চক্রীয় স্থানান্তরের অধীনে প্রসঙ্গ-মুক্ত ভাষা বন্ধ করার সহজ প্রমাণ Easy

Question

আবর্তনশীল শিফট (নামেও ঘূর্ণন বা সংশ্লেষ একটি ভাষা এর) হিসাবে সংজ্ঞায়িত করা হয় । উইকিপিডিয়া অনুসারে (এবং এখানে ) প্রসঙ্গ-মুক্ত ভাষাগুলি এই অপারেশনের অধীনে বন্ধ করা হয়েছে, ওশিবা এবং মাসলভের কাগজপত্রের উল্লেখ সহ। এই সত্যের কোন সহজ প্রমাণ আছে?$L$$\{ yx \mid xy \in L \}$

নিয়মিত ভাষার জন্য এই রূপটি বন্ধ হিসাবে এই ফর্মটিতে আলোচনা করা হয় " প্রমাণ করুন যে চক্র অপারেটরের অধীনে নিয়মিত ভাষা বন্ধ রয়েছে "।

Answer 1

আপনি পুডডাউন অটোমেটা ব্যবহার করার চেষ্টা করতে পারেন। মূল ভাষার জন্য একটি পুশডাউন অটোমেটন দেওয়া, আমরা চক্রীয় শিফ্টের জন্য একটি তৈরি করি। নতুন যন্ত্রমানব দুই পর্যায়ে কাজ করে, সংশ্লিষ্ট এবং শব্দের অংশ (যেখানে মূল ভাষায়) হয়। প্রথম পর্যায়ে, যখনই অটোমেটন একটি নন-টার্মিনাল পপ করতে চায় , এটি পরিবর্তে একটি নন-টার্মিনাল চাপতে পারে ; ধারণাটি হ'ল প্রথম পর্যায়ে শেষে, স্ট্যাকটি বিপরীত ক্রমে থাকবে, মূল অটোমেটনের দ্বারা পড়ার পরে স্ট্যাকের মধ্যে যে চিহ্নগুলি পাওয়া যায় । দ্বিতীয় পর্বে (সুইচ অ নির্ণায়ক হয়), পরিবর্তে একটি অ-টার্মিনাল ঠেলাঠেলি এর$y$$x$$yx$$xy$$A$$A'$$x$$A$, আমাদের একটি নন-টার্মিনাল পপ করার অনুমতি দেওয়া হয় । যদি মূল অটোমেটন সত্যই পড়ার পরে স্ট্যাকটি তৈরি করতে পারে তবে নতুনটি পুরো স্ট্যাকটি ঠিক পপ করতে সক্ষম হবে।$A'$$x$

সম্পাদনা করুন: এখানে আরও কিছু বিবরণ দেওয়া হল। ধরুন আমরা বর্ণমালা সঙ্গে একটি পিডিএ দেওয়া হয় , রাজ্য সেট , গ্রহণ রাজ্যের সেট , অ-টার্মিনাল , প্রাথমিক অবস্থায় , এবং অনুমোদিত ট্রানজিশন একটি সেট। প্রতিটি মঞ্জুরিযোগ্য রূপান্তরটি ফর্ম হল , যার অর্থ যখন রাজ্যের যে , পড়ার উপর (অথবা , যে ক্ষেত্রে এটি একটি বিনামূল্যে রূপান্তরটি আছে), যদি স্ট্যাকের শীর্ষ-স্থিতি (বা , যার অর্থ স্ট্যাকটি খালি) থাকে, তবে পিডিএ প্রতিস্থাপন করে (এটি একটি অ-নিরোধক মডেল) রাজ্য যেতে পারেΣ প্রশ্ন এফ Γ কুই 0 ( কুই , একটি , একটি , কুই ' , α ) কুই একটি ∈ একটি একটি = ε একটি ∈ Γ একটি = ε কুই ' একজন α ∈ Γ $\Sigma$$Q$$F$$\Gamma$$q_0$$(q,a,A,q',\alpha)$$q$$a \in A$$a = \epsilon$$A \in \Gamma$$A = \epsilon$$q'$$A$ with সহ ।$\alpha \in \Gamma^*$

