"সাবসেট পণ্য" সমস্যাটি কি এনপি-সম্পূর্ণ?

সাবসেট-যোগ সমস্যাটি একটি ক্লাসিক এনপি-সম্পূর্ণ সমস্যা:

সংখ্যার একটি তালিকা দেওয়া এবং একটি টার্গেট সেখান থেকে সংখ্যার একটি উপসেট যে অঙ্কের করার ? $L$ $k$ $L$ $k$

একজন শিক্ষার্থী আমাকে জিজ্ঞাসা করেছিলেন যে "সাবসেট পণ্য" সমস্যা নামক সমস্যাটির এই রূপটি এনপি-সম্পূর্ণ কিনা:

সংখ্যার একটি তালিকা দেওয়া এবং একটি টার্গেট সেখান থেকে সংখ্যার একটি উপসেট যার পণ্য ? $L$ $k$ $L$ $k$

আমি কিছু অনুসন্ধান করেছি এবং কোনও সমস্যা খুঁজে পেলাম না যা এই সমস্যাটির বিষয়ে কথা বলেছে, যদিও সম্ভবত আমি তাদের মিস করেছি।

সাবসেট পণ্য সমস্যা NP- সম্পূর্ণ?

complexity-theory np-complete reductions

— templatetypedef
সূত্র

আকর্ষণীয় উত্তর, কিন্তু আমি ভাবছি: আমরা কেবল কে এবং সমস্ত নম্বর নিয়ে সাবসেটের সীমাটি হ্রাস করতে পারি না? (সম্ভবত আমার একটি পৃথক প্রশ্ন জিজ্ঞাসা করা উচিত?)

— j_random_hacker

@ জ_আরন্ডম_হ্যাকার, হ্যাঁ, এই সাইটে এবং অনলাইনে অনুসন্ধানের পরে যদি আপনি উত্তর খুঁজে না পান তবে আমি আপনাকে পৃথক প্রশ্ন পোস্ট করার পরামর্শ দিচ্ছি। এটি একটি দুর্দান্ত উত্তরের সাথে একটি দুর্দান্ত প্রশ্ন (ইঙ্গিত: লগগুলি নেওয়া আপনাকে এমন কোনও কিছু দেয় যা কোনও পূর্ণসংখ্যার নয়; অন্যদিকে, সংখ্যাগুলির আকারকে কী পরিমাণে তাত্পর্যপূর্ণ করে তোলে তা ভেবে দেখুন) তবে এটি কিছুটা স্পর্শকাতর এবং এটি নিজের প্রশ্নে আরও ভাল হবে।

— ডিডাব্লু

@ ডিডাব্লু: ধন্যবাদ, আমি যখন সময় পাই তখন আপনার পরামর্শ অনুসারে করব!

— j_random_hacker

উত্তর:

একটি মন্তব্যে ইয়াওকে দায়ী করা X3C থেকে সাবসেট প্রোডাক্টের হ্রাসের কথা বলা হয়েছে। হ্রাসের লক্ষ্যমাত্রা দেওয়া হলেও হ্রাসটি কী হতে পারে তা অনুমান করা শক্ত ছিল না।

সজ্ঞা:

3-সেট দ্বারা এক্সভার্ট কভার (এক্স 3 সি)

সাথে একটি সীমাবদ্ধ দেওয়া হয়েছে 3 একাধিক, এবং একটি সংগ্রহে 3-উপাদানের সাব-সেট নির্বাচন এর , নেই একটি সঠিক কভার ধারণ জন্য , যেখানে এবং প্রতিটি উপাদান মধ্যে ঘটে ঠিক একবার ? $X$ $|X|$ $C$ $X$ $C$ $C'$ $X$ $C' \subseteq C$ $X$ $C'$

সাবসেট পণ্য

সংখ্যার একটি তালিকা দেওয়া এবং একটি টার্গেট সেখান থেকে সংখ্যার একটি উপসেট যার পণ্য ? $L$ $k$ $L$ $k$

