এমন কোনও গণনাযোগ্য সেট রয়েছে যা গণনাযোগ্যভাবে গণনাযোগ্য নয়?

Question

গুচ্ছ ধর্তব্য যদি এটা স্বাভাবিক সংখ্যার সঙ্গে একটি bijection আছে, এবং হয় computably গণনীয় (CE) একটি অ্যালগরিদম যে তার সদস্যদের উল্লেখ অস্তিত্ব আছে পারেন।

যে কোনও অ-সসীম গণনাযোগ্য গণনাযোগ্য সেট অবশ্যই গণনাযোগ্য হতে হবে যেহেতু আমরা গণনা থেকে একটি স্রোত তৈরি করতে পারি।

গণনাযোগ্য সেটগুলির এমন কোনও উদাহরণ রয়েছে যা গণনাযোগ্যভাবে গণনাযোগ্য নয়? এটি হ'ল এই সেট এবং প্রাকৃতিক সংখ্যাগুলির মধ্যে একটি দ্বিপক্ষীয় উপস্থিত রয়েছে, তবে কোনও অ্যালগরিদম নেই যা এই দ্বিখণ্ডনটি গণনা করতে পারে।

Comments

Esablished পরিভাষা হল computably গণনীয় । অনেক লোক বলবেন যে "গণনাযোগ্য" এবং "গণনাযোগ্য" সমার্থক শব্দ। আমি সেই অনুসারে প্রশ্নটি সম্পাদনা করেছি।

— আন্দ্রেজ বাউয়ার

@ আন্দ্রেজবাউর, গণনাযোগ্য এবং পুনরাবৃত্তি সমার্থক শব্দ, তাই না?

— rus9384

@ rus9384 হ্যাঁ শব্দভাণ্ডার সম্পর্কে, স্পষ্টতাই রাজত্ব করা উচিত, যেমন রবার্ট ইরভিং সোয়ার টুরিং-পোস্ট রিলেটিভাইজড কম্পিউটেবিলিটি এবং ইন্টারেক্টিভ কম্পিউটিং (২০১১) এ লিখেছেন : ১৯৯৫ সালের মধ্যে এই বিভ্রান্তি অসহনীয় হয়ে পড়েছিল। আমি ষাঁড়ের জন্য গণ্যতা এবং পুনরাবৃত্তি নিয়ে একটি নিবন্ধ লিখেছিলাম। সাইম এর আমাদের কেন "গণনীয়" এবং "পুনরাবৃত্ত" নয় তার অর্থ "গণনার যোগ্য" হিসাবে ব্যবহার করার জন্য ইতিহাস এবং বৈজ্ঞানিক কারণে যুক্তি (1996) "রিকার্সিভ" এর অর্থ "প্ররোচক" হওয়া উচিত যেমনটি ডেডেকাইন্ড এবং হিলবার্টের জন্য ছিল। প্রথমে খুব কম লোকই এমন পরিবর্তন আনতে ইচ্ছুক ছিল ...

— ডেভিড টনহোফার

Answer 1

গণনাযোগ্য সেটগুলির এমন কোনও উদাহরণ রয়েছে যা গণনাযোগ্য নয়?

হ্যাঁ. প্রাকৃতিক সংখ্যার সমস্ত উপগ্রহ গণনাযোগ্য তবে এগুলির সবগুলিই অগণনীয় নয়। : (প্রুফ সেখানে uncountably বিভিন্ন সাব-সেট নির্বাচন হয়  কিন্তু শুধুমাত্র countably অনেক টুরিং মেশিন যে তথ্যসংগ্রহকারী হিসাবে কাজ পারে।) কোন উপসেট তাই  এন যেমন টুরিং কোডিং সব সংখ্যার সেট যেমন - যে আপনি ইতিমধ্যে জানেন যাও recursively গণনীয় নয় একটি উদাহরণ মেশিনগুলি যা প্রতিটি ইনপুট জন্য থামে।$\mathbb{N}$$\mathbb{N}$

Comments

@JorgePerez কোন এবং কোন ।

— ডেভিড রিচার্বি

এটি অস্তিত্ব প্রমাণ করে, তবে একটি উদাহরণ দেয় না ..

