নির্ভরশীল টাইপ সিস্টেমে প্রমাণগুলির জন্য আদিম হিসাবে কেন পুনরাবৃত্তির প্রয়োজন হয়?

আমি তত্ত্ব এবং নির্ভর প্রোগ্রামিং টাইপ তুলনামূলকভাবে নতুন। আমি নির্মাণের ক্যালকুলাস (সিও) এবং অন্যান্য খাঁটি টাইপ সিস্টেমগুলি অধ্যয়ন করছি। আমি বিশেষত এটি একটি সংকলক সিস্টেমের জন্য একটি প্রমাণ-সংরক্ষণের মধ্যবর্তী প্রতিনিধিত্ব হিসাবে ব্যবহার করতে আগ্রহী।

আমি বুঝি যে (সহ-) রিকার্সিভ ধরনের representable হয় , গণনা ব্যবহার শুধুমাত্র টাইপ কন্সট্রাকটর হিসাবে। আমি পড়েছি, যদিও, তারা প্রমাণের মাধ্যমে প্রমাণ তৈরি করতে ব্যবহার করতে পারবেন না (আমাকে ক্ষমা করুন, আমি এখন কোথায় খুঁজে পাচ্ছি না!), উদাহরণস্বরূপ, আমি যে প্লেইন সিও তে প্রমাণ করতে পারিনি (যদিও যেমন typeable হয় )। $\Pi$ $0\neq 1$ $\texttt{Nat}$ $\Pi(\mathbb{N}:*).\Pi(S:\mathbb{N}\rightarrow\mathbb{N}).\Pi(Z:\mathbb{N}).\mathbb{N}$

আমি ধরে নিয়েছি এ কারণেই তারা প্ররোচিত কনস্ট্রাকশনের (সিআইসি) ক্যালকুলাস তৈরি করেছিল। এটা কি সঠিক? কিন্তু কেন? আদিম হিসাবে (সহ) প্রেরণামূলক প্রকার ব্যবহার না করে কেন এই জাতীয় প্রমাণগুলি উপস্থাপন করা যায় না তা ব্যাখ্যা করার মতো কোনও উপাদান আমি পাই না। যদি এটি সত্য না হয় তবে তাদের কেন সিআইসিতে আদিম হিসাবে যুক্ত করবেন?

type-theory dependent-types coq

— paulotorrens
সূত্র

আমি বিশেষজ্ঞ নই, তবে আমি এতক্ষণ যা বুঝেছি তা একটি উদাহরণ দিয়ে ভাগ করব।

আসুন cóc মধ্যে বুলিয়ান টাইপ বিবেচনা, তার আদর্শ এনকোডিং ব্যবহার করছে: আমরা প্রমাণ পাবে আশা করতে পারে

\begin{array}{l} B = Π_{τ : *} τ \to τ \to τ \\ t t = λ τ : *, x : τ, y : τ . x \\ f f = λ τ : *, x : τ, y : τ . y \end{array}

$\begin{array}{l} \mathbb{B} = \Pi_{\tau:*} \tau \to \tau \to \tau \\ \mathsf{tt} = \lambda \tau:*,x:\tau,y:\tau.\ x \\ \mathsf{ff} = \lambda \tau:*,x:\tau,y:\tau.\ y \end{array}$

প্রকৃতপক্ষে, এই দ্রুত নির্ভরশীল বর্জন / আনয়ন নীতি থেকে অনুসরণ করে আমরা CIC মধ্যে যেমন আছে

Π_{b : B} b = t t \lor b = f f (*)

$\Pi_{b : \mathbb{B}} b={\sf tt} \lor b = {\sf ff} \qquad(*)$

B_{i n d} : Π_{P : B \to *} P (t t) \to P (f f) \to Π_{b : B} P (b)

$\mathbb{B}_{ind} : \Pi_{P:\mathbb{B}\to*} P({\sf tt}) \rightarrow P({\sf ff}) \rightarrow \Pi_{b:\mathbb{B}} P(b)$

যাইহোক, আমরা সত্যই আশা করতে পারি না (*) কোকের সমস্ত মডেল ধরে রাখবে! Intuitively, একটি মান মোটামুটিভাবে ফাংশন একটি পরিবার হওয়া উচিত প্রতিটি টাইপ বরাদ্দ ব্যাখ্যার মধ্যে একটি মান । তবে এটি কে মানগুলির মধ্যে একটি হতে বাধ্য করে না । আমরা যেমন (অনানুষ্ঠানিকভাবে) $\mathbb{B}$ $\{f_\tau\}_{\tau}$ $\tau$ $\tau\to\tau\to\tau$ $f_\tau$ $\sf tt,ff$

f_{N} (n) (m) = n + m

$f_{\mathbb{N}}(n)(m) = n+m$

নিশ্চিত করুন যে মান হতে শুধুমাত্র সম্ভাব্য মান, আমরা নিজেদেরকে সীমাবদ্ধ করতে হবে স্থিতিমাপ মডেল। প্রকৃতপক্ষে (আমি মনে করি) পলিটাইপ সম্পর্কিত মুক্ত উপপাদ্য থেকে সম্পত্তি প্রমাণিত হতে পারে । $\sf tt,ff$ $(*)$ $\mathbb{B}$

$(*)$ $(*)$ $\mathbb{B}_{ind}$

— চি
সূত্র

আমি নিশ্চিত না যে আমি অনুসরণ করি। উদাহরণ হিসেবে বলা যায়, যেমন একটি অভিব্যক্তি দেওয়া

(λ (N a t : *) . (. . .)) (Π (N : *) . Π (S : N \to N) . Π (Z : N) . N)

$(\lambda(Nat:*).(...)) (\Pi(\mathbb{N}:*).\Pi(S:\mathbb{N}\rightarrow\mathbb{N}).\Pi(Z:\mathbb{N}).\mathbb{N})$

S

$S$

Z

$Z$

— পলোটোরেনস

N a t

$Nat$

S, Z

$S,Z$

n

$n$

n (T) (S_{T}) (Z_{T}) = Z_{T}

$n(T)(S_T)(Z_T) = Z_T$

T

$T$

T = B

$T=\mathbb{B}$

n (B) (S) (Z) = S (Z)

$n(\mathbb{B})(S)(Z) = S(Z)$

n

$n$

λ T : * . i f T = B t h e n \dots

$\lambda T:*. {\sf if}\ T=\mathbb{B}\ {\sf then}\ \ldots$

n

$n$

@ পলোটোরেনস যদি আপনি

সম্পর্কে চিন্তা করেন তবে আপনি বিষয়টি আরও সহজেই বুঝতে পারবেন । এই ধরণটি কেবলমাত্র (বহুবিধ) পরিচয় দ্বারা বাস করে এবং প্যারামেট্রিক মডেলগুলিতে প্রকৃতপক্ষে সেই ধরণের পদগুলির একমাত্র সম্ভাব্য মান। তবে, একটি অ্যাড-হক মডেলে আমরা একটি মান

সংজ্ঞায়িত করতে পারি

Π_{T : *} T \to T

$\Pi_{T:*} T\to T$

v (T) (x) = x

$v(T)(x) = x$

T

$T$

T = N

$T=\mathbb{N}$

v (N) (x) = x + 1

$v(\mathbb{N})(x) = x+1$