মোট ছাত্র সময় কমিয়ে আনতে প্রশ্নের অনুকূল ক্রম সন্ধান করা

ধরুন কোনও বিশ্ববিদ্যালয়ে টিউটোরিয়াল সেশন রয়েছে। আমরা একটি সেট আছে $k$ প্রশ্ন $Q = \{ q_1 \ldots q_k \}$ এবং একটি সেট $n$ ছাত্র $S = \{ s_1 \ldots s_n \}$ । প্রত্যেক শিক্ষার্থীর প্রশ্ন, অর্থাত প্রত্যেক শিক্ষার্থীর জন্য একটি নির্দিষ্ট উপসেট মধ্যে একটি সন্দেহ রয়েছে $s_j$ যাক $Q_j \subseteq Q$ একজন ছাত্র একটি সন্দেহ আছে যে প্রশ্ন সেট করা। ধরে নিন যে $\forall 1 \leq j \leq n: Q_j \neq \phi$ এবং $\bigcup_{1\leq j\leq n}Q_j = Q$ ।

সমস্ত ছাত্র শুরুতে টিউটোরিয়াল সেশনে প্রবেশ করে ( $t = 0$ )। এখন, একজন শিক্ষার্থী যে সমস্ত প্রশ্নে যার সন্দেহ রয়েছে সেগুলি আলোচনা করা মাত্রই টিউটোরিয়াল সেশনটি ছেড়ে যায়। ধরুন যে সময় প্রতিটি প্রশ্নের নিয়ে আলোচনা করার জন্য নিয়ে যাওয়া সমান বলে 1 একক । টিউটোরিয়াল সেশনে সময় ব্যয় করুক । আমরা একটি অনুকূল বিন্যাস জানতে চান যা প্রশ্ন আলোচনা করা হয়েছে যেমন পরিমাণ $^*$ $t_j$ $s_j$ $\sigma$ $(q_{\sigma(1)} \ldots q_{\sigma(n)})$ $T_\sigma = \Sigma_{1\leq j \leq n}t_j$ হ্রাস করা হয়েছে।

আমি বহু বহু সময়ের আলগোরিদিম ডিজাইন করতে বা $\mathsf{NP}$ শারদনেস প্রমাণ করতে সক্ষম হইনি।

আমরা সমস্যার একটি সিদ্ধান্ত সংস্করণ সংজ্ঞায়িত করতে পারেন

T U T = {⟨ k, n, F_{Q}, C ⟩ ∣ \exists σ : T_{σ} \leq C}

$\mathsf{TUT} = \{\langle k, n, \mathcal{F}_Q, C \rangle \mid \exists \sigma : T_{\sigma} \leq C\}$

যেখানে $\mathcal{F}_Q$ হল সেট $Q_j$ ।

আমরা তখন সর্বনিম্ন খুঁজে বের করতে পারেন উপর বাইনারি অনুসন্ধান ব্যবহার এবং অনুকূল জানতে আংশিক বরাদ্দকরণ ব্যবহার জন্য একটি ওরাকল ব্যবহার বহুপদী সময় । এছাড়াও, কারণ অনুকূল একটি শংসাপত্র হিসাবে ব্যবহার করা যেতে পারে যা আমরা বহুবর্ষের সময় সহজেই যাচাই করতে পারি। $T_\sigma$ $C$ $\sigma$ $\sigma$ $\mathsf{TUT}$ $\mathsf{TUT} \in \mathsf{NP}$ $\sigma$

আমার প্রশ্ন: কমপ্লিট নাকি আমরা এর জন্য বহু-কালীন অ্যালগরিদম ডিজাইন করতে পারি? $\mathsf{TUT}$ $\mathsf{NP}$

Sidenote: যাইহোক, আমি একটি প্রকৃত টিউটোরিয়াল অধিবেশন পর এই প্রশ্ন, যা টি এ স্বাভাবিক অনুক্রমে প্রশ্ন আলোচনা চিন্তা কারণ যার অনেক ছাত্র শেষ পর্যন্ত অপেক্ষা করতে হয়েছিল। $q_1 \ldots q_n$