— ব্লুরাজা - ড্যানি পিফ্লুঘুফ্ট

@ ব্লুরাজা-ড্যানিফ্লুঘুফুট, একটি উদাহরণ দেওয়া একটিকে গণনার সমান। "আপনি এমন একটি উদাহরণ দিতে পারেন যা আপনি উদাহরণ দিতে পারবেন না? না? অতএব এমন কিছুই নেই যা আপনি উদাহরণ দিতে পারবেন না।" সংক্ষেপে এটি গাণিতিক গঠনবাদ।

— ওয়াইল্ডকার্ড

ব্যস্ত বীবর ফাংশনের ইমেজ দিবেন যেমন একটি সেট হবে? যেহেতু Σ কঠোরভাবে বাড়ছে এটা জাভাস্ক্রিপ্টে গার্বেজ সঙ্গে একটি bijection ফর্ম এন , কিন্তু কোন টুরিং মেশিন যে গনা পারে Σ । $\Sigma$$\Sigma$$\mathbb{N}$$\Sigma$

— orlp

@ উইলকার্ড নং, উদাহরণ দেওয়া ঠিক যেমন একটি সংজ্ঞা দেওয়া , তাই না? এমন সেট রয়েছে যা সংজ্ঞায়িত করা যেতে পারে তবে একটি অ্যালগরিদম দ্বারা গণনা করা যায় না, যেমন সমস্ত ট্যুরিং মেশিনের সেট থামে না।

— ট্যানার সোয়েট

Answer 2

হ্যাঁ, প্রতিটি অনস্বীকার্য (অর্ধ-নির্ধারণযোগ্য নয়) ভাষার এই সম্পত্তি রয়েছে।

উদাহরণস্বরূপ, সেট বিবেচনা ।$L = \{(x,M) \mid M \text{ does not halt on input } x \}$

মনে করুন আমাদের কাছে একটি অ্যালগরিদম রয়েছে যা এই সেটটির সদস্যদের গণনা করতে পারে। যদি এই ধরণের অ্যালগোরিদম বিদ্যমান থাকে, তবে আমরা নিম্নলিখিত এলগরিদম দিয়ে , ইনপুট দিয়ে থামানো সমস্যা সমাধান করতে এটি ব্যবহার করতে পারি :$x,M$

• মেশিন চলমান মধ্যে বিকল্প জন্য এন উপর পদক্ষেপ এক্স , এবং enumerating এন এর ম সদস্য এল ।$M$$n$$x$$n$$L$

হয় থামে, বা x এ থামবে না। যদি এটি বন্ধ হয়ে যায়, অবশেষে আমরা একটি এন খুঁজে পাবযেখানে আমরা একটি থামানো অবস্থায় পৌঁছাব। যদি এটি থামে না, তবে অবশেষে আমরাআমাদের গণনায় ( এম , এক্স ) পৌঁছে যাব।$M$$x$$n$$(M,x)$

সুতরাং আমাদের একটি হ্রাস আছে, এবং আমরা উপসংহারে পৌঁছে যেতে পারি যে এরকম কোনও গণনা বিদ্যমান নেই।

নোট করুন যে এই জাতীয় গণনাগুলি অর্ধ-নির্ধারণযোগ্য সমস্যার জন্য বিদ্যমান থাকতে পারে। উদাহরণস্বরূপ, আপনি পদক্ষেপের পরে সমস্ত টিউরিং মেশিনের মৃত্যুদন্ড কার্যকর করার সম্ভাব্য সমস্ত চিহ্নগুলি গণনা করে সমস্ত হোল্টিং মেশিন-ইনপুট জোড়গুলির সেটটি গণনা করতে পারেন এবং যেগুলি থামানো অবস্থায় শেষ হয় না তাকে ফিল্টার আউট করতে পারেন। $n$

Comments

অগণিত জটিলতা আছে এমন ভাষা কি নেই?

