বহুবর্ষীয় সময়ে এবং দৃ strongly়ভাবে বহুপদী সময়ে চলমান একটি অ্যালগরিদমের সংজ্ঞা

Question

উইকিপিডিয়া এটি হতে সংজ্ঞায়িত করে

অ্যালগরিদমটি বহুপদী সময় হিসাবে বলা হয় যদি এর চলমান সময়টি অ্যালগরিদমের ইনপুট আকারে একটি বহুপদী অভিব্যক্তির উপরের সাথে আবদ্ধ হয়, তবে কিছু ধ্রুবক কে এর জন্য থাকে।$T(n) = O(n^k)$

অ্যালগরিদম দৃ strongly়ভাবে বহুপদী সময়ে চলে যদি [8]

• গণনার গাণিতিক মডেলের ক্রিয়াকলাপগুলির সংখ্যা ইনপুট উদাহরণের পূর্ণসংখ্যার সংখ্যায় বহুবচন দ্বারা আবদ্ধ হয়; এবং

• অ্যালগরিদম দ্বারা ব্যবহৃত স্থান ইনপুট আকারে একটি বহুভুজ দ্বারা আবদ্ধ হয়।

ইন বের্নহার্ট Korte, জেনস Vygen, সংযুক্তিকরণ অপ্টিমাইজেশান :

সংজ্ঞা 1.4।

মূলদ ইনপুট দিয়ে একটি অ্যালগরিদম চালানোর জন্য বলা হয় বহুপদী সময় যদি

• একটি পূর্ণসংখ্যার কে রয়েছে যা এটি সময়ে সঞ্চালিত হয় , যেখানে এন ইনপুট আকার এবং$O(n^k)$
• মধ্যবর্তী গণনাতে সমস্ত সংখ্যা বিট দিয়ে সংরক্ষণ করা যেতে পারে ।$O(n^k)$

নির্বিচারে ইনপুট দিয়ে একটি অ্যালগরিদম চালানোর জন্য বলা হয় জোরালোভাবে বহুপদী সময় যদি

• এর মধ্যে একটি পূর্ণসংখ্যার কে রয়েছে যে এটি সময়ে এন সংখ্যা এবং এর সমন্বিত যে কোনও ইনপুটটির জন্য চলে$O(n^k)$
• এটি যৌক্তিক ইনপুট জন্য বহুপক্ষীয় সময়ে চলে।

আমি ভুল হলে আমাকে সংশোধন করুন। আমি আক্ষরিক পার্থক্য লক্ষ্য করেছি নিম্নলিখিত:

• বহুবর্ষীয় সময়ের অ্যালগরিদমগুলির জন্য, কর্ট এবং ভাইজেনের সংজ্ঞাটি "উইকিপিডিয়া'র সংজ্ঞা + বহুপদী স্টোরেজ স্পেস"।

• দৃ strongly়ভাবে বহুপদী সময় অ্যালগরিদমগুলির জন্য, কর্ট এবং ভাইজেনের সংজ্ঞা এবং উইকিপিডিয়া সংজ্ঞা উভয়ই ইনপুট স্টোরেজ আকারে বহুবর্ষ সময় প্রয়োজন। তবে কে এবং ভি এর অতিরিক্তভাবে কোনও ইনপুট সংখ্যার সংখ্যাতে বহুপদী সময় প্রয়োজন, অন্যদিকে উইকিপিডিয়ায় অতিরিক্তভাবে ইনপুট আকারে বহুপদী স্টোরেজ স্পেস প্রয়োজন।

সুতরাং এই দুটি ধারণার জন্য যথাক্রমে কে এবং ভি এবং উইকিপিডিয়ায় সংজ্ঞা কি সমান? তাদের মধ্যে আর কী পার্থক্য এবং সম্পর্ক রয়েছে?

ধন্যবাদান্তে!

Comments

ডিফএন-র ঠিক পরে উইকিপিডিয়া বিভাগটির বেশ ভাল ব্যাখ্যা রয়েছে, এটি কি যথেষ্ট পরিষ্কার নয়? এটি কত বিট সংখ্যার প্রতিনিধিত্ব করে তা করতে হবে এবং খুব বড় সংখ্যা জটিলতার পরিমাপ "উপরের দিকে" প্রভাবিত করতে পারে। K&V এর সাথে সংজ্ঞাগুলি "সমান" সমতুল্য বলে মনে করেন। যুক্তিযুক্ত ইনপুট হিসাবে, একটি প্রমাণের প্রয়োজন যে যুক্তিগুলির গাণিতিকগুলি বড় আকারে তাদের আকার বাড়ায় না। মনে হয় সমস্ত ইনপুটগুলির এলসিডি সন্ধান করে এবং সমস্ত পাটিগণিত সংখ্যায় করে এলসিডির সাহায্যে এটি দেখানো যেতে পারে।

