কোন ইউনিপথিক গ্রাফটি কত প্রান্তে থাকতে পারে?

19

একটি ইউনিপ্যাথিক গ্রাফ একটি নির্দেশিত গ্রাফ এমন যে কোনও এক প্রান্ত থেকে অন্য কোনও শীর্ষকোষে সর্বাধিক এক সরল পথ থাকে।

ইউনিপ্যাথিক গ্রাফগুলিতে চক্র থাকতে পারে। উদাহরণস্বরূপ, দ্বিগুণ যুক্ত লিঙ্কযুক্ত তালিকা (কোনও বিজ্ঞপ্তি নয়!) একটি অলিপথিক গ্রাফ; যদি তালিকা আছে উপাদান, গ্রাফ হয়েছে মোট, দৈর্ঘ্য 2 চক্র । $n$ $n-1$ $2(n-1)$

শিখর সমেত একটি ইউনিপথিক গ্রাফের সর্বাধিক সংখ্যার সংখ্যা কত ? একটি অ্যাসিম্পোটিক বাউন্ড (যেমন বা ) করবে। $n$ $O(n)$ $\Theta(n^2)$

_{একটি ওজনযুক্ত ইউনিপ্যাথিক গ্রাফের সবচেয়ে সংক্ষিপ্ত পথগুলি সন্ধান করে অনুপ্রাণিত ; মধ্যে আমার প্রমাণ , আমি প্রথমে যে দাবি প্রান্ত সংখ্যা ছিল চেয়েছিলেন কিন্তু তারপর উপলব্ধি করেন যে চক্র সংখ্যা সীমান্ত যথেষ্ট ছিল। $O(n)$}

graphs combinatorics

— গিলস 'তাই খারাপ হওয়া বন্ধ করুন'
সূত্র

দুর্দান্ত প্রশ্ন। আমাদের আপনার নিম্ন বাউন্ড বা আমার উপরের আবদ্ধ :) উন্নত করার চেষ্টা করা উচিত।

— আরবি

12

একটি ইউনিপথিক গ্রাফের প্রান্ত থাকতে পারে। সেখানে গ্রাফ যে unipathic এবং হয়েছে একটি সুপরিচিত ধরনের প্রান্ত। $\Theta(n^2)$ $n^2/4$

সম্পূর্ণ দ্বিপাক্ষিক লেখচিত্র, ওরিয়েন্টেড ধার সম্বলিত বিবেচনা । এই গ্রাফটি একচিকিত্সা এবং কোনও চক্র নেই: এর সমস্ত পাথের দৈর্ঘ্য । এটা আছে ছেদচিহ্ন এবং প্রান্ত। $\forall (i,j) \in [1,m]^2, a_i \rightarrow b_j$ $1$ $2m$ $m^2$

_{(ফলোআপ প্রশ্ন: এই অনুপাতটি কি সর্বোচ্চ? সম্ভবত নয়, তবে আমার কাছে আর একটি উদাহরণ নেই This উদাহরণটি এই অর্থে সর্বাধিক যে আপনি বিদ্যমান নোডগুলির মধ্যে যে কোনও এক প্রান্তটি যুক্ত করেন তা ইউনিপাথিক সম্পত্তিকে ভেঙে ফেলবে))}

— গিলস 'তাই খারাপ হওয়া বন্ধ করুন'
সূত্র

"বিদ্যমান নোডগুলির মধ্যে যে কোনও একটি প্রান্তটি আপনি যুক্ত করবেন তা একৈকিক সম্পত্তিকে ভেঙে দেবে" কীভাবে

করে সম্পত্তিটি ভেঙে দেওয়া হবে?

b_{1} \to a_{1}

$b_1 \rightarrow a_1$

— মিচুস

@ মমিচাস

a_{2} \to b_{1} \to a_{1} \to b_{2}

$a_2 \rightarrow b_1 \rightarrow a_1 \rightarrow b_2$

— গিলস 'এস-অশুভ হওয়া বন্ধ করুন'

1

আমি আমার মন একরকম unipathic যে দিন :) হিসাবে maximality জন্য, অনুপাত 1/4 বড় করার জন্য যেতে পারে ছিল

, কিন্তু

দোকর লিঙ্ক তালিকা চেয়ে বেশি প্রান্ত হয়েছে

।

n

$n$

n \in {2, 3, 4, 5, 6}

$n \in \{2,3,4,5,6\}$

n^{2} / 4

$n^2/4$

— মিচুস

0

আমি জানি না যে বেশি কোনও ইউনিপ্যাথিক গ্রাফ রয়েছে কিনা কিনারা, তবে এখানে একটি যুক্তি দেখানো হচ্ছে যেচেয়ে বেশি নয় $\frac{n^2}{4}$ প্রান্তগুলি সম্ভব: $\frac{n^2}{2}+3$

$G=(V,E)$ $|E|\geq \frac{n^2}{2}+3$

$v\in V$

d_{in} (v) \geq \frac{n}{2} + 1

$d_{\text{in}}(v)\geq \frac{n}{2}+1$

$U=\{u\in V\mid (u,v)\in E\}$

$x\in V\setminus \{v\}$

\exists u_{1} \neq u_{2} \in U : (x, u_{1}), (x, u_{2}) \in E

$\exists u_1\neq u_2\in U:(x,u_1),(x,u_2)\in E$

$(x\to u_1\to v)$ $(x\to u_2\to v)$

$\{v\}\times U$

| E \cap (V \times U) | \leq 2 | U |

$|E\cap (V\times U)|\leq2|U|$

$U$

| E | = | E \cap (V \times U) | + | E \cap (V \times (V ∖ U)) |

$|E|=|E\cap (V\times U)|+|E\cap (V\times (V\setminus U))|$

\leq 2 | U | + n | V ∖ U | \leq 2 (\frac{n}{2} + 1) + n (\frac{n}{2} - 1) < \frac{n^{2}}{2} + 3

$\leq 2|U|+n|V\setminus U|\leq 2(\frac{n}{2}+1)+n(\frac{n}{2}-1)<\frac{n^2}{2}+3$

$\square$

— আর বি
সূত্র