নতুন পিডিএতে প্রতিটি -এর জন্য একটি নতুন অ-টার্মিনাল । এবং every এ প্রতি দুটি রাজ্যের এর জন্য দুটি রাষ্ট্র । প্রারম্ভিক রাজ্যগুলি (প্রকৃত শুরুর রাষ্ট্রটি তাদের মধ্যে এপসিলন-ট্রান্সশিশনের মাধ্যমে অ- নিরঙ্কুশভাবে বেছে নেওয়া হয় ) হ'ল । প্রতিটি ট্রানজিশনের জন্য একই রকম ট্রানজিশনগুলি এবং । পাশাপাশি অন্যান্য রূপান্তর রয়েছে।এ ′ এ ∈ Γ কিউ , কিউ ′ ∈ কিউ এ ∈ Γ ∪ { ϵ } ( কিউ , কিউ ′ , ১ ) , ( কিউ , কিউ ′ , ২ , এ ) ϵ ( কিউ , কিউ , ১ ) ( কিউ , এ , একজন , কুই ' , α ) ( ( কুই $A'$$A \in \Gamma$$q,q' \in Q$$A \in \Gamma \cup \{\epsilon\}$$(q,q',1),(q,q',2,A)$$\epsilon$$(q,q,1)$$(q,a,A,q',\alpha)$কুই " , 1 ) , একটি , একটি , ( থ ' , কুই " , 1 ) , α ) ( ( কুই , কুই " , 2 , বি ) , একটি , একটি , ( থ ' , কুই " , 2 , বি ) , α $((q,q'',1),a,A,(q',q'',1),\alpha)$$((q,q'',2,B),a,A,(q',q'',2,B),\alpha)$

প্রতিটি ট্রানজিশনের এর জন্য ট্রানজিশন রয়েছে , যেখানে এবং । প্রত্যেক চূড়ান্ত রাষ্ট্রপক্ষে সেখানে ট্রানজিশন হয় , যেখানে ।( থ , একটি , একটি , কুই ' , α ) ( ( কুই , কুই " , 1 ) , একটি , বি ' , ( থ ' , কুই " , 1 ) , বি ' একটি ' α ) বি ∈ Γ ∪ { ε } ϵ ′ = ϵ কিউ ∈ এফ ( ( কিউ $(q,a,A,q',\alpha)$$((q,q'',1),a,B',(q',q'',1),B'A'\alpha)$$B \in \Gamma \cup \{\epsilon\}$$\epsilon' = \epsilon$$q \in F$কুই " , 1 ) , ε , একজন , ( থ 0 , কুই " , 2 , ε ) , একজন ) একটি ∈ Γ ∪ { ε $((q,q'',1),\epsilon,A,(q_0,q'',2,\epsilon),A)$$A \in \Gamma \cup \{\epsilon\}$