উদাহরণ
যাক এবং । এবং । আমরা দেখতে পারি যে একটি অনুকূল যে ক্ষেত্রে কারণ, পরে পাতার এবং পর পাতার $k=3$ $n=2$ $Q_1 = \{q_3\}$ $Q_2 = \{q_1, q_2, q_3\}$ $\sigma = \langle 3, 1, 2 \rangle$ $s_1$ $t_1 = 1$ $s_2$ , তাই সমষ্টি 4. কিন্তু আমরা যদি অনুক্রমে প্রশ্নগুলো আলোচনা , তারপর এবং উভয় শেষ এবং পর্যন্ত অপেক্ষা করতে হবে , তাই যোগফল 6 $t_2 = 3$
$\langle 1, 2, 3\rangle$ $s_1$ $s_2$ $t_1 = t_2 = 3$

আপনি আরো সাধারণ ক্ষেত্রে যেখানে প্রতিটি প্রশ্নের সমাধান করতে মুক্ত নেয় আলোচনা করতে ইউনিট! $^*$ $q_i$ $x_i$

— skankhunt42
সূত্র

কেবল পরিষ্কার করে বলা: সমস্ত শিক্ষার্থীরা একই সাথে প্রবেশ করে, বা তাদের প্রথম প্রশ্ন জিজ্ঞাসা করার মুহুর্ত থেকেই তারা প্রবেশ করবে?

— বিচ্ছিন্ন টিকটিকি

@ ডিস্ক্রিটেলিজার্ড সমস্ত শিক্ষার্থী শুরুতে একই সময়ে প্রবেশ করে (টি = 0 তে)।

— skankhunt42

বর্তমান সংজ্ঞায়, প্রশ্ন সেটগুলি অনন্য, অর্থাত্ একটি সেট সংস্থার সর্বাধিক এক শিক্ষার্থীর অন্তর্ভুক্ত। এটি একটি যুক্তিসঙ্গত সরলকরণ হতে পারে, তবে আমি সন্দেহ করি এটি বাস্তববাদী (এবং আমি সন্দেহ করি এটি সমস্যার জটিলতার জন্য অনেক কিছু করবে)

— বিচ্ছিন্ন টিকটিকি

আমি মনে করি দুই শিক্ষার্থীর প্রশ্নের একই সেট থাকতে পারে, তাই অপেক্ষার সময়টি দুটি দিয়ে গুণিত হবে।

— gnasher729

আমি সমস্যাটিকে এনপি-হার্ড হতে সন্দেহ করি । আমি কীভাবে সমস্যাটি রূপান্তর করতে দেখাব যে এটি এনপি-হার্ড একটি সমস্যার সাথে দৃ related ়ভাবে সম্পর্কিত । (হ্যাঁ, এটি সবই অস্পষ্ট I আমি মূলত আমার সাধারণ পদ্ধতিটি সঠিক বলে মনে করি তবে আমি বর্তমানে এগিয়ে যেতে পারিনি)) $\mathsf{TUT}$

প্রথমে লক্ষ করুন যে সমস্যাটি নিম্নরূপে সংশোধন করা যেতে পারে: $\mathsf{TUT}$

প্রশ্নগুলির একটি সেট দেওয়া আকারের একটি সেট সাব-সেট নির্বাচন এবং একটি পূর্ণসংখ্যা , অস্তিত্ব আছে নেই একটা ক্রম যে এই ধরনের সব জন্য, : $Q$ $k$ $n$ $\mathcal{F}_Q\subseteq \mathcal{P}(Q)$ $C$ $\Sigma : \langle S_1,\ldots, S_k\rangle$ $i \in\{1,\ldots,k\}$

এবং ; এবং $S_i\subseteq Q$ $|S_i|=i$
সবার জন্য ; এবং $S_i \subset S_j$ $j>i$
? $\sum_{i=1}^k |\{q\in\mathcal{F}_Q\mid q\not\subseteq S_i\}| \leq C$