— vzn

@ ভিজেএন: উইকিপিডিয়া (১) এ ব্যাখ্যা পাটিগণিত বনাম ট্যুরিং মেশিনের পক্ষে শালীন তবে দৃ poly়-বহু-উদ্দেশ্য এবং সংজ্ঞা সম্পর্কে যথেষ্ট অগভীর এবং (২) জিসিডির উদাহরণ দিয়ে সম্পূর্ণ ভুল ছিল।

— আলেক্সেই

Answer 1

আনুষ্ঠানিক সংজ্ঞা দেওয়ার আগে, "দৃ strongly় / দুর্বল" শ্রেণিবিন্যাসের পার্থক্য কী তা বিবেচনা করুন।

প্রথমে, কোনও টিউরিং মেশিনে চলমান বিবেচনা করুন। উভয় বাইনারি-এনকোডড ইনপুটটির দৈর্ঘ্যে বহু পদে বহু পদক্ষেপে চলবে। ফলস্বরূপ, উভয় দ্বারা সম্পাদিত গাণিতিক ক্রিয়াকলাপগুলির সংখ্যা বাইনারি-এনকোডড ইনপুটটির দৈর্ঘ্যে বহুবচন হতে হবে । সুতরাং, উভয়ই ট্যুরিং মেশিনের জন্য চলমান সময় বহুগুণে বৃদ্ধি পাবে কারণ ইনপুট মানগুলির সংখ্যা বা তার পরিমাণ বাড়বে। পরেরটির উপর জোর দেওয়ার জন্য, দ্রষ্টব্য যে এমনকি শক্তিশালী ব্যক্তি আরও বৃহত্তর মাত্রায় আরও টিএম পদক্ষেপ গ্রহণ করবে (এটি কমপক্ষে অতিরিক্ত বিটগুলি পড়তে হবে)। কোনও পরিস্থিতিতেই ক্ষয়াত্মক হয়ে ওঠে না (যেমন সম্পর্কিত সম্পর্কযুক্ত সিউডো-বহু-কালীন সময়ে)। একা টুরিং মেশিনের সাহায্যে একটি মৌলিক পার্থক্য সনাক্তযোগ্য বলে মনে হয় না।

$O(1)$

অ্যালগরিদমের সেট যা গাণিতিক ক্রিয়াকলাপগুলির সংখ্যার সাথে ইনপুট সংখ্যার সংখ্যাতে বহন করে সংজ্ঞায়িত, তবে বাইনারি-এনকোড ইনপুট ( উদাহরণ দেখুন ) এর দৈর্ঘ্যে ঘন ঘন টিএম পদক্ষেপ গ্রহণকারী অ্যালগরিদমগুলির শ্রেণীর সাথে ওভারল্যাপ হয় । সুতরাং, এই সেটটির জন্য, দ্বিতীয় অনুচ্ছেদে থাকা বৈশিষ্ট্যগুলি ধরে রাখবে না। অবাঞ্ছিত ছেদটি বাদ দেওয়ার জন্য, আমরা বহুবর্ষের টিএম স্পেস [*] এর জন্য একটি শর্ত যুক্ত করি।

[1] এ এটি দুটি উপায়ে বলা হয়েছে:

• অ্যালগরিদম দৃ strongly়ভাবে বহুপদী সময়ে সঞ্চালিত হয় যদি অ্যালগরিদম একটি বহুভুজ স্থান অ্যালগরিদম হয় এবং বেশ কয়েকটি প্রাথমিক গাণিতিক ক্রিয়াকলাপ সম্পাদন করে যা ইনপুট সংখ্যার সংখ্যায় বহুপদী দ্বারা আবদ্ধ থাকে।
• একটি বহুবর্ষীয় অ্যালগরিদম হ'ল বহুতল স্পেস অ্যালগরিদম (আমাদের স্ট্যান্ডার্ড টিউরিং মেশিনের মডেলটিতে) এবং গাণিতিক মডেলটিতে বহুপদী সময় অ্যালগরিদম ( স্পষ্টির জন্য এই প্রশ্নটি দেখুন )।

$O(n^3)$$O(n^2)$

[*] দ্বিতীয় শর্তটি সর্বত্র বহুবর্ষীয় স্থান হিসাবে বর্ণনা করা হয়েছে, যদিও বহুবর্ষের সময় প্রয়োজন আমার কাছে আরও বোধ করে। প্রাক্তনটি আরও অন্তর্ভুক্ত তবে অদ্ভুত। বহু-কালিকের চেয়ে বেশি সময় নেয় এমন কি দৃ strongly়ভাবে বহুপদী আলগোরিদিম রয়েছে? দ্রষ্টব্য যে পুনরাবৃত্ত-স্কোয়ারিং উদাহরণটি বহুত্বের সময় বা বহু-স্থানের স্থান নেয় না।

[1] গ্রাটসেল, মার্টিন; লাজলি লোভেস, আলেকজান্ডার শ্রিজভার (1988)। "জটিলতা, ওরাকলস এবং সংখ্যার গণনা"। জ্যামিতিক অ্যালগরিদম এবং সম্মিলিত অপ্টিমাইজেশন। স্প্রিঙ্গের। আইএসবিএন 0-387-13624-এক্স।