একটি তুচ্ছ-তুচ্ছ টাইপ রয়েছে যা তার নিজস্ব ডেরাইভেটিভের সমান?

নিয়মিত ধরণের ডেরিভেটিভ নামে একটি নিবন্ধটি এর ধরণের ওয়ান-হোল প্রসঙ্গটি দেখায় যে কোনও ধরণের "জিপার" - তার এক গর্তের প্রসঙ্গগুলি al টাইপ বীজগণিতের পার্থক্যের নিয়ম অনুসরণ করে।

আমাদের আছে:

\begin{aligned} \partial_{x} x & \mapsto 1 \\ \partial_{x} 0 & \mapsto 0 \\ \partial_{x} 1 & \mapsto 0 \\ \partial_{x} (S + T) & \mapsto \partial_{x} S + \partial_{x} T \\ \partial_{x} (S \times T) & \mapsto \partial_{x} S \times T + S \times \partial_{x} T \end{aligned}

$\begin{align} \partial_x x &\mapsto 1 \\ \partial_x 0 &\mapsto 0 \\ \partial_x 1 &\mapsto 0 \\ \partial_x (S + T) &\mapsto \partial_x S + \partial_x T \\ \partial_x (S\times T) &\mapsto \partial_xS \times T + S \times \partial_x T \end{align}$

আমরা এই মডেলটি ব্যবহার করতে পারি যে ইউনিটটির ডেরাইভেটিভ শূন্য, এটি তালিকার ডেরিভেটিভ দুটি তালিকার একটি পণ্য (উপসর্গের প্রত্যয় প্রত্যয়) ইত্যাদি on

একটি প্রাকৃতিক প্রশ্ন জিজ্ঞাসা করা হয়, "এর নিজস্ব ডেরাইভেটিভ কি ধরণের?" অবশ্যই আমাদের ইতিমধ্যে $\partial_x 0 \mapsto 0$ , যা আমাদের বলে যে অকার্যকর (জনশূন্য প্রকার) এর নিজস্ব ডেরাইভেটিভ, তবে এটি খুব আকর্ষণীয় নয়। এটি সাধারণ ইনফিনাইটিমাল ক্যালকুলাসে শূন্যের অনুপাতের শূন্যের সত্যতার এনালগ।

সমীকরণের অন্যান্য সমাধান আছে $\partial_x T \mapsto T$ কি? বিশেষ করে, সেখানে একটি এনালগ হয় $\partial_x e^x = e^x$ টাইপ বীজগণিত? কেন অথবা কেন নয়?

type-theory algebra

— ম্যাথু পিজিয়াক
সূত্র

সংযুক্ত প্রজাতির তত্ত্বে আছে, এবং সেখানে এটি (সসীম) সেটগুলির প্রজাতির সাথে মিলে যায় তবে এটি কোনও বীজগণিত ডেটা ধরণের সাথে সামঞ্জস্য করে না।

— ডেরেক এলকিনস ২ SE

"সমান" বলতে কী বোঝ? আপনার বিশ্বের হয়

এবং

কি সমান?

এবং

সম্পর্কে কীভাবে ?

(S + T) \to U

$(S + T) \to U$

(S \to U) \times (T \to U)

$(S \to U) \times (T \to U)$

N

$\mathbb{N}$

L i s t (N)

$\mathsf{List}(\mathbb{N})$

— আন্দ্রেজ বাউয়ার

@ আন্দ্রেজবাউর প্রাক্তন হ্যাঁ, দ্বিতীয়টি নম্বরে রয়েছে।

iterated পণ্যের সমান

আমার মনের মধ্যে। এটি বলেছিল, আমার মনে ধরণের সাম্যতার একটি কঠোর মডেল নেই এবং আপনার কাছে যদি একটি মডেল থাকে তবে আপনি আমাকে এটি উল্লেখ করতে পারেন এটি পড়ে খুশি হব।

L i s t (N)

$\mathsf{List}(\mathbb{N})$

1 + N + N \times N + N \times N \times N + \dots = \sum_{n = 0}^{\infty} N^{n}

$1 + \mathbb{N} + \mathbb{N} \times \mathbb{N} + \mathbb{N} \times \mathbb{N} \times \mathbb{N} + \ldots = \sum_{n=0}^{\infty} \mathbb{N}^{n}$

— ম্যাথু পিজিয়াক

@ ডেরেক্লিনকিন্স যেমনটি ঘটে, ম্যাকব্রাইডের আর একটি নিবন্ধ, ক্লাউনকে আমার বামে ডেকে, জোকাররা ডানদিকে তুলে ধরেছে যে, "সসীম কাঠামোর জন্য, [জিপারসে অপারেটরের পুনরাবৃত্তি] ডেটাটাইপগুলি পাওয়ার সিরিজ গঠনের জন্ম দেয় সরাসরি, বাম থেকে ডানে সমস্ত উপাদান সন্ধান করা .... এইভাবে সংযুক্ত প্রজাতির ধারণার সাথে একটি গুরুত্বপূর্ণ সংযোগ রয়েছে "। সুতরাং আমি যদি বিস্মিত হই না তবে সম্মিলিত প্রজাতির এই প্রশ্নটির প্রসঙ্গেও কিছু আকর্ষণীয় ভূমিকা পালন করতে পারে।

