প্রতিটি এনপি-হার্ড সমস্যা গণনাযোগ্য?

19

একটি এনপি-হার্ড সমস্যা অবশ্যই গণনাযোগ্য হওয়া দরকার?

আমি এটা মনে করি না, তবে আমি নিশ্চিত নই।

complexity-theory computability np-hard

15

না, -হাইড সমস্যাটি গণনাযোগ্য হওয়ার দরকার নেই। সংজ্ঞা মোটামুটি সম্পূর্ণ: একটি সমস্যা হয় -hard যদি সমস্যাটি বহু-টাইম সমাধান না থাকার অর্থ প্রতিটি সমস্যা একটি বহু-টাইম সমাধান আছে (যে, এর কমানো প্রতিটি সমস্যার জন্য বিদ্যমান ।)। $NP$ $L$ $NP$ $NP$ $L$ $NP$

অবিসংবাদিত সমস্যাগুলি তখন শূন্যপদে কঠোর: মনে করুন আমরা বহু সময়ের মধ্যে একটি সমাধান করতে পারি। তারপরে আমরা প্রমাণটি ব্যবহার করি যে এটি গণনাযোগ্য এবং আপত্তিজনক উভয়ই নয়, এটি একটি দ্বন্দ্ব ive এই মিথ্যাচার থেকে, আমরা যে কোনও সমস্যা দেখছি এর জন্য একটি বহুপদী সময় অ্যালগরিদম আছে অর্থাত্ কিছু উপায়ে নিতে পারি । $NP$

উদাহরণস্বরূপ, থামার সমস্যা বিবেচনা করুন । আমরা কোনো কমে যায় ভাষা থেকে নিম্নরূপ অভিমানী আমরা polytime পরীক্ষক আছে যা চেক যদি জন্য একটি শংসাপত্রের হয় : $H$ $NP$ $A$ $H$ $f(s,c)$ $c$ $s\in A$

দেওয়া ইনপুট $s$
কনস্ট্রাক্ট (কিন্তু চালানো না) টুরিং মেশিন যা ইনপুট নেয় প্রত্যেক শংসাপত্র চেষ্টা করে যদি এবং স্থগিত এমন একটি শংসাপত্র যাচাই হয় । $M$ $x$ $c$ $c$ $s\in A$
রিটার্ন (যে, সত্য iff আসতে ইনপুট স্থগিত ) $H(M,x)$ $M$ $x$

সুতরাং, হ্যালটিং সমস্যা সমাধানের জন্য পলি-টাইম অ্যালগরিদমের একক কল দিয়ে আমরা বহু সময়কালীন যে কোনও সমস্যা সমাধান করতে পারি । $NP$

এই ধরনের হ্রাস কার্যকর নয়, কারণ এটি কেবলমাত্র "যদি মিথ্যা হয় তবে কিছু" বলে দেয়। আমরা ইতিমধ্যে জানি যে অবিচ্ছেদ্য সমস্যার জন্য কোনও পলটাইম অ্যালগরিদম নেই।

— jmite
সূত্র

7

"সংজ্ঞাটি মোটামুটি সম্পূর্ণ", তবে এটি আপনার উত্তরের সেই উদ্ধৃতিটিকে অনুসরণ করে না।

আমি এই সম্পর্কে একটি প্রশ্ন আছে। আমি এমন কোনও ফাংশনটি কল্পনা করতে পারি যা কিছু যথাযথ প্রতিবন্ধকতার অধীনে সম্ভব প্রোগ্রামগুলির বৃহত্তম সেটগুলির জন্য থামানো সমস্যার সমাধান করে তবে আমি কল্পনা করতে পারি যে এই ফাংশনটি এখনও গণনাযোগ্য নয় (এই অর্থে যে আমরা এটি কখনও অসীম পরিমাণেও দেবে না) । তবুও যদি আমরা একরকম হয়নি এটি সমাধান আছে, এটা এমনকি আমার কাছে পরিষ্কার না এটা সব দ্বারা NP-হার্ড সমস্যার অগত্যা সমাধান করা উচিত নয়। সুতরাং হয় এই উত্তরের যুক্তি অনুসরণ করে না (অর্থ অনস্বীকার্য! = অবিচ্ছেদ্য), বা আমার যুক্তি ত্রুটিযুক্ত (সম্ভবত)। তাহলে ত্রুটি কী?