প্রতিটি ট্রানজিশনের জন্য , ট্রানজিশন রয়েছে , যেখানে । প্রতিটি সংক্রমণের জন্য , স্থানান্তরগুলি রয়েছে , যেখানে । প্রতিটি রূপান্তর এর জন্য "জেনারালাইজড ট্রানজিশন" ; এগুলি একটি মধ্যবর্তী নতুন রাষ্ট্রের মাধ্যমে দুটি ট্রানজিশনের ক্রম হিসাবে প্রয়োগ করা হয়। রূপান্তর\ আলফা) সাথে( থ , একটি , ε , কুই ' , α ) ( ( কুই , কুই " , 2 , একটি ) , একটি , বি ' , ( থ ' , কুই " , 2 , একটি ) , বি ' α ) একটি ∈ Γ ∪ { ϵ } ( কিউ , এ , ϵ , কিউ $(q,a,\epsilon,q',\alpha)$$((q,q'',2,A),a,B',(q',q'',2,A),B'\alpha)$$A \in \Gamma \cup \{\epsilon\}$, এ ) ( ( কিউ , কিউ ″ , ২ , বি ) , এ , এ ′ , ( কিউ ′ , কিউ ″ , ২ , এ ) , ϵ ) বি ∈ Γ ∪ { ϵ } ( কিউ , এ , এ , কিউ ′) , বি ) ( ( কুই , কুই " , $(q,a,\epsilon,q',A)$$((q,q'',2,B),a,A',(q',q'',2,A),\epsilon)$$B \in \Gamma \cup \{\epsilon\}$$(q,a,A,q',B)$, সি ) , এ , বি ′ এ , ( কিউ , কিউ ″ , ২ , সি ) , ϵ ) ( কিউ , এ , ϵ , কিউ ′ , α ) | α | । $((q,q'',2,C),a,B'A,(q,q'',2,C),\epsilon)$$(q,a,\epsilon,q',\alpha)$$|\alpha| \geq 2$একইভাবে পরিচালিত হয় প্রতিটি রূপান্তর এর জন্য স্থানান্তর রয়েছে , যেখানে । রূপান্তরগুলি একইভাবে পরিচালিত হয়। অবশেষে, একটি একক চূড়ান্ত রাষ্ট্র , এবং স্থানান্তরগুলি রয়েছে ।( থ , একটি , একটি , কুই ' , একটি ) ( ( কুই , কুই " , 2 , একটি ) , একটি , বি , ( থ ' , কুই " , 2 , একটি ) , বি ) বি ∈ Γ ' ∪ { ε } ( q , a , A , q ′ , $(q,a,A,q',A)$$((q,q'',2,A),a,B,(q',q'',2,A),B)$$B \in \Gamma' \cup \{\epsilon\}$α ) চ ( ( কিউ , কিউ , ২ , এ ) , ϵ , ϵ , চ , ϵ $(q,a,A,q',A\alpha)$$f$$((q,q,2,A),\epsilon,\epsilon,f,\epsilon)$

(এখানে কয়েকটি সংকেত থাকতে পারে যা আমি মিস করেছি এবং আমি যে বিশদটি বাদ দিচ্ছি তার কিছুটা অগোছালো)।

প্রত্যাহার করুন আমরা একটি শব্দ গ্রহণ করার চেষ্টা করছি , যেখানে মূল পিডিএ দ্বারা স্বীকৃত। একটি রাষ্ট্র অর্থ হ'ল আমরা 1 ম পর্যায়ে , রাষ্ট্রীয় এবং মূল পিডিএ পড়ার পরে রাষ্ট্রীয় । একটি রাষ্ট্র সমান, যেখানে সর্বশেষ যা পপ হয়েছিল। পর্যায় 1 এ, আমরা ধাক্কা করার অনুমতি দেওয়া হয় পরিবর্তে পপিং এর । প্রক্রিয়াকরণের সময় উত্পাদিত প্রতিটি অ-টার্মিনালের জন্য আমরা এটি করি , তবে প্রসেসের সময় কেবল পপড হয় । দ্বিতীয় পর্যায়ে, আমাদের পপ করার অনুমতি দেওয়া হচ্ছেY এক্স এক্স ওয়াই ( কুই , কুই ' , 1 ) কুই কুই ' এক্স ( কুই , কুই ' , 2 , একটি ) একটি একটি ' একটি ' একটি এক্স Y একটি $yx$$xy$$(q,q',1)$$q$$q'$$x$$(q,q',2,A)$$A$$A'$$A'$$A$$x$$y$$A'$পরিবর্তে ঠেলাঠেলি এর । যদি আমরা এটি করি, তবে আমাদের মনে রাখতে হবে যে শীর্ষ-স্টকটি সত্যই ; এটি কেবল তখনই প্রযোজ্য যখন স্ট্যাকের কোনও "অস্থায়ী" জিনিস নেই, যা সিমুলেটেড পিডিএতে টপ-অফ-স্ট্যাক বা ফর্মের সমান ।এ এ ϵ বি $A$$A$$\epsilon$$B'$

