একটি বাইনারি ট্রি প্রতিপাদন সর্বাধিক হয়েছে

আমি প্রমাণ করার চেষ্টা করছি যে নোড সহ একটি বাইনারি গাছের সর্বাধিক $n$ $\left\lceil \frac{n}{2} \right\rceil$ পাতা। আনয়ন সহ আমি কীভাবে এটি করতে যাব?

লোকেরা যারা গাদা সম্পর্কে মূল প্রশ্ন অনুসরণ করছিল, তাদের এখানে স্থানান্তরিত করা হয়েছে ।

— varatis
সূত্র

প্রথমে লক্ষ করুন যে আমরা এখানে ল্যাটেক্স ব্যবহার করতে পারি। আমি এটি কীভাবে করেছি তা দেখতে "সম্পাদনা" এ ক্লিক করুন। দ্বিতীয়ত, আমি অন্তর্ভুক্তি দেখি না। আপনি সেখানে কয়েকটি নম্বর ছুঁড়ে দিচ্ছেন কিন্তু কোনও প্রমাণ কাঠামো নেই এবং গাদাগুলির সাথে মোটেই কোনও সম্পর্ক নেই। আপনি এটি উন্নতি করতে পারেন? এবং সর্বশেষে, দাবিটি ভুল: একটি বাছাই করা তালিকা গাদা সম্পত্তি পূরণ করে এবং কেবল একটি পাতা রয়েছে। আপনি কিছু অনুমান ছেড়ে?

— রাফেল

@ কাভেহের সম্পাদনা কি আপনার মনে মনে ছিল, যেমন "সর্বাধিক"?

— রাফেল

@ রাফেল, আবার প্রশ্নটি পড়ে, আমি মনে করি এটি হ'ল স্তরের সম্পর্কে হতে পারে যেখানে প্রতিটি অভ্যন্তরীণ নোডের ঠিক দুটি শিশু থাকে (এই ক্ষেত্রে আসল প্রশ্নটি বোঝায় এবং দাবিটি সঠিক, বা অনুরূপ কিছু)।

— কাভেহ

@ কাভেঃ হ্যাঁ, আমি আপনার বিভ্রান্তি দেখছি। স্তূপের নোডগুলিতে সর্বাধিক দুটি বাচ্চা রয়েছে (সুতরাং বাইনারি-ট্রি ট্যাগ)

— ভারাতিস

আমি দেখি. দাবীটি সুনির্দিষ্টভাবে প্রণয়ন করার সাথে, প্রকৃতপক্ষে আরও অনুমানের প্রয়োজন নেই। সম্পত্তিটি সমস্ত বাইনারি গাছের জন্য বাস্তবে ধারণ করে।

— রাফেল

উত্তর:

আমি এখন ধরে নিলাম যে প্রশ্নটি নিম্নলিখিত:

সঙ্গে একটি বাইনারি ট্রি দেওয়া নোড, প্রমাণ এটি সর্বাধিক রয়েছে $n$ পাতা। $\left\lceil \frac{n}{2} \right\rceil$

আসুন আমরা গাছের সংজ্ঞা । জন্য এই ধরনের একটি গাছ, দিন বিভিন্ন নোডের সংখ্যা এবং মধ্যে পাতার সংখ্যা । $\mathrm{Tree}= \mathrm{Empty}\mid \mathrm{Leaf} \mid \mathrm{Node}(\mathrm{Tree},\mathrm{Tree})$ $T$ $n_T$ $T$ $l_T$ $T$

আপনি আনয়ন দ্বারা এটি করা সঠিক, তবে আপনার কাঠামোগত আনয়ন প্রয়োজন যা গাছের কাঠামো অনুসরণ করে। গাছগুলির জন্য, এটি প্রায়শই গাছগুলির উচ্চতা এর উপরে সম্পূর্ণ অন্তর্ভুক্তি হিসাবে করা হয় । $h(T)$

আবেশন নোঙ্গরের দুটি অংশ রয়েছে। প্রথমত, জন্য আমরা আছে সঙ্গে ; দাবিটি খালি গাছের জন্য পরিষ্কারভাবে ধারণ করে। জন্য , অর্থাত্ , আমরা একভাবে আছে $h(t)=0$ $T=\mathrm{Empty}$ $l_T=n_T=0$ $h(t)=1$ $T = \mathrm{Leaf}$ , তাই দাবি পাতার জন্য ঝুলিতে। $l_T=1=\left\lceil \frac{n_T}{2} \right\rceil$

আনয়ন হাইপোথিসিস হয়: অনুমান দাবি সব (বাইনারি) জন্য ঝুলিতে গাছ সঙ্গে , নির্বিচারে কিন্তু স্থির করেছি। $T$ $h(T)\leq k$ $k\geq 1$

প্ররোচিত পদক্ষেপের জন্য, সহ একটি স্বেচ্ছাসেবী বাইনারি গাছ বিবেচনা করুন । যেমন , এবং । হিসাবে এবং রয়েছে বাইনারি গাছ (অন্যথায় হবে না) এবং $T$ $h(T)=k+1$ $k\geq 1$ $T=\mathrm{Node}(L,R)$ $n_T = n_L+ n_R+1$ $L$ $R$ $T$ $h(L),h(R)\leq k$ , the induction hypothesis applies and have

$\qquad \displaystyle l_L \leq \left\lceil \frac{n_L}{2} \right\rceil \text{ and } l_R \leq \left\lceil \frac{n_R}{2} \right\rceil.$

As all leaves of $T$ are either in $L$ or $R$ , we have that

$\qquad \begin{align*} l_T &= l_L + l_R \\ &\leq \left\lceil \frac{n_L}{2} \right\rceil + \left\lceil \frac{n_R}{2} \right\rceil \\ &\leq \left\lceil \frac{n_L + n_R + 1}{2} \right\rceil \qquad (*)\\ &= \left\lceil \frac{n_T}{2} \right\rceil \end{align*}$

The inequality marked with $(*)$ can be checked by (four way) case distinction over whether $n_L,n_R\in 2\mathbb{N}$ . By the power of induction, this concludes the proof.

As an exercise, you can use the same technique to prove the following statements:

Every perfect binary tree of height $h$ has $2^h-1$ nodes.
Every full binary tree has an odd number of nodes.

— Raphael
সূত্র

I am a little confused by the question. If you are interested in trees with degree at most $3$ , which is what Wikipedia says you want, then we run into the problem that a single edge has $n=2$ nodes and $n=2$ leaves, but $n/2 = 1$ . Anyway, here is something close that has an easy argument.

Let $T$ be such a tree with $n$ nodes and $L$ leaves. Since $T$ is a tree, there are $n-1$ edges, and double counting them, we see that

2 n - 2 \leq L + 3 (n - L)

$2n - 2 \le L + 3(n - L)$ which says that

2 L \leq n + 2

$2L\le n + 2$ and this is tight in the two-vertex example above. I guess that if you want to assume that there one root of degree two and

n \geq 3

$n\ge 3$ , then you can refine this argument to give

2 L \leq n + 1

$2L \le n + 1$ which is what you are looking for, and this is tight when the tree is full.

— Louis
সূত্র

I guess we silently assume rooted trees here; Wikipedia does so, too.

— Raphael

Wikipedia sort of equivocates, saying: "Outside the tree, there is often a reference to the "root" node (the ancestor of all nodes), if it exists." Anyway, this argument seems worth writing down, since it is different and quite easy.

— Louis

If you read on, all edges are directed, they talk of "children" and "parents". That does not make sense in unrooted trees. In consequence, a leaf would be a node with outdegree 0.

— Raphael