— মেহরদাদ

12

এই উত্তরটির বেশিরভাগটিই আপনার ভুল এনপি সংজ্ঞা সহ ভুল: সমস্যা এ এনপি হ'ল যদি "প্রতিটি এনপি সমস্যার জন্য বি, এ বি থেকে পলি-টাইম হ্রাস থাকে"। এটি "যদি এ পলিটাইম হয় তবে পি = এনপি" হিসাবে একই জিনিস নয় । (দ্বিতীয়টি পূর্বের ফলাফল, তবে তদ্বিপরীত নয় In) বিশেষত, প্রায় নিশ্চিতভাবেই অ-গণনাযোগ্য সমস্যা রয়েছে যা এনপি শক্ত হয়েও ব্যর্থ হয়। আমি বিশদটি নিয়ে কাজ করি নি, তবে পর্যাপ্ত জেনেরিক সেট (জোরপূর্বক অর্থে) সদস্যতার সমস্যাটি হওয়া উচিত। আপনার হ্রাস দ্বারা, বিশেষত, থামানো সেটটি এনপি-হার্ড।

7

ভালো B থেকে A থেকে বহু সময় হ্রাস বিষয়ে চিন্তা করুন: এটি একটি প্রোগ্রাম যা বহুপদী সময় রান, কিন্তু এটা ক্যোয়ারী বিশেষ ক্ষমতা, একটি একক পদক্ষেপ, একটি ওরাকল আছে সমস্যা বি উত্তর দৃষ্টান্ত হল তথাপি কিনা বি এর জন্য একটি পলি-টাইম অ্যালগরিদম রয়েছে, বা বি গণনযোগ্য কিনা তা এখনও নীচের প্রশ্নটি জিজ্ঞাসা করা বোধগম্য: ধরে নিলাম যে ওরাকল এটির জিজ্ঞাসিত প্রশ্নের সঠিক উত্তর দিয়েছে (একক পদক্ষেপে), প্রোগ্রামটি কি প্রশ্নে রয়েছে? বহুপদী সময় চালানো এবং সমস্যার দৃষ্টান্ত সঠিকভাবে সমাধান?

2

@ মাইকহ্যাসেল আপনার ওরাকল উপমাটি কেবলমাত্র সঠিক যদি, ওরাকলটি জিজ্ঞাসা করার পরে, প্রোগ্রামটি অবশ্যই ওরাকলের মতো একই উত্তর দিয়ে থামতে হবে। অন্যথায়, সহ-স্যাট স্যাটকে হ্রাস করে: ওরাকলটি জিজ্ঞাসা করে এবং উপেক্ষা করে। কিছু হ্রাস ধারণার মধ্যে যেমন- ট্যুরিং হ্রাস, এটি গ্রহণযোগ্য হবে তবে মানক বহু-সময় হ্রাস, এমনকি বহু-এক হ্রাসেও তা নয়।

— চি

16

এই সম্প্রদায়টিতে এই প্রশ্নটি সম্পর্কে কিছুটা বিভ্রান্তি রয়েছে বলে মনে হয়। জল পরিষ্কার করার এবং গণ্যতা এবং এনপি-কঠোরতার মধ্যে সম্পর্ক আলোকিত করার প্রত্যাশায় আমি একটি বিস্তারিত উত্তর দেব

প্রথমত, আমি বিশ্বাস করি যে জড়িত বিভিন্ন সংজ্ঞা সম্পর্কে স্পষ্ট এবং স্পষ্ট হওয়া অনেক বিভ্রান্তির সমাধান করবে।

একটি স্ট্রিং কিছু নির্দিষ্ট সীমাবদ্ধ বর্ণমালা থেকে অক্ষরের একটি সীমাবদ্ধ ক্রম হয়।

একটি সিদ্ধান্ত সমস্যা স্ট্রিং একটি সেট। (এই সেটটি সাধারণত অসীম)) কিছু সমস্যার জন্য স্ট্রিং টেস্ট হিসাবে সিদ্ধান্ত সমস্যার কথা ভাবেন: সম্পত্তি সহ স্ট্রিংগুলি সেটে রয়েছে এবং সম্পত্তি ব্যতীত স্ট্রিংগুলি নেই।

