সুপার মহাবিশ্ব কী?

Question

আমি টাইপ থিওরিতে ইউনিভার্সে এই সুপরিচিত কাগজটি পড়ছি । প্রথমে আমি Setωআগদার মতোই কিছু প্রত্যাশা করেছিলাম তবে দেখা গেছে যে এটি আরও সাধারণ কিছু। এটি মনে হয় মহাবিশ্বের নির্মাণকে একটি সরল ইন্ডাকটিভ-রিকার্সিভ টাইপ থেকে বাইন্ডারের কাছে অনুরূপ (অনুরূপ)$\Pi$ এবং $\Sigma$)। আমি যে প্রধান প্রশ্নটি জিজ্ঞাসা করতে চাই তা হ'ল এর পিছনে উদ্দেশ্য কী?

সাধারন তারস্কি-স্টাইলের মহাবিশ্বগুলি সংজ্ঞায়িত করার জন্য এখানে কিছু ইদ্রিস কোড রয়েছে:

mutual

  public export data U : (level : Nat) -> Type where
    GroundU : Ground -> U level
    BinderU : Binder -> (a : U level) -> (b : (x : T {level} a) -> U level) -> U level
    UnivU   : U (S level)
    LiftU   : U level -> U (S level)

  public export T : {level : Nat} -> (code : U level) -> Type

আমি এটিকে কিছু সাধারণ করার চেষ্টা করছি

mutual

  public export data U : (a : Type) -> (b : (x : a) -> Type) -> Type where
    GroundU : Ground -> U a ???
    ...

কি হওয়া ???উচিত? কাগজের লেখক সবেমাত্র বলেছেন যে ইউনিভার্সগুলি সেট ফরমার্সের অধীনে বন্ধ করা উচিত।

সম্পাদনা: আমার মনে ???হয় কেবল b...

Comments

আপনি কি অনেক বেশি Natমহাবিশ্বের চেষ্টা করছেন ? আপনি কী জিজ্ঞাসা করছেন তা পরিষ্কার নয়।

— আন্দ্রেজ বাউয়ার

কাগজটি মনে হয় তা করে।

— 盛安安

আমি জানি কাগজে কী আছে। আপনি কি করতে চেষ্টা করছেন? আপনার প্রশ্ন কি?

— আন্দ্রেজ বাউয়ার 15

ঠিক আছে ... আমি একটি ধারণা নিয়ে এসেছি যা ব্যবহার করবে Setω, তাই আমি সুপার ইউনিভার্স সম্পর্কে কাগজগুলি সন্ধান করেছি যাতে আমি কিছু শিখতে পারি কিনা তা দেখার জন্য। এটি সম্পর্কে সত্যই কয়েকটি কাগজপত্র রয়েছে এবং এই কাগজটিই মূল একটি। এটি বোঝার জন্য, আমি নিজে এটি প্রয়োগ করার চেষ্টা করেছি। যদিও এখন আমি এটি আমার নতুন ধারণার অন্তর্দৃষ্টি দেবে বলে মনে করি না, তবুও আমি এটি বুঝতে চাই।

— 17

আমি একটি বাইন্ডারের কাছে মহাবিশ্ব নির্মাণকে সাধারণীকরণের অভিপ্রায় জানতে চাই।

— 盛安安

Answer 1

এর অধীনে মহাবিশ্ব অপারেটর এবং একটি সুপার-মহাবিশ্ব বন্ধ থাকার পিছনে একটি উদ্দেশ্য হ'ল সেট তত্ত্ব থেকে পরিচিত বৃহত কার্ডিনাল অ্যাকিয়োমের একটি টাইপ-তাত্ত্বিক সংস্করণ দেওয়া। একটি অ্যাক্সেস অযোগ্য কার্ডিনাল একটি টাইপ-তাত্ত্বিক মহাবিশ্বের মতো। পরের আকর্ষণীয় ধরণের কার্ডিনাল হল একটি মহ্লো কার্ডিনাল । স্বজ্ঞাতভাবে বলতে গেলে, একটি মহেলো কার্ডিনাল হ'ল এটির নীচে দুর্গম কার্ডিনালগুলির "সম্পূর্ণ প্রচুর পরিমাণ" রয়েছে। এটি টাইপ-তাত্ত্বিক পদগুলিতে কী হবে? এটি এক ধরণের মহাবিশ্ব হওয়া উচিত$U$এতে প্রচুর এবং প্রচুর ইউনিভার্স রয়েছে। পামগ্রেন যখন মহাবিশ্বকে বিবেচনা করছেন তখন এটিই সম্বোধন করছেন।

