| ডাব্লু | সাথে কীভাবে ডাব্লুএস করতে পারেন = | গুলি | এবং ডাব্লু s গুলি প্রসঙ্গ-মুক্ত হতে হবে যখন ডাব্লু # এস নয়?

Question

কেন (যদি তাই হয়) পৃথক দুটি ভাষার মধ্যে পার্থক্য আনছে ?$\#$

বলতে দাও:

$L=\{ws : |w|=|s|\, w,s\in \{0,1\}^{*}, w \neq s \}$

$L_{\#}=\{w\#s : |w|=|s|\, w,s\in \{0,1\}^{*}, w \neq s \}$

এখানে একটি প্রমাণ এবং একটি ব্যাকরণ রয়েছে যা কে হিসাবে উপস্থাপন করে$L$$CFL$

এবং নীচে আমি জন্য একটি প্রমাণ যুক্ত করছি :$L_{\#} \notin CFL$

Sign চিহ্নটি কী সত্যই কোনও পার্থক্য আনবে? যদি তাই হয় তবে তা কেন? এবং যদি না হয়, কোনটি প্রমাণ ভুল এবং কোথায়?$\#$

প্রমাণ :$L_{\#} \notin CFL$

দ্বন্দ্বের পথে ধরে নিন যে । প্রসঙ্গ-মুক্ত ভাষার জন্য পাম্পিং লেমা দ্বারা গ্যারান্টিযুক্ত জন্য পাম্পিং ধ্রুবক হতে দিনআমরা শব্দটি বিবেচনা করি যেখানে তাই । যেহেতু , পাম্পিং লেমা অনুসারে একটি প্রতিনিধিত্ব রয়েছে , যেমন , , এবং প্রতিটি ।$L ∈ CFL$$p > 0$$L$$s = 0^{m}1^{p}\#0^{p}1^{m}$$m=p!+p$$s ∈ L$$|s| > p$$s = uvxyz$$|vy| > 0$$|vxy| ≤ p$$uv^{j}xy^{j} z ∈ L$$j ≥ 0$

আমরা কেস দ্বারা একটি বৈপরীত্য পেতে:

• যদি বা থাকে : তবে জন্য আমরা যে থাকে না , তাই বৈপরীত্যে রয়েছে।$v$$y$$\#$$i = 0$$uxz$$\#$$uxz \notin L$

• উভয় তাহলে এবং বামে হয় অতঃপর জন্য , আমরা যে পেতে ফর্ম হল , যেখানে, তাই ।$v$$y$$\#$$i = 0$$uxz$$w\#x$$|w| < |x|$$uxz \notin L$

• যদি এবং উভয়ই তে ডান হয় : শেষ কেসের মতো।$v$$y$$\#$

• তাহলে ছেড়ে দেওয়া হয় , এটা করার অধিকার, এবং: তারপরে , আমরা যে ফর্মের , যেখানে, তাই ।$v$$\#$$y$$|v| < |y|$$i = 0$$uxz$$w\#x$$|w| > |x|$$uxz \notin L$

• তাহলে ছেড়ে দেওয়া হয় , এটা করার অধিকার, এবং: শেষ মামলার মতোই।$v$$\#$$y$$|v| > |y|$

• তাহলে ছেড়ে দেওয়া হয় , এটা করার অধিকার, এবং: এটি সবচেয়ে আকর্ষণীয় ঘটনা। যেহেতু , অন্তর্ভুক্ত করা আবশ্যক অংশ , এবং মধ্যে অংশ। সুতরাং এটি একই জন্য এবং holds ধরে রাখে (আসলে, এটি অবশ্যই সেই )) প্রতিটি , এটি হ'ল যে , সুতরাং যদি এটি ঘটে তবে$v$$\#$$y$$|v| = |y|$$|vxy| ≤ p$$v$$1^{p}$$s$$y$$0^{p}$$v = 1^{k}$$y = 0^{k}$$1 ≤ k ≤ p$$k < p/2$$j ≥ 0$$uv^{j+1}xy^{j+1}z = 0^{m}1^{p+j·k}\#0^{p+j·k}1^{m}$$m = p + j · k$, তারপরে এটি বৈপরীত্যে ধারণ করে । এই অর্জন করার জন্য, আমরা নিতে হবে , যা বৈধ শুধুমাত্র যদি দিয়ে বিভাজ্য । মনে রাখবেন যে আমরা বেছে, তাই, এবংযে কোনও চেয়েছিল হিসাবে বিভাজ্য ।$uv^{j+1}xy^{j+1}z \notin L$$j = (m-p)/k$$m − p$$k$$m = p + p!$$m − p = p!$$p!$$1 ≤ k ≤ p$