ধরে নিন আমাদের দুটি সিদ্ধান্তগত সমস্যা রয়েছে, এবং । বলুন হয় বহুপদী টাইম রূপান্তরযোগ্য করার যদি কিছু বহুপদী হয় এবং আলগোরিদিম কিছু অ্যালগরিদম যে এই ধরনের, সমস্ত স্ট্রিং জন্য , $A$ $B$ $A$ $B$ $p(x)$ $M$ $s$

আপনি প্রদান তাহলে ইনপুট দিয়ে , কম মধ্যে স্থগিত পদক্ষেপ (যেখানে স্ট্রিং এর দৈর্ঘ্য হল ) এবং একটি স্ট্রিং আউটপুট । $M$ $s$ $M$ $p(|s|)$ $|s|$ $s$ $M(s)$

হয় যদি এবং কেবল যদি রয়েছে । $s$ $A$ $M(s)$ $B$

একটি সিদ্ধান্ত সমস্যা হ'ল এনপি-হার্ড, যদি প্রতিটি এনপি সিদ্ধান্তের সমস্যার জন্য , বহুপাক্ষিক-সময় হ্রাসযোগ্য । $B$ $A$ $A$ $B$

সিদ্ধান্ত সমস্যা গণনীয় যদি একটি আলগোরিদিম হয় , যে জন্য সব স্ট্রিং, , $M$ $s$

আপনি প্রদান তাহলে ইনপুট দিয়ে , স্থগিত এবং আউটপুট পারেন "হ্যাঁ" অথবা "না"। $M$ $s$ $M$

এ এবং অন্যথায় "না" হলে আউটপুট "হ্যাঁ" । $s$ $A$

উপরোক্ত সংজ্ঞা সহ, আমরা অবিলম্বে আপনার প্রশ্নের মূল বিভ্রান্তি হতে পারে বলে আমি স্পষ্ট করে বলতে পারি: সিদ্ধান্ত সমস্যা, হ্রাস, বা এনপি-কঠোরতার সংজ্ঞাগুলির মধ্যে কিছুই সিদ্ধান্ত গ্রহণযোগ্য সমস্যাগুলির প্রয়োজন হয় না। সংজ্ঞাগুলি স্ট্রিংগুলির স্বেচ্ছাসেবী সেট হিসাবে সিদ্ধান্তগুলির সমস্যার সঠিক ধারণা দেয় এবং এই সেটগুলি সত্যই খুব খারাপ লাগতে পারে।

যা টেবিলে দুটি প্রশ্ন ফেলে:

সংজ্ঞাগুলি অ-কম্পিউটেবল ফাংশনগুলি এনপি-হার্ড হতে পারে এমন সম্ভাবনাটি ছেড়ে দেয়। সেখানে আছেন আসলে অ গণনীয় দ্বারা NP-হার্ড ফাংশন?
একটি স্বজ্ঞাততা আছে যে কোনও সমস্যা বলা এনপি-হার্ড বলছে যে এটি সমাধান করা কঠিন। এটি অ-গণনীয় এটি বলার মতো এটি সমাধান করা "সত্যই কঠিন" বলার মতো। সুতরাং, সমস্ত অ-গণনীয় সমস্যাগুলি এনপি-হার্ড?

প্রশ্ন 1 উত্তর দেওয়া সহজ। অ-গণনীয় সিদ্ধান্ত সমস্যাগুলি খুঁজে পাওয়ার জন্য দুটি বিশেষভাবে গুরুত্বপূর্ণ উপায় রয়েছে যা এনপি-হার্ড। প্রথমটি হোল্টিং সমস্যা: হোল্টিং সমস্যা, , এর এমন সম্পত্তি রয়েছে যা প্রতিটি গণনীয় সিদ্ধান্তগত সমস্যাটি বহুবারের সময়ে -তে হ্রাসযোগ্য । যেহেতু দ্বারা NP সমস্যার গণনীয় হয়, প্রত্যেক দ্বারা NP সমস্যার বহুপদী টাইম রূপান্তরযোগ্য হয় , তাই এন পি-কঠিন। $H$ $H$ $H$ $H$

