বিস্তৃত গাছ সমস্যার সম্পূর্ণ প্রমাণ এনপি

Question

আমি আমার ইন্সট্রাক্টর দ্বারা জিজ্ঞাসা করা প্রশ্নে কিছু ইঙ্গিত খুঁজছি।

সুতরাং আমি এই সিদ্ধান্তটির সমস্যাটি হ'ল :$\sf{NP\text{-}complete}$

গ্রাফ ইন , সেখানে একটি spanning গাছ জি যে একটি সঠিক সেট রয়েছে এস = { x এর 1 , x 2 , ... , x এন } পাতায় হিসাবে। আমি মূর্ত আউট আমরা প্রমাণ করিতে পারেন যে এটা এন পি - গ ণ মি পি ঠ ই টি ই এই সিদ্ধান্ত সমস্যা হ্যামিল্টনিয়ান পথ কমিয়ে।$G$$G$$S=\{x_1, x_2,\ldots, x_n\}$$\sf{NP\text{-}complete}$

তবে আমার প্রশিক্ষকও ক্লাসে আমাদের জিজ্ঞাসা করেছিলেন:

এটি হবে যদি পরিবর্তে "সঠিক সেট এস ", আমরা কি$\sf{NP\text{-}complete}$$S$

" এর সম্পূর্ণ সেট এবং সম্ভবত অন্যান্য পাতাগুলি অন্তর্ভুক্ত করুন" বা " এস এর উপসেট "$S$$S$

আমি মনে করি "এস এর উপসেট" হবে , তবে আমি কেবল এটি প্রমাণ করতে পারছি না, আমি জানি না আমি কী সমস্যা এটি এটিকে হ্রাস করতে পারি। হিসাবে " এস এর সেট অন্তর্ভুক্ত করুন ..." আমি মনে করি এটি বহুবর্ষীয় সময়ে সমাধান করা যেতে পারে।$\sf{NP\text{-}complete}$$S$

Comments

আপনি কী ব্যাখ্যা করতে পারেন যে কেন আপনি মনে করেন যে একটি সংস্করণ বহুবর্ষের মধ্যে সমাধান করা যায়?

— রাফেল

@ প্যাড: "আমার প্রশিক্ষক ক্লাসে জিজ্ঞাসা করেছেন" কোনও অ্যাসাইনমেন্ট নয় বরং ধাঁধা। এছাড়াও, হোমওয়ার্ক ট্যাগে এই মেটা আলোচনা দেখুন ।

— রাফেল

Answer 1

সংক্ষেপে, আপনার অনুমানগুলি সঠিক। এই উত্তরের উদ্দেশ্যে, আসুন নিম্নলিখিত তিনটি প্রশ্নের মধ্যে কল করুন:

• সমতার সংস্করণ: একটি গ্রাফ এবং একটি সেট এস ⊆ ভি দেওয়া , জি- এর একটি বিস্তৃত গাছ টি আছে কিনা তা টিতে সীমাবদ্ধ করুন যাতে টিতে পাতার সেট এস এর সমান হয় । যেমন আপনি বলেছেন, হ্যামিলটোনীয় পথ সমস্যা হ্রাস করে এটি এনপি-সম্পূর্ণ।$G = (V, E)$$S \subseteq V$$G$$T$$T$$S$
• সাবসেট সংস্করণ: উপরের মতো এবং এস দেওয়া , স্থির করুন যে জি এর বিস্তৃত গাছ টি আছে কি না যাতে টি তে পাতার সেট এস এর উপসেট হয় ।$G$$S$$G$$T$$T$$S$
• সুপারসেট সংস্করণ: উপরের মতো এবং এস দেওয়া , স্থির করুন যে জি এর বিস্তৃত গাছ টি আছে কি না টি তে পাতাগুলি সেট এস এর সুপারসেট ।$G$$S$$G$$T$$T$$S$

সাবসেট সংস্করণটি এনপি-সম্পূর্ণরূপে প্রমাণ করার জন্য, আপনি এখনও এটিতে হ্যামিটোনিয়ান পাথ সমস্যাটি হ্রাস করতে পারেন। সমতা সংস্করণের এনপি-সম্পূর্ণতার প্রমাণটি সংশোধন করার চেষ্টা করুন।

