সংলগ্ন ম্যাট্রিক্সের বহুপদী নিরীক্ষণ করে গ্রাফ আইসোমর্ফিজমের একটি নিখুঁত পদ্ধতির বিষয়ে সাহিত্য

Question

আমি গ্রাফ isomorphism একটি পদ্ধতির বর্ণনা যা সম্ভবত মিথ্যা ইতিবাচক আছে, এবং আমি আগ্রহী যে সেখানে সাহিত্য আছে যা ইঙ্গিত করে যে এটি কাজ করে না।

দুই অন্তিক ম্যাট্রিক্স দেওয়া , isomorphism চেক একজন বোঝা যাচ্ছে যে নেতারা সাদাসিধা পদ্ধতি প্রতিটি সারির জন্য কিনা চেক করা হল এর , একটি সারি এর যা সারির একটি বিন্যাস হল , দ্বারা প্রকাশ । সামান্য আরও কঠোর প্রশ্নটি হল, কোনও "স্থানীয় আইসোমরফিজম" যার জন্য সমস্ত সারিগুলির জন্য । একটি স্থানীয় আইসোমরফিজম উত্পাদন বহুবারের সময়ে একটি দিয়ে একটি ম্যাট্রিক্স করে বহুপাক্ষিক সময়ে করা যেতে পারে ; তারপরে এবং$G, H$$u$$G$$v$$G$$u$$G[u] \sim H[v]$$\pi$$G[u] \sim H[\pi(u)]$$n\times n$$A$$A[u,v] = (G[u]\sim H[v])$$G$$H$স্থানীয়ভাবে isomorphic iff এর একটি চক্র কভার থাকে এবং প্রতিটি চক্র কভার একটি স্থানীয় আইসোমরফিজম হয়।$A$

সমস্ত নিয়মিত গ্রাফগুলি এই পদ্ধতিটিকে বোকা বানিয়ে ফেলেছে, স্পষ্টতই, তাই সামান্য কম নিখুঁত দৃষ্টিভঙ্গি হ'ল ম্যাট্রিকগুলির ক্ষমতা গণনা করা এবং স্থানীয় আইসোমরফিজমের জন্য তাদের পরীক্ষা করা, সত্যকে কাজে লাগানো যে আপনি সেট করে একাধিক ম্যাট্রিক পেয়েছেন যখন আপনি এমন কোনও পাওয়ার খুঁজে পান যখন , এবং কেবল শেষে সাইকেল কভারের জন্য পরীক্ষা করে। একটি এমনকি কম সাদাসিধা পদ্ধতির polynomials একটি সেট, প্রকৃতপক্ষে গাণিতিক সার্কিট একটি সেট, এবং সেটিং খুঁজে পেতে [U, V] = 0 একটি যখন আমরা এটি কোনো বহুপদী পি সঙ্গে P (জি) [তোমার দর্শন লগ করা] \ না \ সিম P ( জ) [v] ।$G^2, H^2, G^3, H^3,\ldots$$A[u,v] = 0$$G^k[u]\not\sim H^k[v]$$A[u,v]=0$$p$$p(G)[u]\not\sim p(H)[v]$

এটি গ্রাফ আইসোমর্ফিজমের কাছে অবিশ্বাস্যরূপে নিখুঁত পদ্ধতির মতো বলে মনে হচ্ছে, সুতরাং আমি নিশ্চিত যে কেউ ইতিমধ্যে এটি তদন্ত করেছে এবং একটি উপপাদ্য যেমন প্রমাণ করেছেন

থিম অসীমভাবে অনেক $n$ এর জন্য অবিস্মরণীয় $n\times n$ ম্যাট্রিকেস $G, H$ এবং একটি অনুগমন $\pi$ যেমন প্রতিটি বহুবচনীয় $p$ , $p(G)$ এবং $p(H)$ এর জন্য স্থানীয়ভাবে বিভাজন থাকে: $p(G)\overset{\pi}{\sim}p(H)$ ।

প্রশ্ন: এরকম কোনও উপপাদ্য রয়েছে কি? আমি সাহিত্যে দেখেছি এবং এটি খুঁজে পাচ্ছি না।