একটি অ-গণনীয়, এনপি-হার্ড সমস্যা তৈরির অন্য গুরুত্বপূর্ণ উপায়টি পর্যবেক্ষণ করা হয় যে আমরা যে কোনও পরিচিত এনপি-হার্ড সমস্যাটি কোনও জ্ঞাত অ-গণনীয় সমস্যার সাথে একত্রিত করতে পারি। যাক দ্বারা NP-হার্ড হতে হবে এবং অ গণনীয় হও। সিদ্ধান্ত সমস্যা ফরম নিম্নরূপ: ফর্মের যারা স্ট্রিং "0, একটি স্ট্রিং দ্বারা অনুসরণ রয়েছে " এবং ফর্মের যারা "1, একটি স্ট্রিং দ্বারা অনুসরণ "। কারণ আমরা (যে কোন সমস্যার) কোন হ্রাস চালু করতে পারেন দ্বারা NP-কঠিন করার জন্য একটি হ্রাস মধ্যে $A$ $B$ $A \oplus B$ $A \oplus B$ $A$ $B$ $A \oplus B$ $A$ $A \oplus B$ : এর আউটপুট স্ট্রিংয়ের সামনের দিকে অতিরিক্ত "0" আউটপুট দেওয়ার জন্য কেবল অ্যালগরিদমটিকে সাম্প্রতিক করুন। অ-গণনীয়, যেহেতু "1" দিয়ে শুরু হওয়া কোন স্ট্রিং রয়েছে তা নির্ধারণ করা প্রয়োজন; এটি অসম্ভব, যেহেতু অ-গণনাযোগ্য। $A \oplus B$ $A \oplus B$ $B$

প্রশ্ন 2 যথেষ্ট জটিল, তবে বাস্তবে এমন অ-গণনীয় সিদ্ধান্ত সমস্যা রয়েছে যা এনপি-হার্ড নয় (ধরে পি এনপি)। ইউভালের সূক্ষ্ম উত্তরটি সুস্পষ্টভাবে সিদ্ধান্ত গ্রহণের সিদ্ধান্ত নেয়। (ঘরের কোনও গণনীয় তাত্ত্বিকদের জন্য, যে কোনও "কোহেন জেনারিক" কৌশলটিও করবে) I'll "এনপি-হার্ড সমস্যাগুলি কঠোর, অ-গণনীয় সমস্যাগুলি আরও কঠিন" " ভূল. $\neq$ $\Pi^0_1$

এনপি-কঠোরতা এবং অ-গণনযোগ্যতা উভয়ই বলে যে একটি সমস্যা খুব সাধারণ অর্থে "কঠিন", তবে সেগুলি খুব আলাদা এবং একই ধরণের ঘটনা হিসাবে একসাথে একসাথে কাটা উচিত নয়। বিশেষ করে, দ্বারা NP-কঠোরতা একটি "পজিটিভ" সম্পত্তি হল: একটি দ্বারা NP-কঠিন সমস্যা অর্থে কঠিন হয়, একটি ঠকাই শীট অ্যাক্সেস দেওয়া , আপনি করতে পারেন সমস্যার একটি হার্ড বর্গ সমাধান $A$ $A$ । : অন্যদিকে, অ computability একটি "নেগেটিভ" সম্পত্তি একটি অ-গণনীয় সমস্যা অর্থে যে আপনি হার্ড করতে পারবে না সমাধান সম্পদের একটি প্রদত্ত বর্গ সঙ্গে $A$ $A$ ।

("ফোর্সিং," উপায় দ্বারা, আমি যে উল্লেখ করেছি "কোহেন জেনেরিক" উত্পাদন করার জন্য ব্যবহৃত কৌশলটি very খুব অস্পষ্ট হতে হবে, জোর করে রাখা এমন একটি সাধারণ উপায় যা "জেনেরিক" জিনিস রয়েছে যা তাদের রয়েছে কোনও ধনাত্মক বৈশিষ্ট্য এবং প্রতিটি নেতিবাচক সম্পত্তি নেই That's এজন্য বাধ্য করা সরাসরি এমন সমস্যা তৈরি করতে পারে যা না হয় গণ্যযোগ্য বা এনপি-হার্ড)) $\Pi^0_1$

— সম্প্রদায়
সূত্র

2

আপনি কি অনস্বীকার্য ভাষা তৈরি করতে পারবেন না যা তির্যককরণের দ্বারা এনপি-হার্ড নয়? সমস্ত নির্ধারক এবং স্যাট থেকে সমস্ত পলটাইম হ্রাস বিরুদ্ধে ডায়াগোনালাইজ করুন।