লক্ষ্য করুন সেট প্রথম প্রতিনিধিত্ব যে প্রশ্ন ব্যাখ্যা করা হবে। শর্তাবলী 1 এবং 2 নিশ্চিত করে যে এই ব্যাখ্যা অনুসারে সাবটগুলি সুগঠিত হয়েছে। কন্ডিশন 3 শিক্ষার্থীদের পরিমাণ গণনা করে যা প্রতিটি মুহুর্তে সময়মতো ছেড়ে যায় নি, তাই এটি প্রকৃতপক্ষে সমস্ত ছাত্রদের মধ্যে মোট অপেক্ষার সময়ের সমষ্টি। $S_i$ $i$

এখন, আমরা সাব-সেট নির্বাচন আকার সীমিত করতে , তাই আমরা একটি গ্রাফে প্রান্ত যেখানে ছেদচিহ্ন থেকে উপাদানগুলি কারণ, এগুলো সাব-সেট নির্বাচন উপস্থাপন করতে পারেন । (সাধারণ সমস্যার দৃness়তার জন্য এই বিশেষ ক্ষেত্রে একটি কঠোরতার ফলাফলই যথেষ্ট) $\mathcal{F}_Q$ $2$ $Q$

এখন, কমানোর সমস্যা একটি একক (এটি মূলত শর্ত 2 উপেক্ষা করা) নিম্নলিখিত সমস্যার সমতুল্য, যা আমি ' ' ডাব করি : $|\{q\in\mathcal{F}_Q\mid q\not\subseteq S_i\}|$ $i$ $\mathsf{\text{Double max $k$-vertex-cover}}$

একটি অপরিবর্তিত গ্রাফ এবং পূর্ণসংখ্যার এবং , সেখানে কি সর্বাধিক যেমন এর আকারের এর একটি সেট রয়েছে অন্তত একটি আকার ? $G=(V,E)$ $k$ $t$ $V'\subseteq V$ $k$ $\{(u,v)\in E\mid u\in V' \wedge v \in V' \}$ $t$

এই উত্তরটি এনপি-হার্ড, যেহেতু ক্লিক এই সমস্যার একটি বিশেষ বিষয়, যেমন এই উত্তরটি দেখায়। তবে, কে এনপি-হার্ড প্রমাণ করার পক্ষে এটি পর্যাপ্ত নয় , যেহেতু শর্তকে সম্মান করে আমাদের প্রতিটি সর্বাধিক সন্ধান করা দরকার । এই শর্তগুলি প্রতিটি অনুক্রমের দ্বারা সন্তুষ্ট নয় যা কেবলমাত্র 1 এবং 3 সন্তুষ্ট করে : গ্রাফ বিবেচনা দুই টুকরো করা চক্র, আকার এক সঙ্গে ছেদচিহ্ন , অন্যান্য আকার । জন্য , সমস্ত ছেদচিহ্ন নির্বাচন -cycle, সর্বোচ্চ দেয় যখন সব ছেদচিহ্ন নির্বাচন $k$ $\mathsf{TUT}$ $i$ $\Sigma$ $7$ $4$ $3$ $i=3$ $3$ $4$ -ওয়ালা জন্য অনুকূল । $i=4$

দেখে মনে হচ্ছে যে শর্ত 2 সমস্যাটিকে আরও শক্ত করে তোলে এবং খুব সহজেই সহজ নয়, যার অর্থ এনপি-হার্ড হওয়া উচিত, তবে আনুষ্ঠানিকভাবে এটি প্রমাণ করার কোনও পদ্ধতি আমি দেখিনি। $\mathsf{TUT}$

সুতরাং, সংক্ষেপে বলতে গেলে, আমি নিম্নলিখিত প্রশ্নটি কমিয়ে দিয়েছি:

জন্য কঠোরতার প্রমাণটি সম্পূর্ণ করার জন্য কি শর্ত 2 অন্তর্ভুক্ত করা সম্ভব ? $\mathsf{TUT}$

$|\{q\in\mathcal{F}_Q\mid q\not\subseteq S_i\}|$ $i=1\ldots k$ $i-1$ $k$ $i$ ধীরে ধীরে উপগ্রহের ক্ষতিকারক পরিমাণ পরীক্ষা করা রোধ করতে অবশেষে 'গ্লোবাল' সর্বাধিক হয়ে উঠবে।

— স্বতন্ত্র টিকটিকি
সূত্র