের ব্যয় $(i,j)$ হয় $c_{ij}$ । আমরা একটি সম্ভাব্য ফাংশন রাখি $p_i$ প্রতিটি নোডে, এবং যাক $d_{ij} = p_i - p_j$ । এলপি হয়

\begin{aligned} m i n i m i z e & \sum_{(i, j) \in E} c_{i j} d_{i j} \\ s u b j e c t t o & d_{i j} = p_{i} - p_{j} \forall (i, j) \in E \\ d_{i j} \geq 0 \forall (i, j) \in E \\ p_{s} = 1 \\ p_{t} = 0 \end{aligned}

$\begin{align*} \mathrm{minimize\ } & \sum_{(i,j) \in E} c_{ij} d_{ij} \\ \mathrm{subject\ to\ } & \ \ \ d_{ij} = p_i - p_j \ \ \forall (i,j) \in E \\ &\ \ \ d_{ij} \geq 0 \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \, \forall (i,j) \in E \\ & \ \ \ p_s\, = 1 \\ & \ \ \ p_t \, = 0 \end{align*}$

এই সমীকরণ যে গ্যারান্টি দেয় $0 \leq p_i \leq 1$ , যেহেতু প্রতিটি ভার্টেক্স কিছু না কিছুতে থাকে $s$ - $t$ পথ। একইভাবে, যেহেতু $d_{ij} = p_i - p_j$ অ-নেতিবাচক, যে কোনও পথে সম্ভাব্য $s$ প্রতি $t$ হ্রাস পাচ্ছে আমাদের এখনও এটি দেখাতে হবে যে সকলের সাথে এলপিতে একটি অনুকূল সমাধান রয়েছে $p_i$ পারেন $0$ অথবা $1$ । এটি উপরের এলপির একটি দ্রবণের মানটি কাটার প্রত্যাশিত মান fact $C_w$ , কোথায় $w$ এলোমেলোভাবে নির্বাচন করা হয় $[0,1]$ , এবং যেখানে কাটা $C_w$ সমস্ত শীর্ষে স্থাপন করে প্রাপ্ত হয় $i$ সঙ্গে $p_i\geq w$ প্রথম শীর্ষে এবং শীর্ষবিন্দুতে $p_i < w$ দ্বিতীয় সেট।

— পিটার শোর
সূত্র

পিটার আপনার দুর্দান্ত উত্তরের জন্য ধন্যবাদ। এটি প্রথম দর্শনেই স্পষ্ট ছিল না

0 \leq p_{i} l e q 1

$0 \leq p_i leq 1$ , তবে আমি মনে করি এটি পেয়েছি। তবে অবিচ্ছেদ্য সমাধান সম্পর্কে যুক্তি বুঝতে আমার কিছুটা সমস্যা হচ্ছে।

— জর্জ

@ জর্জ: এটি একই যুক্তি যা নিয়মিত মিন-কাট এলপিতে অবিচ্ছেদ্য সমাধানগুলি দেখায়। অনলাইনে কোথাও একটি দীর্ঘতর (এবং আরও বোধগম্য) ব্যাখ্যা হওয়া উচিত।

— পিটার শর

ঠিক আছে আমি এটি অনুসন্ধান করব। আপনার সাহায্যের জন্য আবারও অনেক ধন্যবাদ!

— জর্জ