নির্দেশিত গ্রাফ রোগ নির্ণয়ের বিষয়টি এনপি-হার্ড

আমার একটি হোমওয়ার্ক অ্যাসাইনমেন্ট রয়েছে যা আমি কিছু সময়ের জন্য আমার মাথার উপরে চাপ দিচ্ছিলাম এবং আমি কোনও ইঙ্গিতকে প্রশংসা করব। এটি একটি পরিচিত সমস্যা বাছাই সম্পর্কে, এনপি-সম্পূর্ণতা যা প্রমাণিত, এবং সেই সমস্যা থেকে নিম্নোক্ত সমস্যার হ্রাস তৈরির বিষয়ে আমি ডিজিডি (নির্দেশিত গ্রাফ ডায়াগনোসিস) কল করব।

সমস্যা

DGD একটি দৃষ্টান্ত ছেদচিহ্ন গঠিত পরিচালিত প্রান্ত এবং একটি ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা । শুধুমাত্র ইনকামিং ধার সম্বলিত ছেদচিহ্ন আছে: ছেদচিহ্ন তিন ধরনের হয় শুধু বিদায়ী ধার সম্বলিত ছেদচিহ্ন এবং উভয় ইনকামিং এবং আউটগোয়িং ধার সম্বলিত ছেদচিহ্ন । এর পরে আমি । $(V,E,k)$ $V = I \overset{.}{\cup} O \overset{.}{\cup} B$ $E$ $k$ $I$ $O$ $B$ $D=O\times I$

এখন, সমস্যা কিনা আমরা সর্বাধিক সঙ্গে সব নোড আবরণ করতে পারেন উপাদান , অর্থাত্ $k$ $D$

$\qquad \displaystyle \exists\,S\subseteq D, |S|\leq k.\ \forall\, v\in V.\ \exists\,(v_1,v_2) \in S.\ v_1 \to^* v \to^* v_2$

যেখানে মানে সেখান থেকে একটি নির্দেশ পথ যে থেকে । $a\to^* b$ $a$ $b$

আমি মনে করি যে ডমিনেটিং সেট সমস্যাটি হ'ল আমার থেকে হ্রাস করা উচিত, কারণ এটিও অন্য সাবসেটের সাথে নোডের একটি উপসেট আচ্ছাদন করার বিষয়ে উদ্বিগ্ন। আমি প্রথমে ডমিনেটিং সেটের প্রতিটি উপাদানের জন্য দুটি নোড তৈরি করে, সমস্ত প্রান্ত অনুলিপি করে এবং তারপরে ডিজিডি ইনস্ট্যান্সের ডি ডিএস উদাহরণের সমান করে সেট করে একটি ডিজিডি উদাহরণ তৈরি করার চেষ্টা করেছি । $k$

ধরুন , নোড , এবং এবং প্রান্তগুলি এবং সহ একটি সাধারণ ডিএস-উদাহরণ । এটি সহ একটি হ্যাঁ-উদাহরণ ; এই ক্ষেত্রে প্রভাবশালী সেটটি কেবল নোড নিয়ে গঠিত । স্রেফ বর্ণিত পদ্ধতিটি হ্রাস করা, এটি দুটি পাথ এবং সাথে ডিজিজির উদাহরণ হতে পারে ; সমস্ত নোড কভার করতে, কেবল একটি জোড়া যথেষ্ট হবে be এটি নিখুঁতভাবে কাজ করতে পারে, এটি যদি সত্য নয় যে ডিএস-ইনস্ট্যান্সের প্রভাবশালী সেটটি অবশ্যই বহুপদী সময়ে নির্ধারণ করা যায় না, যা এখানে একটি প্রয়োজনীয়তা। $1$ $2$ $3$ $(1,2)$ $(1,3)$ $k = 1$ $1$ $(1 \to 2 \to 1')$ $(1 \to 3 \to 1')$ $(1, 1')$

আমি খুঁজে পেয়েছি অনেক সুদর্শন উপায়ে প্রান্ত এবং ছেদচিহ্ন যখন হ্রাস রুপান্তর আছে, কিন্তু আমার সমস্যা একরকম DGD এর প্রকাশ করা হয় ডিএস এর পরিপ্রেক্ষিতে । ডমিনেটিং সেটটি হ্রাস করার জন্য একটি উপযুক্ত সমস্যা মনে হয়েছিল, তবে এর কারণেই আমি মনে করি যে সম্ভবত আমার কোনও সমস্যা নেই যা এমন কোনও থেকে কমিয়ে আনার চেষ্টা করা উচিত ? $k$ $k$ $k$

complexity-theory np-hard graph-theory

— user8879
সূত্র

স্বাগত! আমি সমস্যার বিবৃতিটি স্পষ্ট করার চেষ্টা করেছি; তুমি কি এভাবে বোঝাচ্ছ? বিটিডব্লিউ, আপনি "ব্যবহারকারীর নাম .৯৯৯" এর চেয়ে বেশি স্বীকৃত ব্যবহারকারী নাম বেছে নিতে চাইতে পারেন। :)