— ম্যাথু পাইজিয়াক

@ ম্যাথেজপিজিয়াক তারা অবশ্যই করেন। ব্রেন্ট ইয়র্জি এই সম্পর্কে বেশ কিছুটা কথা বলেছেন । তার থিসিসটিও দেখুন ।

— ডেরেক এলকিনস এসই

উত্তর:

সসীম multisets বিবেচনা । তার উপাদান দ্বারা দেওয়া হয় একাধিক বিন্যাসন দ্বারা quotiented, যাতে কোন । এই জাতীয় কোনও উপাদানের জন্য ওয়ান হোল প্রসঙ্গটি কী? ঠিক আছে,গর্তের জন্য একটি অবস্থান বাছাই করার জন্যঅবশ্যই আমাদের অবশ্যই থাকতে হবে, তাই আমাদের বাকি $\mathbf{Bag}\:X$ $\{x_1,\ldots,x_n\}$ $\{x_1,\ldots,x_n\}=\{x_{\pi 1},\ldots,x_{\pi n}\}$ $\pi\in\mathbf{S}_n$ $n>0$ উপাদান, তবে আমরা কোথায় কোনটি সে সম্পর্কে বুদ্ধিমান নই। (এটি তালিকার বিপরীতে, যেখানে গর্তের জন্য অবস্থান বেছে নেওয়া একটি তালিকাকে দুটি বিভাগে বিভক্ত করে এবং দ্বিতীয় ডেরাইভেটিভ কাটগুলি সেই বিভাগগুলির মধ্যে একটি নির্বাচন করে এবং এটির আরও কেটে দেয়, যেমন সম্পাদক হিসাবে "পয়েন্ট" এবং "চিহ্ন", তবে আমি ডিগ্রিরিং করি। ) একটি একটি এক-গর্ত প্রসঙ্গ $n-1$ এইভাবে একটি হল $\mathbf{Bag}\:X$ , এবং প্রতিটি $\mathbf{Bag}\:X$ যেমন উত্থাপিত হতে পারে। স্থানিকভাবে ভাবনা, এর ডেরাইভেটিভ $\mathbf{Bag}\:X$ নিজেই হওয়া উচিত। $\mathbf{Bag}\:X$

এখন,

B a g X = \sum_{n \in N} X^{n} / S_{n}

$\mathbf{Bag}\:X = \sum\limits_{n\in\mathbb{N}}X^n/\mathbf{S}_n$

tuple আকারের একটি পছন্দ , একটি tuple সঙ্গে আদেশের একটি বিন্যাস গ্রুপ উপাদান আপ আমাদের ঠিক শক্তি সিরিজ সম্প্রসারণ দান । $n$ $n$ $n!$ $e^x$

Naively, আমরা আকার একটি সেট দ্বারা ধারক ধরনের বৈশিষ্ট্য করতে এবং পজিশনের একটি আকৃতি নির্ভর পরিবার : $S$ $P$ যাতে কোনও ধারক আকৃতির পছন্দ এবং অবস্থান থেকে উপাদানগুলিতে একটি মানচিত্র দিয়ে দেওয়া হয়। ব্যাগ এবং এই জাতীয় জিনিসগুলি সহ একটি অতিরিক্ত মোচড় রয়েছে।

\sum_{s : S} X^{(P s)}

$\sum\limits_{s:S}X^{(P\,s)}$

ব্যাগের "আকৃতি" কিছুটা ; "অবস্থান" হয় , আকার নির্দিষ্ট সেট থেকে একাধিক বিন্যাসন অধীনে পরিবর্তিত কিন্তু উপাদান পদ থেকে মানচিত্র হওয়া আবশ্যক । কোনও ব্যাগ অ্যাক্সেস করার কোনও উপায় নেই যা এর উপাদানগুলির বিন্যাসটি "সনাক্ত করে"। $n\in\mathbb{N}$ $\{1,\ldots,n\}$ $n$ $\mathbf{S}_n$

পূর্ব মিডল্যান্ডস কনটেইনার কনসোর্টিয়াম প্রোগ্রাম নির্মাণ 2004 এর গণিতের জন্য কোটিয়েন্টিয়েন্ট প্রকারের সাথে বহুবর্ষ সংক্রান্ত প্রোগ্রাম গঠনে এ জাতীয় কাঠামোগুলি সম্পর্কে লিখেছেন । কোটিয়েন্টিয়েন্ট পাত্রে একটি অটোমোরফিজম গ্রুপকে পজিশনে কাজ করার অনুমতি দিয়ে "আকার" এবং "পজিশন" দ্বারা কাঠামোগুলির আমাদের সাধারণ বিশ্লেষণ বাড়ানো হয়। আমাদের যেমন unordered জোড়া যেমন কাঠামো বিবেচনা করতে সক্ষম হবেন , মৌলিক সঙ্গে । একটি নিরক্ষিত টিউপল দ্বারা প্রদত্ত , এবং এর ডেরাইভেটিভ (যখন একটি আনর্ডারড টুপল হয়)। ব্যাগগুলি এর যোগফল নেয়। আমরা একই ধরণের গেম খেলতে পারি $X^2/2$ $X$ $n$ $X^n/n!$ $n>0$ $n-1$ চক্রীয় টিপলস, , যেখানে গর্ত পেরেকের জন্য একটি অবস্থান বেছে নিয়ে ঘূর্ণনটি এক জায়গায় স্থান দেওয়া, রেখে $n$ $X^n/n$ একটি টুপল ছোট। $X^{n-1}$