একটি এক্স 3 সি উদাহরণটি একটি সাবসেট পণ্য সংস্থায় হ্রাস করতে:

এবং প্রথম সদস্যদের মধ্যে একটি বাইজিক ম্যাপিং স্থাপন করুন প্রাথমিক সংখ্যা এবং উপগ্রহের সদস্যদের ম্যাপযুক্ত প্রাইমগুলি দিয়ে প্রতিস্থাপন করুন । $X$ $|X|$ $X$ $C$
প্রতিটি উপসেটের জন্য , এর সদস্যদের একসাথে গুণ করুন; পণ্যগুলির ফলাফলগুলির তালিকাটি সাবসেট উত্পাদনের উদাহরণ হিসাবে । যেহেতু প্রথম সংখ্যাটি ম্যাপিংয়ের জন্য পদক্ষেপ 1-এ ব্যবহৃত হয়, তাই সাবটেক্টগুলি অনন্য ফ্যাক্টেরাইজেশন উপপাদ্য দ্বারা সমতুল্য হলে পণ্যগুলি সমতুল্য হওয়ার গ্যারান্টিযুক্ত । $C$ $L$
এর সদস্যদের একসাথে গুণ করুন; ফলস্বরূপ পণ্য হ'ল সাবসেট উত্পাদনের উদাহরণ হিসাবে মান হয় $X$ $k$

এর প্রধান উপাদানগুলি এর সদস্য । এর সংখ্যার মূল কারণগুলি সাবেটের সদস্যদের সাথে হুবহু মিলে যায় । অতএব নতুন উপসেট পণ্য উদাহরণস্বরূপ কোনো সমাধান সমাধান সদস্যদের ম্যাপিং দ্বারা একটি X3C সমাধান রূপান্তরিত করা যেতে পারে মধ্যে সাব-সেট নির্বাচন ফিরে । $k$ $X$ $L$ $C$ $L$ $C$

3 রূপান্তর প্রতিটি ধাপ অপারেশন যে ইনপুট আকারের বহুপদী হয় জড়িত বা সদস্যের আকার । প্রথম মৌলিক সময় হে মধ্যে উত্পন্ন করা যেতে পারে ( ) এরাটোস্থেনিস এর চালনী ব্যবহার করে এবং মধ্যে মাপসই করা নিশ্চিত হয় দ্বারা স্থান মৌলিক সংখ্যা উপপাদ্য । $|X|$ $X$ $|X|$ $|X|$ $O(|X|^2 \ln |X|)$

— কাইল জোনস
সূত্র

+1, তবে কমানোর জন্য আমি মনে করি আমাদের প্রথম | এক্স | প্রিম সংখ্যাগুলি বেশ কয়েকটি বিটগুলিতে প্রতিনিধিত্ব করা যেতে পারে যা | এক্স | এর মধ্যে বহুভুজ - আমি কি এই সম্পর্কে সঠিক, এবং যদি তাই হয়, আমাদের কি সেই গ্যারান্টি আছে?

— j_random_hacker

দুর্দান্ত পয়েন্ট। আমি এটিকে সমাধান করার জন্য একটি অনুচ্ছেদ যুক্ত করেছি।

— কাইল জোনস

ধন্যবাদ, যে উপপাদ্য এটি সিমেন্ট! নীটপিকের জন্য নয়, তবে আপনি যে পৃষ্ঠায় লিঙ্ক করেছেন তার অনুসারে, kth মূল সংখ্যাটি প্রায় আনুমানিক কে লগ কে, এবং প্রদত্ত যে সিরাভ অফ ইরোটোথিনিস দৃশ্যত সমস্ত প্রাইমগুলিকে N এর মধ্যে N (এন লগ ল) এন হিসাবে প্রতিস্থাপন করে, n = k লগ কে প্রথম কে গণনা করার জন্য ও (কে) (আপনার ও (| এক্স |)) এর পরিবর্তে ও (কে * লগ (কে) * লগ (লগ (কে লগ কে))) দেওয়ার সময় উপস্থিত হয় প্রাইমস যে ভাবে।