— যুবাল ফিল্মাস

1

@ ইউভালফিল্মাস সম্ভবত এটি কার্যকর হয়। আমি মনে করি যে স্যাট থেকে পলটাইম হ্রাসের বিপরীতে কেন তির্যক সম্ভাব্য পরিমাণ রয়েছে তার বিশদটি লেখার স্বাদে অনুরূপ যে জোর করে কাজ করে, তবে, আমি এই পদগুলিতে এটি সম্পর্কে ভাবি নি think

1

@ ইউভালফিল্মাস আমিও এখনই স্পষ্টতা যোগ করেছি যে আপনাকে পি

এনপি ধরে নিতে হবে: আমার প্রমাণে অবশ্যই একটি পদক্ষেপ ছিল যা "এনপিতে কিছু সমস্যা নিয়েছিল কিন্তু পি তে নয়।"

\neq

$\neq$

1

@ এয়েলগুইন্ডি আমি নিশ্চিত নই যে এটির সর্বাধিক অ্যাক্সেসযোগ্য পদ্ধতিটি কী। আমি জোর করে বলার কৌশলটি উল্লেখ করেছি , যা খুব সাধারণ এবং শক্তিশালী। আমি এটি পাঠ্যপুস্তক নয়, লোকদের কাছ থেকে শিখেছি, তাই জোর করার বিষয়ে আমি ব্যক্তিগতভাবে জানি না। ইউভাল যেমন উল্লেখ করেছেন, তবে জোর করে সম্ভবত ওভারকিল করা হয়েছে: তির্যক জড়িত আরও কিছু প্রত্যক্ষ যুক্তি সম্ভবত কাজ করে works সোয়ারের "রিকার্সিউলি এনিউমারেবল সেটস এবং ডিগ্রি" একটি পাঠ্যপুস্তিকা যা আপনি যদি এর সাথে পরিচিত হতে চান তবে সেই আর্গুমেন্টের অনেকগুলি শৈল coversেকে দেয়। আবার এর বেশিরভাগটি সম্ভবত অতিমাত্রার চেয়ে বেশি ill ...

1

@ এয়েলগুইন্ডি এছাড়াও, যদি আপনি সিদ্ধান্ত সম্পর্কিত সমস্যার সমাধানটিকে টপোলজিকাল স্থান হিসাবে বিবেচনা করেন তবে আপনি সম্ভবত একটি প্রমাণ তৈরি করতে বায়ার বিভাগের উপপাদ্যকে ম্যাসেজ করতে পারেন । এই উপপাদ্যটি জোর করে জোরের সাথে সম্পর্কিত, তবে এটি পুরানো এবং আরও সোজা।

11

নাঃ। এনপি-হার্ড এর অর্থ এটি শক্ত এনপি-সমস্যার চেয়ে শক্ত, বা শক্ত। স্বজ্ঞাতভাবে, আপত্তিজনক হওয়া এটিকে এনপির চেয়ে অনেক বেশি কঠিন করে তুলবে।

উইকিপিডিয়া:

এমন সিদ্ধান্তের সমস্যাগুলি রয়েছে যা এনপি-হার্ড তবে এনপি-সম্পূর্ণ নয়, উদাহরণস্বরূপ থামানো সমস্যা।

সকলেই জানেন যে এটি গণনাযোগ্য নয়

— ধ্বংসাত্মক লেবু
সূত্র

4

মনে রাখবেন, কিছু অ-গণনীয় সমস্যা (যেমন থামানো সমস্যা) এনপি-হার্ড, এর অর্থ এই নয় যে সমস্ত অ-গণনীয় সমস্যা এনপি-হার্ড। জাইমেটের উত্তর সম্পর্কে আমার মন্তব্য দেখুন। এনপি-কঠোরতা একটি ইতিবাচক সম্পত্তি: এটি বলে যে আপনার সমস্যার উত্তর এনপি সমস্যা সমাধানে সহায়তা করতে পারে। এনপি-হার্ড হওয়ার ফলে বোঝা যায় যে সমস্যাটি কিছুটা কঠিন। সমস্ত কঠিন সমস্যা এনপি-হার্ড হয় না।

@ মাইকহ্যাসেল: থামানো সমস্যার সমাধানের বিষয়টি হ'ল পি সমস্যা রোধের সমস্ত সমস্যা হ্রাস করে ..