Answer 1

আপনার প্রমাণ সঠিক, এবং আমি ভুল ছিল। আমার বিভ্রান্তি যেখানে ছিল তা পেরে আমাকে কিছুটা সময় নিয়েছিল, কিন্তু ইউভালের সহায়তায় আমি মনে করি এটি পেয়েছি।

তিনটি ভাষা বিবেচনা করা যাক

$\qquad\begin{align*} &L_= &\!\!\!\!\!\!\!\!\! &= \{ xy \mid |x| = |y|, x \neq y \}, \\ &L_{\#} &\!\!\!\!\!\!\!\!\! &= \{ x\#y \mid x \neq y \},\ \text{and} \\ &L_{=\#} &\!\!\!\!\!\!\!\!\! &= \{ x\#y \mid |x| = |y|, x \neq y \}. \end{align*}$

যেমনটি আমরা এখানে দেখেছি , । ব্যাকরণটি, ব্যাকরণটিতে, "ডানদিকে" চিহ্নগুলি তৈরি করা তবে পরে "(বা অন্য উপায়ে)" বাম দিকে "তাদের গণনা করা, এটি নিশ্চিত করে তোলে যে মিল খুঁজে পাওয়া যায় না symb দৈর্ঘ্যের অবস্থা তুচ্ছ কারণ এটি দৈর্ঘ্য হ্রাস করে। আপনি অবস্থানটি মেলে স্ট্যাকটি ব্যবহার করে অনুরূপ ধারণা নিয়ে একটি এনপিডিএ তৈরি করতে পারেন।$L_=$

$L_\#$ টিও প্রসঙ্গমুক্ত । প্রমাণটি আরও সহজ: মেলানো প্রতীকগুলি শুরুর দিক থেকে একই দূরত্বে উপস্থিত হয়। বিভাজক। অসম দৈর্ঘ্য পৃথকভাবে চেক করা যেতে পারে; অ-নির্ধারণবাদ দুটি বিকল্পের মধ্যে "চয়ন" করে।

এখন, হিসাবে আপনি দেখাই, হয় না প্রেক্ষাপটে-বিনামূল্যে। এখানেই অন্য দুটি ভাষার প্রমাণগুলি ভেঙে যায়।$L_{=\#}$

1. এর ব্যাকরণে , যদি মাঝখানে একটি বিভাজক তৈরি করতে হয় তবে আমরা "বাম" থেকে "ডান" থেকে প্রতীকগুলি "পুনরায় নির্ধারণ করতে পারি না"।$L_=$
2. "দৈর্ঘ্য যদি অসম বা অমিল হয় তা গ্রহণ করুন" এর পরিবর্তে আমাদের " দৈর্ঘ্য সমান এবং মিল না থাকলে গ্রহণ করতে হবে "। অ-নির্ধারণবাদ আমাদের সাথে সাহায্য করতে পারে না এবং !

সুতরাং এটি স্বজ্ঞাতভাবে কীভাবে উঠেছে তা হ'ল " " এবং " " ফর্মের শর্তগুলি উভয়ই "প্রসঙ্গ-মুক্ত" এই অর্থে যে এগুলি একটি স্ট্যাক দিয়ে পরীক্ষা করা যেতে পারে, তবে সসীম নিয়ন্ত্রণ ব্যবহার করা হচ্ছে না। অতএব, একটি পিডিএ দুটি করতে পারে না তবে একটি করতে পারে।$x \neq y$$|x| = |y|$

"চিটস" এর জন্য পিডিএ যেহেতু এটি এবং জন্য এই শর্তগুলি সত্যিই পরীক্ষা করে না ; এটি শব্দটিকে আলাদা উপায়ে বিভক্ত করে। আপনার বিভাজক থাকলে এটি আর সম্ভব নয়।$L_=$$x$$y$

---

সংযোজন: আমি দাবি করেছি যে কারণ সিএফএল বিপরীত সমকামীতার বিরুদ্ধে বন্ধ রয়েছে। যদিও এটা সত্যি যে সঙ্গে এটা ছাড়া পরিচয় মুছে ফেলে যে প্রাসঙ্গিক নয়। ; কিছুই বলা যেতে পারে ।$L_= \in \mathrm{CFL} \implies L_{=\#} \in \mathrm{CFL}$$f(L_{=\#}) = L_=$$f$$\#$$f^{-1}(L_=) = L_\#$$L_{=\#}$

---

সংযোজন দ্বিতীয়: নোট করুন যে v তুচ্ছভাবে প্রসঙ্গমুক্ত। সুতরাং, with সহ আমাদের সিএফএল ছেদ করার বিপরীতে বন্ধ না হওয়ার জন্য একটি চমৎকার উদাহরণ রয়েছে।$L = \{ x\#y \mid |x| = |y| \}$$L \cap L_\# = L_{=\#}$