এমন কোনও কাজ রয়েছে যা বহুপদী সময়ে দ্রবণীয় তবে বহুপক্ষীয় সময়ে যাচাইযোগ্য নয়?

Question

আমার এবং আমার একজন সহকর্মী আমাদের প্রফেসরের একজনের কয়েকটি নোট পেয়েছি। নোটগুলিতে উল্লেখ করা হয়েছে যে বহু কার্যাদি (পিএফ-এর ক্লাসে রয়েছে) এমন কিছু কাজগুলি সমাধান করা সম্ভব তবে সেগুলি বহুবর্ষের সময় যাচাইযোগ্য নয় (এনপিএফের শ্রেণিতে নয়)।

এই শ্রেণিগুলি সম্পর্কে বিস্তারিত জানাতে: আমরা কিছু ইনপুট এক্স পাই এবং কিছু আউটপুট Y তৈরি করি যা (এক্স, ওয়াই) আমাদের কাজের প্রতিনিধিত্ব করে R যদি বহুপাক্ষিক সময়ে এক্স এর জন্য ওয়াই অর্জন করা সম্ভব হয় তবে কাজটি পিএফের শ্রেণীর অন্তর্গত। যদি বহুবর্ষীয় দৈর্ঘ্যের সার্টিফিকেট জেড যাচাই করা সম্ভব হয় যে একটি টুপল (এক্স, ওয়াই) বহুবর্ষের সময় আর এর সাথে সম্পর্কযুক্ত তা প্রমাণ করে, কাজটি এনপিএফের শ্রেণীর অন্তর্গত belongs

আমরা সিদ্ধান্তগত সমস্যাগুলির বিষয়ে কথা বলছি না, যেখানে উত্তরটি হ্যাঁ হ্যাঁ বা কোনও উত্তর নেই (আরও আনুষ্ঠানিকভাবে যদি কিছু স্ট্রিং কোনও ভাষার অন্তর্ভুক্ত থাকে)। সিদ্ধান্তগত সমস্যার জন্য দেখা যায় যে পিএফ হ'ল এনপিএফের একটি উপযুক্ত উপসেট। তবে অন্যান্য কাজের ক্ষেত্রে এটি আলাদা হতে পারে।

আপনি কি এমন কোনও কাজ জানেন যা বহুপাক্ষিক সময়ে সমাধান করা যেতে পারে তবে বহুবারের সময় যাচাই করা যায় না?

Comments

সম্ভবত আমি ভুল বুঝেছি, তবে নিম্নলিখিতগুলি কেন বহু-কালীন যাচাইকরণ অ্যালগরিদম নয়? প্রদত্ত , বহু-কালীন অ্যালগরিদম ব্যবহার করে নিজেই ফ ( এক্স ) ফাংশনটি গণনা করুন এবং f ( x ) = y হলে "সঠিক" ফিরে আসুন । আপনি কি ভুল প্রফেসর বা অধ্যাপককে ভুল বক্তব্য রেখেছেন এবং তার পরিবর্তে এটি বোঝাতে চেয়েছেন যে বহুবর্ষে সমস্যাগুলি যাচাইযোগ্য তবে বহুবারের মধ্যে সমাধানযোগ্য নয়? $(x,y)$$f(x)$$f(x)=y$

— Lieuwe Vinkhuijzen

@ লিউওভিঙ্কুইজজেন "এটি বলতে গেলে বহুবর্ষীয় সময়ে সমস্যাগুলি যাচাইযোগ্য তবে বহুকালীন সময়ে সমাধানযোগ্য নয়?" [সুত্র। প্রয়োজনীয়]

— টি। ভেরন

@ টি.ভেরন হাহা হ্যাঁ, আমিও এই দাবির পক্ষে অধ্যাপকের প্রমাণ দেখে খুব খুশি হব;)

— লিওউ ভিঙ্কুয়েজেন

Answer 1

এটি তখনই সম্ভব যদি প্রদত্ত ইনপুটটির জন্য অনেকগুলি গ্রহণযোগ্য আউটপুট থাকে। অর্থাত্, যখন সম্পর্ক কোনও ফাংশন নয় কারণ এটি স্বতন্ত্রতা লঙ্ঘন করে।$R$

উদাহরণস্বরূপ, এই সমস্যাটি বিবেচনা করুন:

প্রদত্ত (ইউনারী মধ্যে প্রতিনিধিত্ব) এবং একটি টি এম এম , উত্পাদন অন্য এম এন যেমন যে এল ( এম ) = এল ( এন ) এবং # এন > এন (যেখানে # এন এনকোডিং ঘোরা (গোডেলের সংখ্যা) এন একটি মধ্যে প্রাকৃতিক সংখ্যা)$n \in \mathbb{N}$$M$$N$$L(M)=L(N)$$\# N > n$$\# N$$N$