"টাইপ বিভাগ" সাধারণভাবে অনুধাবন করা শক্ত, তবে ক্রমান্বয়ে গ্রুপগুলি (সংযোজক প্রজাতির মতো) দ্বারা ভাগ করে নেওয়া অর্থবোধ করে এবং এর সাথে খেলতে মজা দেয়। (ব্যায়াম: সংখ্যার unordered জোড়া জন্য কাঠামোগত আনয়ন নীতি প্রণয়ন, , এবং এটি ব্যবহার ছাড়াও এবং গুণ তাই বাস্তবায়ন যে তারা নির্মাণ দ্বারা করছি বিনিময়।) $\mathbb{N}^2/2$

ধারকগুলির "আকার এবং অবস্থানগুলি" বৈশিষ্ট্য উভয়টিরই উপর সীমাবদ্ধতা আরোপ করে না। সম্মিলিত প্রজাতি আকার দ্বারা সংগঠিত ঝোঁকসম্মিলিত পরিবর্তে , যা প্রতিটি ব্যয়কারীর জন্য গুণনীয়ক সংগ্রহ করে এবং সংখ্যার হিসাব করে। সীমাবদ্ধ-পজিশন-সেট এবং সমন্বয়কারী প্রজাতি সহ কোটিয়েন্টিয়েন্ট-ধারকগুলি একই পদার্থে মূলত বিভিন্ন স্পিন।

— pigworker
সূত্র

আসল লেখক হাজির! আমাদের এই সুন্দর ফলাফলটি দেখাতে থামার জন্য আপনাকে ধন্যবাদ।

— ম্যাথু পিজিয়াক

কিভাবে অসীম সমষ্টি সম্পর্কে ডেরাইভেটিভটি হ'ল যা এবং সংযোগের দ্বারা মূলের সমান।

\sum_{i, j \in N} X^{i} ?

$\sum_{i, j \in \mathbb{N}} X^i ?$

\sum_{i, j \in N} \underset{i + 1}{\underset{⏟}{X^{i} + \dots + X^{i}}}

$\sum_{i, j \in \mathbb{N}} \underbrace{X^i + \cdots + X^i}_{i+1}$

এছাড়াও, অসীম যোগফল ) সমান , তাই আমরা তালিকা ব্যবহার করে ডেরিভেটিভ গণনা করার চেষ্টা করতে পারি। $\sum_{j \in \mathbb{N}} \mathsf{List}(X)$

— আন্দ্রেজ বাউয়ার
সূত্র

তালিকার ডেরাইভেটিভ হ'ল তালিকার একজোড়া (উপসর্গের প্রত্যয় প্রত্যয়)। যোগফলের ভিত্তিতে, তালিকার তালিকার একটি অনুকরণীয় তালিকা তালিকাগুলির তালিকা। তালিকার তালিকার তালিকায় জোড়ের তালিকার তালিকা রয়েছে?

— ম্যাথু পাইজিয়াক

@ ম্যাথেজপিজিয়াক সম্ভবত প্রথম সূত্রটি

হিসাবে ভাবা আরও সহজ । ব্যুৎপন্ন গ্রহণ, আমরা পেতে

(জন্য সুস্পষ্ট অর্থ সঙ্গে

)। এখন, আমাদের কেবল

। আমার কাছে এটি দেখতে কিছুটা মিল (খুব অনানুষ্ঠানিকভাবে)

, পাওয়ার সিরিজের সহগগুলি বাদে

হিসাবে বেছে নেওয়া হয়

\sum_{i \in N} N \times X^{i}

$\sum_{i\in \mathbb{N}} \mathbb{N}\times X^i$

\sum_{i \in N} i \times N \times X^{i}

$\sum_{i\in \mathbb{N}} i\times \mathbb{N}\times X^i$

i

$i$

N ≃ i \times N

$\mathbb{N}\simeq i\times \mathbb{N}$

e^{x} = \sum_{i} x^{i} / n!

$e^x = \sum_i x^i/n!$

+ \infty

$+\infty$ (যেমন,

), যাতে তারা

বিশ্বে

সন্তুষ্ট করতে পারে ।

N

$\mathbb{N}$

a_{n} = (n + 1) \cdot a_{n + 1}

$a_{n} = (n+1) \cdot a_{n+1}$

— চি

@MatthewPiziak ওহো, আমি লিখেছি

পরিবর্তে

, কিন্তু আমি মনে করি এটা পরিষ্কার কি আমি বোঝানো।

n

$n$

i

$i$

— চি