— j_random_hacker

কাইল জোনস, এটি কি সমালোচনা নয় যে পদক্ষেপ 3 তাত্পর্যপূর্ণ আকারের একটি সংখ্যা

তৈরি করবে ? এই হ্রাস কি বহুপদী সময়?

k

$k$

— ব্যবহারকারী1742364

@ user1742364 না, কারণ কম্পিউটিং

এর ক্রিয়াকলাপের ক্ষতিকারক সংখ্যার প্রয়োজন হয় না বা বিজন সংখ্যক বিঘ । কম্পিউটিং

প্রয়োজন

গুণ এবং গুণকটি সবচেয়ে খারাপভাবে একটি

অপারেশন। যদিও

বৃহত্তম মৌলিক চেয়ে ব্যাখ্যা মূলকভাবে বড় হতে হবে

মধ্যে

, দোকান করা প্রয়োজন বিট সংখ্যা

হতে হবে

।

k

$k$

k

$k$

| X |

$|X|$

O (n^{2})

$O(n^2)$

k

$k$

P

$P$

X

$X$

k

$k$

O (\log P)

$O(\log P)$

— কাইল জোন্স

[ 1 ] মতে : হ্যাঁ এটি

আমি একই রেফারেন্সটিও উদ্ধৃত করেছি: মন্তব্যসমূহ: এই এবং সমস্যার মধ্যে একটি সূক্ষ্ম প্রযুক্তিগত পার্থক্য রয়েছে 42: পূর্ববর্তী ক্ষেত্রে একটি সিউডো-দক্ষ অ্যালগরিদম রয়েছে যাতে সংখ্যায় প্রতিনিধিত্ব করার অনুমতি দেওয়া হয়; যতক্ষণ না সমস্ত এনপি-সম্পূর্ণ সমস্যাগুলি দ্রুত অ্যালগরিদমগুলির দ্বারা সমাধান করা সম্ভব না হয় তবে, সাবসেট প্রোডাক্ট সমস্যাটি এমনকি এই অযৌক্তিক ইনপুট উপস্থাপনা ব্যবহার করে `দক্ষ 'পদ্ধতি দ্বারা সমাধান করা যাবে না।

হ্রাস জন্য [2] দেখুন। [২]: ফেলো, মাইকেল এবং নীল কোব্লিটজ। "স্থির-পরামিতি জটিলতা এবং ক্রিপ্টোগ্রাফি।" প্রয়োগকৃত বীজগণিত, বীজগণিত আলগোরিদিম এবং ত্রুটি-সংশোধনকারী কোড (1993): 121-131।

— AJed
সূত্র

একটি জার্নাল নিবন্ধে একটি প্রকৃত হ্রাস বা উদ্ধৃতি সম্ভব হলে খুব সুন্দর হবে।

— টেম্পলেটটিফাইফ

@templatetypedef গ্যারি এবং জনসনে, হ্রাস হ্রাস হ'ল 3 সেট দ্বারা কভার। ইয়াওর সাথে ব্যক্তিগত যোগাযোগের কারণে।

— এজেড

ক্রিপ্টোগ্রাফি কাগজের হ্রাস হ'ল ভিন্ন সমস্যার জন্য, যেখানে লক্ষ্য পণ্যটি একটি সংখ্যার পরিবর্তে একটি লক্ষ্য সংখ্যার মডিউল দিয়ে একটি মডুলাসের পরিবর্তে প্রতিস্থাপন করা হয় instance (যদিও আমি যদি প্রমাণটি সঠিকভাবে বুঝতে পারি তবে তারা কেবলমাত্র দুর্বল কঠোরতা পাবে কারণ

— মডিউলাসটি প্রস্থে ক্ষতিকারক