এখানে একটি সহজ উদাহরণ। একটি যন্ত্রমানব বিবেচনা যে পাহাড় জমে প্রত্যেকের জন্য , এবং পপ প্রত্যেকের জন্য । : নতুন যন্ত্রমানব দুই ফর্ম শব্দের গ্রহণ এবং । প্রথম ফর্ম শব্দের জন্য, মঞ্চ 1 টি ঠেলাঠেলি নিয়ে গঠিত বার , মঞ্চ 2 পপিং নিয়ে গঠিত বার , ঠেলাঠেলি বার , এবং পপিং বার । দ্বিতীয় রূপের শব্দের জন্য, আমরা প্রথমে বারএক্স এন ওয়াই এন একজন এক্স একটি Y Y ট এক্স এন ওয়াই এন - ট এক্স ট Y এন এক্স এন - ট ট একজন ' ট একজন ' এন - ট একজন এন - ট একজন ট $x^n y^n$$A$$x$$A$$y$$y^k x^n y^{n-k}$$x^k y^n x^{n-k}$$k$$A'$$k$$A'$$n-k$$A$$n-k$$A$$k$$A$, তারপরে পপ বার , বার , দ্বিতীয় পর্যায়ে স্থানান্তর করুন এবং পপ বার ।ট একজন এন - ট একজন ' এন - ট একজন $k$$A$$n-k$$A'$$n-k$$A'$

এখানে আরও জটিল উদাহরণ, বিভিন্ন ধরণের ("()", "[]]", "<>") ভারসাম্যপূর্ণ বন্ধনীগুলির ভাষার জন্য যেমন প্রতিটি ধরণের বন্ধনীর তাত্ক্ষণিক বংশধরদের অবশ্যই আলাদা ধরণের অন্তর্ভুক্ত থাকতে হবে। উদাহরণস্বরূপ, "([] <>)" ঠিক আছে তবে "()" ভুল। প্রতিটি "(", আমরা ধাক্কা জন্য যদি উপরের অফ স্ট্যাক নয় , প্রতিটি জন্য ")", আমরা পপ । একইভাবে , "[]" এবং "<>" এর সাথে যুক্ত। এখানে আমরা কীভাবে ">) ([()) <" শব্দটি গ্রহণ করি> আমরা ">)" , এবং ২ য় ধাপে স্থানান্তরিত করেছি আমরা "(", পপিং গ্রাস করি এবং উপরের অফ স্ট্যাক স্মরণ । আমরা "[()]" গ্রাস করি, ঠেলে এবং পপিং করি ; যখন ধাক্কাএ এ এ বি সি সি ′ এ ′ এ ′ এ বি এ $A$ $A$$A$$B$$C$$C'A'$$A'$$A$$BA$$B$ , আমরা সচেতন যে "আসল" টপ-অফ-স্ট্যাকটি এবং তাই বর্গাকার বন্ধনীগুলি অনুমোদিত (আমরা "> দ্বারা বোকা হবে না) (() <"); যখন ঠেলাঠেলি , যেহেতু উপরের অফ স্ট্যাক হয় (যা নয় বা ফর্মের ), তারপর আমরা জানি যে এছাড়াও "বাস্তব" শীর্ষ অফ স্ট্যাকের, এবং তাই বৃত্তাকার প্রথম বন্ধনী অনুমতি দেওয়া হয় (যদিও শ্যাডো টপ-অফ-স্ট্যাক )। অবশেষে, আমরা "<" এবং পপ গ্রাস করি ।একজন একজন বি ε এক্স ' বি একজন সি $A$$A$$B$$\epsilon$$X'$$B$$A$$C'$

Comments

দুঃখিত, বুঝতে আমার সমস্যা হচ্ছে - আপনি কি আরও ব্যাখ্যা করতে পারেন? অটোমেটন কোথায় শুরু হয় এবং এর রূপান্তরগুলি কী? এবং প্রতিটি স্ট্যাক চিহ্নের জন্য কি স্যুইচ হয়? ধন্যবাদ! $A \to A^{\prime}$

— usul

খুব আকর্ষণীয় পরামর্শ। ধন্যবাদ। এটিকে কিছুটা ডুবতে দিতে আমি এটিকে সামান্য চিবিয়ে দেব