সুপারসেট সংস্করণটি বহুবচনীয় সময়ে সমাধান করা যায় তা প্রমাণ করার জন্য, এই জাতীয় গাছ থাকার জন্য একটি প্রয়োজনীয় এবং পর্যাপ্ত শর্ত অনুসন্ধান করার চেষ্টা করুন ।$T$

উভয় সংস্করণ (পাশাপাশি গাছ ছড়িয়ে দেওয়ার বিষয়ে কিছু অন্যান্য সমস্যা) অধ্যয়ন করা হয়েছে [এসকে05] এ। তবে আমি অনুমান করি যে আপনি যদি কাগজে থাকা প্রমাণগুলি দেখার আগে নিজেই সমস্যাগুলি সমাধান করার চেষ্টা করেন তবে এটি আরও ভাল, কারণ কাগজের দিকে তাকানো একটি বড় বিলোপকারী হতে পারে। দুর্ভাগ্যক্রমে আমি সুপারসেট সংস্করণটির জন্য বহু-কালীন অ্যালগরিদম সন্ধান করার আগে কাগজের দিকে নজর দিয়েছিলাম!

---

[এসকে05] মোহাম্মদ সোহেল রহমান এবং মোহাম্মদ কায়কোবাদ। গাছ বিস্তারে কিছু আকর্ষণীয় সমস্যার জটিলতা। ইনফরমেশন প্রসেসিং চিঠিপত্র , 94 (2): 93-97, এপ্রিল 2005. [ ডোই ] [ লেখক কপি ]

Comments

আপনি এখানে দেখতে ভাল! নোট করুন যে আমাদের এখানে ম্যাথজ্যাক্সও রয়েছে।

— রাফেল

গাইডেন্সের জন্য ধন্যবাদ !! আমি ইচ্ছা করি আমি ক্লাসে যাওয়ার আগে এইটি পড়ি যদিও, সে আজকে তা নষ্ট করে দিয়েছে হা হা। যদি কেউ সুপারসেট সংস্করণ বহুপদী আলগোরিদম আগ্রহী, অন্য একটি ইঙ্গিত ভি \ এল দিয়ে একটি নতুন গ্রাফ তৈরি করছে।

— প্রাথমিক করুন

Answer 2

এস সমস্যার সুপারস্টেটের সমাধানের জন্য এই ইঙ্গিতগুলি পর্যাপ্ত ছিল না - যদিও ইঙ্গিতগুলি সহায়ক এবং সঠিক correct এটি আমার চিন্তার ট্রেন যা আমাকে সমাধানের দিকে নিয়ে যায়।

আপনি যদি জি, (ভিএস) থেকে এস এর সমস্ত উল্লম্ব সরিয়ে ফেলেন এবং তারপরে ডিএফএসের সাথে একটি বিস্তৃত গাছ টি খুঁজে পান তবে কি হবে? জি-তে যদি এখনও কোনও সংযুক্ত বিযুক্ত প্রান্ত থাকে, তবে ভি 1 বলুন; এটি এস এর কমপক্ষে একটি শীর্ষে যে ভূমিকাটি সরিয়েছিল তার ভূমিকা সম্পর্কে কী বলে? এটি বর্তমানে প্রসারিত গাছে থাকা কিছু খণ্ড থেকে v1 এর পথে রয়েছে। সুতরাং, এটি কোনও পাতা হতে পারে না (যেহেতু পাতার কোনও সন্তান নেই) have যদি কোনও সংযোগযুক্ত নোড না থাকে, তার অর্থ এস এর প্রতিটি শীর্ষবিন্দু একটি পাতা হতে পারে তবে এর বিস্তৃত গাছের দিকে একটি প্রান্ত থাকে। এস এর অনুভূমিকাগুলি যা কেবল এস এর মধ্যে অন্যান্য শিখরের সাথে সংযুক্ত থাকে এর বিস্তৃত গাছের সাথে কোনও সংযোগ থাকবে না এবং শর্তটি লঙ্ঘন করবে। সুতরাং, দুটি পরীক্ষা করার জন্য আছে:

1. জি থেকে এস অপসারণ এবং একটি বিস্তৃত গাছ সন্ধানের পরে যদি এস এ নয় সমস্ত নোড সংযুক্ত থাকে
2. এস এর প্রতিটি নোড বিস্তৃত গাছের সাথে সরাসরি সংযুক্ত করা যেতে পারে।