গাণিতিক অনুমানগুলি একটি ট্যুরিং মেশিনের থামার সমতুল্য

Question

এই প্রশ্নটি একটি গাণিতিক উপপাদ্যকে একক টুরিং মেশিনটি বন্ধ করে দেয় কিনা সে প্রশ্নে হ্রাস করা যায় কিনা তা নিয়ে। বিশেষত, আমি অনুমানগুলিতে আগ্রহী যেগুলি বর্তমানে অপ্রমাণিত।

উদাহরণস্বরূপ: উইকিপিডিয়া বলে যে কোনও বিজোড় নিখুঁত সংখ্যা আছে কিনা তা বর্তমানে অজানা। যেহেতু এটি প্রদত্ত সংখ্যাটি নিখুঁত কিনা তা সিদ্ধান্ত নেওয়া যায়, তাই এমন একটি টিউরিং মেশিন লিখতে পারে যা প্রতিটি বিজোড় নম্বরটি ঘুরে দেখায় এবং যদি এটি নির্ভুল খুঁজে পায় তবে এটি থামিয়ে দেয়। (এই ট্যুরিং মেশিনটি কোনও ইনপুট নেয় না)) যদি আমরা জানতাম যে ট্যুরিং মেশিনটি বন্ধ রয়েছে, তবে অনুমানটি সত্য কিনা এবং আমরা তার বিপরীতেও জানি।

তবে, অন্য উদাহরণ হিসাবে, যমজ প্রাইম অনুমান সম্পর্কে কী ? এটি একটি সিদ্ধান্ত নেওয়া যায় যে প্রদত্ত সংখ্যাটি যমজ জোড়ায় প্রথম প্রাইম কিনা, তবে এই ক্ষেত্রে আমরা প্রথমটি খুঁজে পেলেই কেবল থামতে পারি না, কারণ প্রশ্ন রয়েছে যে অসীম সংখ্যা রয়েছে কিনা তা নিয়ে। আমার কাছে এটি স্পষ্ট নয় যে কোনও টুরিং মেশিন তৈরি করা সম্ভব কিনা যা যদি বন্ধ হয়ে যায় এবং কেবল যদি দুটি প্রাইম অনুমান সত্য হয়।

আমরা অবশ্যই একটি ট্যুরিং মেশিন তৈরি করতে পারি যা থেমে গেলে কেবল এবং কেবল যদি পেয়ো পাটিগণিত বা অন্য কোনও আনুষ্ঠানিক সিস্টেমের মধ্যে দু'টি প্রাইম অনুমানযোগ্য প্রমাণযোগ্য হয় তবে এটি একটি ভিন্ন প্রশ্ন, যেহেতু এটি সম্ভবত সত্য তবে আমাদের বেছে নেওয়া নির্দিষ্ট সিস্টেমে প্রযোজ্য নয়।

আমার প্রশ্ন তাই হয়

• দ্বৈত প্রাইমস অনুমানটি সত্য হলে এবং কেবল যদি থামানো যায় এমন কোনও টুরিং মেশিন তৈরি করা সম্ভব? (এবং যদি তা হয় তবে কিভাবে?)
• সাধারণভাবে, কোনও ট্যুরিং মেশিন তৈরি করা সম্ভব যা যদি কিছু দেওয়া গাণিতিক বিবৃতিটি সত্য হয় তবেই বন্ধ হয়ে যায়? এই টুরিং মেশিনটি কি আনুষ্ঠানিক বিবৃতি থেকে অ্যালগরিদমভাবে নির্মিত যেতে পারে?
• যদি এটি সাধারণভাবে সম্ভব না হয় তবে গাণিতিক বিবৃতিগুলি একক টুরিং মেশিনকে থামিয়ে দেওয়ার, বা ওরাকল দিয়ে ট্যুরিং মেশিন ইত্যাদির সমতুল্য কিনা সেগুলির মধ্যে শ্রেণিবদ্ধ করার কোনও উপায় আছে ? যদি তা হয় তবে এই শ্রেণিবিন্যাস কোনও প্রদত্ত বিবৃতিতে সিদ্ধান্তগ্রহণযোগ্য?

Comments

"সত্য" এর অর্থ কী? এই সত্যের তুলনায় আমরা কোন ধরণের মডেলকে মূল্যায়ন করছি? আমার মনে হয় আপনাকে প্রথমে এটি সংজ্ঞায়িত করতে হবে।

— জেক

আমি মনে করি যে এই জাতীয় সমস্ত ট্যুরিং মেশিন কেবল পরীক্ষামূলকতার পরীক্ষা করতে পারে। আপনি যদি PE- তে সত্য বিবৃতিতে স্পষ্টভাবে পুনরাবৃত্তি না করে থাকেন, আপনি এখনও অন্য কোনও ফর্মের প্রমাণ খুঁজছেন। পার্থক্যটি হল যে বিজোড় নিখুঁত সংখ্যার অস্তিত্ব স্পষ্টতই সত্য এবং অপ্রতিরোধ্য উভয় হতে পারে না, যখন দুটি প্রাইমস হতে পারে।