— রাফেল

হ্যাঁ, ধন্যবাদ, এটি প্রকৃতপক্ষে আরও কমপ্যাক্ট সংস্করণ।

— ব্যবহারকারী 8879

পরিবর্তে এনপি-সম্পূর্ণ এসইটি-কভার থেকে হ্রাস করুন।

সহ set সেট কভারের একটি উদাহরণ দিন Let ডিজিজির একটি উদাহরণ সংজ্ঞায়িত করুন : $S_1,\dots,S_m \subseteq\{1,\dots,n\}$ $k\in\mathbb{N}$ $(V,E,k')$

$V= \{s_1,\dots,s_m,o_1,\dots,o_m,e_1,\dots,e_n,o\}$
$E= \{(s_i,o_i) \mid i = 1,\dots,n \} \cup \{(s_i,e_j)\mid j \in S_i\} \cup\{(e_j,o)\mid j=1,\dots,n\}$
$k' = m + k$

এটি সহজেই দেখা যায় যে নির্ধারিত ডিজিডি ইনস্ট্যান্সের ইতিবাচক উত্তর আছে যদি কেবলমাত্র প্রদত্ত সেট কভার ইভেন্টটির ইতিবাচক উত্তর থাকে। বিশেষ করে, সব জোড়া অর্ডার সব আবরণ মধ্যে কোন ব্যাপার কি মনোনীত করা থাকতে হবে ; তারপর এর জোড়া সব ঢেকে আছে , এবং পছন্দের সেই প্রথম উপাদান সেট কভার ইনস্ট্যান্সের সমাধান। এ জাতীয় পছন্দ যদি সম্ভব না হয় তবে সেট-কভার উদাহরণটিরও কোনও সমাধান নেই। $m$ $(s_i,o_i)$ $o_i$ $k$ $m$ $(s_i,o)$ $e_j$

সময়ে নির্মাণের কাজ যেমন সম্ভব, এটি সেট- প্রমাণ করে । $\leq_p$

উদাহরণ হিসাবে, উইকিপিডিয়ায় প্রদত্ত উদাহরণ সেট কভার উদাহরণটি বিবেচনা করুন , যথা এবং sets সেট করে । এটি নিম্নলিখিত গ্রাফ অনুবাদ করে: $\{1,2,3,4,5\}$ $S=\{\{1,2,3\},\{2,4\},\{3,4\},\{4,5\}\}$

উদাহরণ
^{[ উত্স ]}

— রাফেল
সূত্র

এটি প্রায় সঠিক, এটিতে আমি এবং বি প্রকৃতপক্ষে পুরোপুরি আচ্ছাদিত, তবে ও নেই। সেট কভার উদাহরণস্বরূপ হ্যা-উদাহরণস্বরূপ হয় ট = 2, কিন্তু DGD ইনস্ট্যান্সের মধ্যে ট = 2 পাতার S2 এবং S3 উন্মোচিত। আমি মনে করি যে এটি সম্ভবত স্বয়ংক্রিয়ভাবে প্রতিটি নোডের থেকে একটি প্রান্ত যোগ করে সমাধান করা যেতে পারে হে করতে ণ ।

— ব্যবহারকারী 8879

@ ব্যবহারকারী ৮৮79৯: ঠিক আছে, ঠিক আছে। যেভাবে সমস্যাটি এখনই উত্থাপিত হয়েছে, কিনারা এটি ঠিক করবে না কারণ কভার করার জন্য আপনার কমপক্ষে একটি জোড় ।

(s_{i}, o)

$(s_i,o)$

s_{i}

$s_i$

S

$S$

— রাফেল

এখন বুঝেছি: একটি অতিরিক্ত নোড তৈরি বি প্রতিটি নোডের জন্য হে , তাহলে এটি তা লিঙ্কে নোড সংশ্লিষ্ট এর হে করুন এবং ণ । এই উদাহরণে আপনি চারটি অতিরিক্ত পাথ পান (এস 1 -> এস 1 '-> ও, ইত্যাদি)। অবশেষে, কে দিয়ে চারটি বাড়ানোর পরে এটি সম্পূর্ণ হওয়া উচিত।

— ব্যবহারকারী 8879

@ user8879: এখনই এটি স্থির করুন। আমাদের কিছু অতিরিক্ত নোডের দরকার যা সমস্ত কভার করা থাকে তবে আমরা আকারে বহুবর্ষীয় । (ওহ, আমি ফিক্সিং করার সময় আপনি মন্তব্য করেছিলেন, ভাল হয়েছে))

s_{i}

$s_i$

— রাফেল