— জোশুয়া

1

@ জোশুয়া: এটি কোনও তাত্পর্যপূর্ণ নয়। এটি অ-প্রমাণের খণ্ডের মতো। এমনকি কোনও সমস্যার সমাধানে সীমাবদ্ধ সংখ্যক বিট থাকার কী কী আপনি বোঝাতে চেয়েছেন এবং কেন আপনি মনে করেন এটি সমস্ত আপত্তিজনক সমস্যার ক্ষেত্রে প্রযোজ্য? "পি * হল্টস" বলতে কী বোঝ? "নবম বিটের মাধ্যমে হ্রাস করুন ..." এর বাকি কী?

— ব্যবহারকারী 2357112 মনিকা

1

@ জোশুয়া: মূল সমস্যাটি দেখে মনে হচ্ছে আপনি মনে করছেন যে প্রতিটি সমস্যা একটি টিউরিং মেশিনের সাথে মিলে যায়। প্রতিটি সমস্যা একটি টুরিং মেশিনের সাথে মিলে যায় না। problem()আমরা কল করতে পারি এমন কোনও ফাংশন নেই ।

— ব্যবহারকারী 2357112 মনিকা

1

আপনার সম্ভবত এটি চ্যাট বা অন্য কিছুতে স্থানান্তরিত হওয়া উচিত

— ধ্বংসাত্মক লেবু

9

সম্পূর্ণতার জন্য, আসুন আমরা নিম্নলিখিত উপপাদ্যটি প্রমাণ করি:

$\neq$

$\emptyset,\{0,1\}^*$

$\neq$ $T_i$ $L$ $\{0,1,?\}$ $\{0,1\}^*$ $L$ $0$ $L$ $1$ $L$ $?$ $?$

$2i$ $T_i$ $T_i$ $T_i$ $x$ $L(x) = ?$ $L(x) := 0$ $T_i(x)$ $L(x) := 1$ $T_i(x)$

$2i+1$ $T_i$ $T_i$ $T_i$ $x$ $L(T_i(x)) = ?$ $x \in \mathrm{SAT}$ $x$ $L(x) := 0$ $L(x) := 1$

$\{0,1,?\}$ $\{0,1\}^*$

$L$ $2i$ $T_i$ $T_i$ $L$ $T_i$ $T_i$ $L$ $T_i$ $\neq$ $T_i$ $2i+1$ $L$

— ইউভাল ফিল্ম
সূত্র

3

$L$ $L' \in \mathrm{NP}$ $L'$ $L$

A_{N T M} = {⟨ M, w ⟩ ∣ M is a nondeterministic Turing machine that accepts w}

$A_{\mathsf{NTM}} = \{ \langle M,w \rangle \mid M \text{ is a nondeterministic Turing machine that accepts } w \}$

$L' \in \mathrm{NP}$ $L'$ $M'$ $f$ $L'$ $A_{\mathsf{NTM}}$

f (x) = ⟨ M, x ⟩

$f(x) = \langle M,x \rangle$

— হান্স হেটেল
সূত্র

3

আমি মনে করি যে কারণে লোকেদের কোনও আপত্তিজনক এনপি-হার্ড সমস্যা নেই তা ভাবার কারণ এটি হ'ল এনপি-কঠোরতা কোনও সমস্যার দৃ hard়তার উপর একটি নিম্ন আবদ্ধ, পি বা এনপির মতো তাদের কঠোরতার উপরের আবদ্ধ নয়।

একটি ভাষা এল এনপি-হার্ড হওয়ার অর্থ এটি এনপি-র ভাষার উপরে। এখন আপনি যদি এটি বুঝতে পারেন তবে এটি নির্ধারণ করা দরকার যে স্বেচ্ছাসেবী আরও কঠিন সমস্যা রয়েছে।

$A$ $A$ $\mathsf{C}^A$ $\mathsf{C}^A$ $Halt_{\mathsf{C}^A}$ $\mathsf{C}^A$

$A$ $A'$ $A < A'$ $A<A'<A''<A'''<...$

— Kaveh
সূত্র