এটি সমাধান করা তুচ্ছ: টিএম সাথে কয়েকটি রিডানডেন্ট রাজ্য যুক্ত রাখুন , সম্ভবত তাদের মধ্যে কিছু ডামি ট্রানজিশন রয়েছে, যতক্ষণ না এর এনকোডিং n ছাড়িয়ে যায় । এটি টিএমসে প্যাডিং লেমার একটি পুনরাবৃত্তি অ্যাপ্লিকেশন। এর জন্য এন প্যাডিংগুলির প্রয়োজন হবে , যার প্রত্যেকটিতে একটি করে রাজ্য যুক্ত করতে পারে, সুতরাং এটি বহু-কালীন সময়ে করা যেতে পারে।$M$$n$$n$

অন্যদিকে, দেওয়া এটা চেক করতে undecidable হলে এন ইনপুট জন্য একটি সঠিক আউটপুট এন , এম । প্রকৃতপক্ষে, এল ( এম ) = এল ( এন ) পরীক্ষা করা অনস্বীকার্য (ধানের উপপাদ্য প্রয়োগ করুন), এবং সীমাবদ্ধতা # এন > এন কেবলমাত্র চূড়ান্তভাবে অনেকগুলি এন থেকে সরিয়ে দেয়। যেহেতু আমরা একটি অনস্বীকার্য সমস্যা থেকে সীমাবদ্ধ পরিমাণে উপাদানগুলি সরিয়ে ফেলি, তবুও আমরা একটি অনির্বাচিত সমস্যা পাই।$n,M,N$$N$$n,M$$L(M)=L(N)$$\#N > n$$N$

$L(M)=L(N)$$n$$G$$n$$n,G$$n$

Comments

Expected this to not be the case. Great answer!

— Filip Haglund

This does not answer the question. The OP specifically asked for a problem not verifiable in the usual sense, where, in addition to the input and the alleged answer, we get a certificate $z$ which certifies the correctness of the answer. In your case, the certificate is the bits used to nondeterministically generate the new equivalent Turing Machine. Given $M, N$ and $z$, it is easy to check whether $z$ gives the machine $M$. Without $z$, the question is whether it is easy to generate hard instances of (NPC) languages, which is only true in Minicrypt and Cryptomania.

— Lieuwe Vinkhuijzen

@chi Not all pairs $M, N$ can be certified, but the set of pairs $M, N$ generated by your algorithm can be certified. The certificate is the transcript of your algorithm producing $N$ from $M$ (e.g. "start with $M$, then add this state, and add this transition, then... and voilà, $N$!"). In general, if $T$ is a nondeterministic algorithm which, given $x$, always computes an admissible $y$, then a transcript of a computation path of $T(x)$ is a certificate that a given $y$ is admissible.

— Lieuwe Vinkhuijzen

@chi There is a slight nuance in the question: For an arbitrary relation $R$, it is possible that not all admissible $y$ are certifiable, and you give an elegant example. However, the question does not ask whether admissible but uncertifiable relations exist (the answer is yes, by your example), instead it asks whether we can have an algorithm which produces admissible, uncertifiable output. The answer, here, must be no, because of the argument above.

— Lieuwe Vinkhuijzen

@chi I don't know what the OP intended to ask, but I found your answer very illuminating nonetheless, I learned something! imo the question can be read the way you do, or equally plausibly as "do one-way functions exist?" (maybe) or "are hard instances of NP problems easy to generate?" (I hope so for RSA), or, the way I read it, as "Is $NP\subsetneq P$?" (no).

— Lieuwe Vinkhuijzen

Answer 2

This is merely an elaboration of the first sentence of @chi's answer, since I did not find it obvious.

The idea is, if you have an algorithm that finds the answer to some problem in polynomial time, then there are two possibilities:

1. You have previously proven (mathematically) that the algorithm's output is a solution to the problem, in which case, the algorithm's steps themselves form the proof of correctness.

2. You have a different algorithm for checking that the output is indeed a solution, in which case you must be running this algorithm (otherwise you'd be falling under case #1), which implies you're doing it in polynomial time.

Therefore, there can be no such problem.

Comments

I don't understand #2. What implies that the different algorithm runs in polynomial time?

— Albert Hendriks

@AlbertHendriks: If the verifier didn't run in polynomial time then the original solver could not claim to have found a correct solution in polynomial time, because it needs to run the verifier to make sure its solution is correct.

— Mehrdad