— কারোলিস জুডেল ė

ট্যুরিং মেশিন ব্যবহার করে অগণনযোগ্য সেট সম্পর্কে কোনও অনুমান প্রকাশ করা যায় না।

— রাফেল

Answer 1

আপনার প্রশ্নের উত্তর পাটিগণিত শ্রেণিবিন্যাস দ্বারা দেওয়া হয় । একটি বিজোড় নিখুঁত সংখ্যার অস্তিত্ব হ'ল বিবৃতি, এবং সুতরাং আপনি এটি একটি মেশিন ব্যবহার করে পরীক্ষা করতে পারেন , যদি বিবৃতিটি সত্য হয় তবে এটি বন্ধ হয়ে যায়। দ্বিগুণ প্রাথমিক অনুমান একটি বিবৃতি, এবং সুতরাং আপনি অ্যাক্সেসের সাথে একটি টিএম তৈরি করতে পারেন যা যদি বিবৃতিটি মিথ্যা থাকে তবে থামিয়ে দেয়।$\Sigma_1$$\Sigma_1$$\Pi_2$

কঠোর যৌক্তিক অর্থে, আপনি সর্বদা একটি টিউরিং মেশিন তৈরি করতে পারেন যা iff বিবৃতি হোল্ড করে:$\phi$

1. যদি ধরে থাকে তবে একটি মেশিন নিন যা বন্ধ হয়ে যায়।$\phi$
2. তাহলে না হোল্ড করে, তারপর একটি মেশিন যা স্থগিত না নিতে।$\phi$

এই নির্মাণটি বৈধ কিনা তা দেখতে, আপনার বক্তব্যের যৌক্তিক রূপটি বিবেচনা করুন:

$$\forall \phi \exists T . \phi \Leftrightarrow T\text{ halts}.$$ আপনি কিছুটা আলাদা প্রশ্ন জিজ্ঞাসা করে এই বিভ্রান্তি দূর করতে পারেন:

বিবৃতিগুলির একটি সেট কী যেমন এমন একটি ট্যুরিং মেশিন রয়েছে যা hi ইফফ স্থগিত করে বৈধ?$\Phi$$\phi \in \Phi$$\phi$

উপরে আমি ইঙ্গিত করেছি যে বিবৃতি এমন সেট তৈরি করে।$\Sigma_1$

Comments

আপনাকে ধন্যবাদ, আমি মনে করি পাটিগণিত শ্রেণিবিন্যাস ঠিক আমি যা চেয়েছিলাম তা হ'ল। আমার মনে হয় আমি যা জিজ্ঞাসা করতে চেয়েছিলাম তা কি "টুরিং মেশিনের গাণিতিক বিবৃতিগুলির (কোনও কোনও উপসেট) থেকে মোট কোনও গণনাযোগ্য ফাংশন রয়েছে যা কোনও ইনপুট নেয় না, যেমন প্রদত্ত বিবৃতিতে মেশিনটি যদি বিবৃতিটি সত্য হয় তবে এটি বন্ধ হয়ে যায়?" তবে অবশ্যই এটি আপনার প্রস্তাবিত সংস্করণের সমতুল্য।

— নাথানিয়েল

Answer 2

চলুন , , এবংপ্রতিটি পূর্ণসংখ্যার জন্য । একটি ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা জন্য যাক বোঝাতে বিবৃতি: একটি সিস্টেম যদি$f(1)=2$$f(2)=4$$f(n+1)=f(n)!$$n \geq 2$$n$$\Theta_n$

$$S \subseteq \{x_i! = x_k: i,k \in \{1,\ldots,n\}\} \cup \{x_i \cdot x_j=x_k: i,j,k \in \{1,\ldots,n\}\}$$

চেয়ে বড় কেবল চূড়ান্তভাবে অনেকগুলি সমাধান রয়েছে , তারপরে এই জাতীয় প্রতিটি সমাধান সন্তুষ্ট । আমরা অনুমান করি যে সত্য।$x_1,\ldots,x_n$$1$$(x_1,\ldots,x_n)$$\min(x_1,\ldots,x_n) \leq f(n)$$\Theta_1,\ldots,\Theta_{16}$

The বিবৃতিটির প্রমাণ করে: যদি চেয়ে বড় যমজ উপস্থিত থাকে তবে অসীম অনেকগুলি দ্বৈত প্রাইম রয়েছে, দয়া করে এ টিসকা ( এই সেটগুলিতে সাবটিক ম্যাথবিবি ) এই পেপারটি দেখুন যেমন যে এর অনন্ত অস্তিত্ব সমতূল্য একটি উপাদান যে সংজ্ঞা ব্যবহার করে নির্ণিত একটি থ্রেশহোল্ড সংখ্যার চেয়ে বেশী )$\Theta_{16}$$f(16)+3$$W \subseteq \mathbb{N}$$W$$W$$W$

এটি হ'ল statement the স্টেটমেন্টটি ধরে নিয়ে তে একটি একক ক্যোয়ারী দ্বিগুণ প্রাথমিক সমস্যার সিদ্ধান্ত দেয়।$\Theta_{16}$$0'$