— হেনড্রিক

@ ইউসুল, আপনাকে নিজেরাই বিশদটি পূরণ করতে হবে। সুইচ (প্রথম পর্যায়ে) ঘটা উচিত যখন যন্ত্রমানব "চায়" পপ কিন্তু করতে পারে না এবং এর পরিবর্তে এটি push কর্মের । আপনি এটি একটি অ-বিবাদী পদক্ষেপ হিসাবে ভাবতে পারেন। একজন → একটি ' একটি একটি $A \rightarrow A'$$A$$A'$

— যুবাল ফিল্মাস

@ ইউভাল: দুঃখিত তবে আমি এটি ঘটতে পারি না। আমি যেমন আপনার ধারণাটি বুঝতে পারি, নতুন অটোমেটনটি অংশটি অনুকরণ করে , পপ এবং পুশ পরিবর্তন করে শুরু হয় starts তারপরে স্ট্যাকের উপর তৈরি করুন, যেখানে পড়ার সময় আসল অটোমেটনটি দিয়ে শুরু হয় । ওয়াট কি ধাক্কা দিয়ে আসল শুরু হয়? তারপরে নিউইউ অটোমেটনের খালি স্ট্যাক থেকে পপ করা দরকার। আমি এখনও আপনার অন্তর্দৃষ্টি সার্থক মনে করি, তবে কিছু অতিরিক্ত যত্ন প্রয়োজন বলে মনে হচ্ছে। y α α $y$$\alpha$$\alpha$$y$

— হেন্ডরিক জানুয়ারী

@ হেনড্রিক, আমি দুঃখিত, তবে আমি আপনার পাল্টা নমুনা অনুসরণ করতে পারি না। আপনি কী মনে করেন যে নতুন অটোমেটনের খালি স্ট্যাক থেকে পপ করা উচিত?

— যুবাল চলচ্চিত্র

Answer 2

গ্রিবাচ স্বাভাবিক ফর্ম বিবেচনা করুন । স্থানান্তরিত ভাষাটি তৈরি করতে আপনার কেবলমাত্র প্রডাকশনগুলি কে পরিবর্তন করতে হবে এবং একটি নতুন অ-টার্মিনাল করতে হবে যা মতো আচরণ করে , কিছু ক্ষেত্রে উত্পাদিত ।এস → α এ 1 … এ এন এস → এ 1 … এ এন α এস ′ এস $S \to \alpha A_1 \dots A_n$$S \to A_1\dots A_n \alpha$$S'$$S$$S$

Comments

ধন্যবাদ, তবে এটি একটি একক চিঠির মাধ্যমে স্থানান্তরিত। আমি সাধারণ আবর্তে আগ্রহী, একটি স্বতন্ত্র সংখ্যক চিঠি দিয়ে।

— হেন্ডরিক জানুয়ারী

@HendrikJan, আচ্ছা, যদি প্রসঙ্গ মুক্ত, তাই হয় নিশ্চয় বিনামূল্যে পাশাপাশি প্রেক্ষাপটে হবে। আপনি পদ্ধতি প্রয়োগের দ্বারা এটির জন্য একটি ব্যাকরণ গঠন করা যেতে পারে আমি প্রস্তাবিত বার। এছাড়াও আপনি গঠন করা যেতে পারে ব্যাকরণ সরাসরি "সমরূপতার" দেওয়া ব্যাকরণ দ্বারা উদাহরণস্বরূপ, যদি এবং ব্যাকরণে এবং প্রযোজনাগুলি থাকে তবে আপনি একটি প্রযোজনা এবং এটি ঘোরান course অবশ্যই, আকারের আকার আপনার ব্যাকরণ খুব দ্রুত হত্তয়া পারে।শিফট 1 ( এল ) শিফট এন ( এল ) = শিফট 1 ( শিফট 1 ( … ( এল ) … ) এন শিফট এন ( এল ) এন = 2 এস → α এ বি এ → β সি এস → α β সি $\text{shift}_1(L)$$\text{shift}_n(L) = \text{shift}_1(\text{shift}_1(\dots (L) \dots)$$n$$\text{shift}_n(L)$$n = 2$$S \to \alpha AB$$A \to \beta C$$S \to \alpha \beta CB$