অনেক মহাবিশ্ব থাকার একটি আরও ব্যবহারিক দিক আছে। সমস্ত ধরণের উদ্দেশ্যে, টাইপ থিওরিতে ইনডাকটিভ-রিকার্সিভ টাইপগুলি রাখা দরকারী। তবে তারা আমাদের নতুন মহাবিশ্বের সংজ্ঞা দিতে দেয়, সুতরাং প্রশ্নটি কতটি ? পামগ্রেন যা করছে তার অনুভূতি পেতে এখনই সুপার-মহাবিশ্বের জন্য শুটিংয়ের পরিবর্তে আগদায় নির্মাণের নিম্নলিখিত ক্রমটি চেষ্টা করুন (অন্তর্ভুক্তি-পুনরাবৃত্তি ব্যবহার করে):

1. একটি মহাবিশ্ব নির্ধারণ করুন $U_0$, সমন্বিত (একটি কোড) $\mathbb{N}$ এবং অধীনে বন্ধ $\Pi$ এবং $\Sigma$। এই ধরণের মহাবিশ্ব একটি অ্যাক্সেসযোগ্য কার্ডিনালের সাথে মিল রয়েছে ।

2. একটি অপারেটর সংজ্ঞায়িত করুন $U$ যে কোনও ধরণের লাগে $A$ এবং একটি মহাবিশ্বের সংজ্ঞা দেয় যা এতে একটি কোড রয়েছে $A$ এবং অধীনে বন্ধ আছে $\Pi$ এবং $\Sigma$। এই ধরণের মহাবিশ্ব অপারেটর গ্রোথেনডিকের মহাবিশ্বের অক্ষরকম । বারবার প্রয়োগ করে আমরা কতটি মহাবিশ্ব পেতে পারি$U$, থেকে শুরু করে $\mathbb{N}$?

3. আরও মহাবিশ্ব পেতে, আমরা একটি সুপার-মহাবিশ্ব পোস্ট $V$ যার মধ্যে নীচে অনেকগুলি মহাবিশ্ব রয়েছে:

   • $V$ রয়েছে $\mathbb{N}$, এবং এর অধীনে বন্ধ রয়েছে $\Pi$ এবং $\Sigma$
   • এক প্রকার (কোড) দেওয়া হয়েছে $A : V$ এবং একটি পরিবার $B : A \to V$একটি মহাবিশ্ব আছে $U$, যা একটি উপাদান $V$এটিতে পরিবারের সকল প্রকার রয়েছে $B$, এবং এর অধীনে বন্ধ রয়েছে $\Pi$ এবং $\Sigma$।

   কত মহাবিশ্ব না $V$থাকে? মনে রাখবেন যে আমরা একটি পরিবার পেতে পারি$B : \mathbb{N} \to V$ যেমন যে $B(n)$ হয় $n$-ম বিশ্বজগত, এবং তাই $V$ একটি মহাবিশ্ব থাকতে হবে $U_\omega$যা এই সব ধারণ করে। এবং এই মাত্র শুরু!

Comments

আপনি চিহ্নিত করতে পারেন $\mathbb{N}$theতিহ্যবাহী মেটা-তাত্ত্বিক সূচক স্তরটির সাথে মহাবিশ্বে?

— 盛安安

আমি অনুমান করি উত্তরটি হ্যাঁ "হ্যাঁ"

— 盛安安

আমি জুড়ে গাণিতিক স্বরলিপি ব্যবহার। এএসসিআইআই-তে আমি natপরিবর্তে লিখতাম$\mathbb{N}$, সুতরাং এটি মেটা-তাত্ত্বিক নয়, এটি কেবল প্রাকৃতিক সংখ্যার প্রকার। আপনার কাছে এটি এতোটুকু গুরুত্বপূর্ণ নয় nat, আমি এটি কেবলমাত্র বেস টাইপ হিসাবে ব্যবহার করেছি যা থেকে আমরা শুরু করতে পারি। যদি আমি ব্যবহার boolকরতাম তবে আপনিও ঠিকঠাক হয়ে যাবেন (অসীম ধরণের কাছে পৌঁছানোর জন্য আপনাকে একটি মহাবিশ্বকে যেতে হবে না, কারণ প্রথম মহাবিশ্বের কেবলমাত্র সীমাবদ্ধ টাইপগুলি boolব্যবহার থেকে নির্মিত হবে)$\Pi$ এবং $\Sigma$)।

— আন্দ্রেজ বাউয়ার