যদি একটি ডিগ্রী উপর আবদ্ধ হয় যে বহুপদী হয় যেমন যে প্রতি দুই nonisomorphic ম্যাট্রিক্স, স্থানীয় isomorphism কম্পিউটিং দ্বারা খণ্ডন করা হয় , বা যদি , , , যার প্রতিটি -দৈর্ঘ্য দৈর্ঘ্য কিন্তু সম্ভবত তাত্পর্যীয় ডিগ্রি সহ একটি সহজেই গণনাযোগ্য পরিবার থাকে তবে গ্রাফ আইসোমরফিজমের জন্য আমাদের কাছে একটি পি অ্যালগরিদম রয়েছে। যদি এই জাতীয় বহুভুজ (বা পাটিগণিত সার্কিট) অনুমান করা সহজ হয় তবে আমাদের কাছে একটি কোআরপি অ্যালগরিদম রয়েছে। অ স্থানীয় স্থানীয় আইসমোরিজম প্রত্যক্ষ করার জন্য যদি সর্বদা একটি (পরিবারের) গাণিতিক সার্কিট উপস্থিত থাকে তবে এটি একটি কোএনপি অ্যালগরিদম দেয় ।$k$$n$$G^1, H^1, \ldots, G^{poly(n)}, H^{poly(n)}$$p_1, \ldots ,p_k$

মনে রাখবেন যে আমরা উচ্চ-পাওয়ার ম্যাট্রিকগুলির এন্ট্রিগুলি ছোট ক্ষেত্রগুলির উপরে বহুভুজনগুলি গণনা করে খুব বড় হয়ে ওঠা সমস্যাটি এড়াতে পারি, যেমন তাদের ছোট ছোট প্রাইমগুলিকে গণনা করে। কোনও সিএনপি অ্যালগরিদমে প্রবাদটি এই প্রাইমগুলি সরবরাহ করতে পারে।

Answer 1

হ্যাঁ, এরকম একটি উপপাদ্য কমবেশি রয়েছে। এটি মূলত বলেছে যে কে-মাত্রিক ওয়েজফিলার-লেহম্যান পদ্ধতিটি গ্রাফ আইসোমরফিজম টেস্টিংয়ের সমস্ত পরিচিত সংহত পদ্ধতির পরিপূরক হয় (অর্থাৎ আধিপত্য বিস্তার করে)। (আপনার কংক্রিট প্রস্তাবটি দ্বি-মাত্রিক ওয়েজফিলার-লেহম্যান পদ্ধতি অনুসারে গ্রহণ করা উচিত, যদি আমার ভুল না হয়)) প্রতিটি স্থির কে এর জন্য কে-ডাইমেনশনাল ওয়েজফিলার-লেহম্যান পদ্ধতির কাউন্টারিক্স উদাহরণ রয়েছে যা কে-ফুরার নামে পরিচিত known -আমি্মারম্যান নির্মাণ।

আমি প্রথম ওয়েজফেলার-লেহম্যান পদ্ধতি এবং কাই-ফেরার-ইম্মারম্যান নির্মাণের বুনিয়াদি শিখেছি

http://users.cecs.anu.edu.au/~pascal/docs/thesis_pascal_schweitzer.pdf

ওয়েস্টফিলার-লেহম্যান পদ্ধতি সম্পর্কে এখানে বর্ণিত চেয়ে আরও অনেক কিছু জানার আছে, তবে কমপক্ষে কাই-ফেরার-ইম্মারম্যান নির্মাণের চিকিত্সাটি আপনার উদ্দেশ্যে সম্পূর্ণ এবং পর্যাপ্ত। বিক্রমণ অরবিন্দ রচিত " দ্য ওয়েজফেলার-লেহম্যান পদ্ধতি " সাম্প্রতিক একটি সংক্ষিপ্ত রচনা যা মূলত এই বিষয়টির আমন্ত্রণ হিসাবে বোঝানো হয়েছে।

সম্ভবত আমার উত্তরটি সরিয়ে নেওয়ার জন্য গুরুত্বপূর্ণ বিষয়টি হ'ল যদি আপনি একটি বিশুদ্ধ সংশ্লেষীয় আইসোমরফিজম পরীক্ষার পদ্ধতিটি খুঁজে পান (যেমন আপনার প্রশ্নে বর্ণিত একটি), যা কে-ডাইমেনশনাল ওয়েজফিলার-লেহম্যান পদ্ধতি দ্বারা উপস্থাপিত হয় না (অর্থাত্ প্রভাবশালী), তাহলে পদ্ধতিটি আসলে কার্যকর হবে কিনা তার থেকে আলাদা হয়ে নিজেই এটি একটি যুগান্তকারী হবে।