— Karolis Juodelė

স্থির আপনি ঠিক বলেছেন। কিন্তু এখানে স্থির বা আবদ্ধ হয়। উদাহরণস্বরূপ যদি তবে আমরা । এন এন এল = { একটি এন বি এন | এন ≥ 0 } { একটি ট খ এন একটি ℓ | ট + + ℓ = ঢ } ∪ { খ k একটি এন বি ℓ | ট + + ℓ = ঢ $n$$n$$L = \{ a^nb^n \mid n\ge 0 \}$$\{ a^kb^na^{\ell} \mid k+\ell = n \} \cup \{ b^ka^nb^{\ell} \mid k+\ell = n \}$

— হেন্ডরিক জানুয়ারী

@ হেন্ডরিকজান, আমি দেখছি আমি ভুলভাবে ধরে নিয়েছি প্রশ্নটি সীমাবদ্ধ শিফট সম্পর্কে। আমি আমার উত্তরটি পুনর্বিবেচনা করব ...

— করোলিস জুডেল ė

Answer 3

পুরানো হপকক্রফ্ট এবং অলম্যান ক্লাসিক পরিচিতি অটোমাতা থিওরির (1979) পরীক্ষা করা ভাল ধারণা হতে পারে । চক্রের অধীনে বন্ধকরণটি অনুশীলন 6.4 সি এবং এটি এস ** চিহ্নিত রয়েছে। ডাবল তারার অর্থ এটি সবচেয়ে কঠিন সমস্যা (বইটিতে)। ভাগ্যক্রমে এস নির্দেশ করে যে এটি একটি সমাধান সহ নির্বাচিত সমস্যাগুলির মধ্যে একটি।

সমাধানটি নিম্নরূপ: চমস্কি স্বাভাবিক ফর্মের একটি সিএফজি নিন। যে কোনও ডাইরিভিশন গাছ বিবেচনা করুন এবং মূলত এটিকে sideর্ধ্বমুখী করুন। আসল একটি পথ বিবেচনা করুন । বাম দিকে গাছটির অবদান রয়েছে ডান , অর্থাত্ স্ট্রিংটি । (আসলে ব্যাকরণটি সিএনএফ হিসাবে যখন পথটি বাম অব্যাহত থাকে, অবদানটি ডানদিকে হবে এবং সংশ্লিষ্ট খালি থাকবে, ইত্যাদি)এস = এক্স 1 , এক্স 2 , … , এক্স এন এক্স 1 , এক্স 2 , … , এক্স এন ওয়াই 1 , ই 2 , … , ওয়াই এন এক্স 1 এক্স 2 … এক্স এন ওয়াই এন … ইয় 2 ইয় 1 এক্স $S=X_1, X_2, \dots , X_n$$x_1, x_2, \dots, x_n$$y_1, y_2, \dots, y_n$$x_1 x_2 \dots x_n y_n \dots y_2 y_1$$x_i$

উল্টোদিকে গাছটির পথ অবদান সহ বাম এবং ডানদিকে রয়েছে, ফলে ফলাফল একটি শিক্ষাদীক্ষা হয় । প্রয়োজনীয়.এস ' , এক্স এন , ... এক্স 2 , এক্স 1 Y এন , ... , Y 2 Y 1 এক্স এন , ... , x এর 2 এক্স 1 Y এন ... Y 2 Y 1 এক্স 1 এক্স 2 ... এক্স $S', \hat X_n, \dots \hat X_2, \hat X_1$$y_n, \dots, y_2 y_1$$x_n, \dots, x_2 x_1$$y_n \dots y_2 y_1 x_1 x_2 \dots x_n$

নির্মাণের সম্পূর্ণ বিবরণ বইয়ে দেওয়া আছে।

এটি কীভাবে যুবালের (গৃহীত) সমাধানের স্মরণ করিয়ে দেয় তা নোট করুন। পপডের পরিবর্তে চাপ দেওয়া ননটারমিনালগুলি স্ট্যাকের বিপরীত ক্রমে থাকে। বেশিরভাগ গাছের মধ্যে উলটে যাওয়ার মতোই to