— rus9384

@ rus9384 আপনার অর্থ কী তা আমি নিশ্চিত নই। "আনসাউন্টযোগ্য" আকারের একটি পরিমাপ; "জটিলতা" এটি সিদ্ধান্ত নেওয়া কতটা কঠিন তার একটি পরিমাপ। তবে সীমাবদ্ধ স্ট্রিংগুলির কোনও অগণনীয় ভাষা নেই: আপনি যদি কোনও ভাষাকে অগণিত হতে চান তবে আপনাকে অবশ্যই অসীম স্ট্রিংগুলি (বা একটি অগণিত "বর্ণমালা", বা উভয়) মঞ্জুরি দিতে হবে।

— ডেভিড রিচারবি

@ ডেভিডরিচার্বি, ভাল, জুমাইট দাবি করেছে যে প্রতিটি অনস্বীকার্য সমস্যা সীমাবদ্ধ স্ট্রিং দিয়ে কাজ করে? আমি মনে করি এটি কেবল প্রতিটি টিউরিং-স্বীকৃত অনস্বীকার্য সমস্যার জন্য।

— rus9384

@ rus9384 একটি সীমাবদ্ধ বর্ণমালার উপরের যে কোনও ভাষা গণনাযোগ্য এবং গণনাযোগ্যতা সাধারণত অসীম বর্ণমালা উপেক্ষা করে। আরও দেখুন এই প্রশ্নের ।

— jmite

@ rus9384 হ্যাঁ, একটি ভাষা সীমাবদ্ধ বর্ণমালার উপর সীমাবদ্ধ স্ট্রিংগুলির একটি সেট। এ জাতীয় যে কোনও বিষয় গণনাযোগ্য। আপনি যদি একটি অগণিত ভাষা পেতে চান, আপনাকে সেই সংজ্ঞা থেকে "সসীম" এর দুটি বা একটি উদাহরণ সরিয়ে ফেলতে হবে। তবে যদি কেউ কেবল "ভাষা" বলেন, তার অর্থ কিছু সীমাবদ্ধ বর্ণমালার উপর সীমাবদ্ধ স্ট্রিংগুলির সেট।

— ডেভিড রিচারবি

Answer 3

Computability তত্ত্ব আমরা সাব-সেট নির্বাচন নিয়ে কারবার , যেখানে Σ = { 0 , 1 } । এই ভাষাটি প্রচুর পরিমাণে অসীম এবং তাই কোনও উপসেট এল ⊆ Σ ∗ গণনাযোগ্য। তদুপরি, অনেক অনস্বীকার্য তবে পুনরাবৃত্তিমূলকভাবে গণনাযোগ্য ভাষা রয়েছে যার পরিপূরকগুলি পুনরাবৃত্তভাবে গণনাযোগ্য নয়। এই ভাষার উপসেট হয় Σ * তাই ধর্তব্য হয়।$\Sigma^*$$\Sigma = \{0,1\}$$L \subseteq \Sigma^*$$\Sigma^*$

Comments

আমরা বাইনারি স্ট্রিংগুলি অগত্যা ডিল করি না। এমন অনেকগুলি কেস রয়েছে যেখানে আমরা অন্যান্য বর্ণমালাগুলির তুলনায় স্ট্রিংগুলিতে আগ্রহী হতে পারি এবং যারা গণনাটিকে "পুনরাবৃত্তি তত্ত্ব" বলে ডাকে তারা প্রাকৃতিক সংখ্যার সেটগুলির সাথে সরাসরি ডিল করে। (এটি হ'ল, সংখ্যাগুলি নিজেরাই আদিম হিসাবে দেখা হয়, এবং বাইনারি স্ট্রিংগুলির মতো এনকোড হয় না))

— ডেভিড রিচার্বি

@ ডেভিডরিচার্বি কয়েক সপ্তাহ আগে যুবালদের উত্তরের মন্তব্যে আপনি আমাকে বিপরীত দাবি করেছিলেন। এবং এটি প্রথম অনুরূপ ঘটনা নয়।

— fade2black

ইউভাল প্রচুর উত্তর পোস্ট করে এবং আমি প্রচুর মন্তব্য পোস্ট করি, তাই আপনাকে আরও নির্দিষ্ট হতে হবে। আমি অবশ্যই উপরে আমার মন্তব্যে দাঁড়িয়ে আছি, সুতরাং যদি আমি কোনও পর্যায়ে বিপরীতটি বলে থাকি তবে হয় আমি ভুল বা বিভ্রান্ত হয়ে পড়েছিলাম বা আপনি আমাকে ভুল বুঝেছিলেন বা আমি কিছু নির্দিষ্ট দৃশ্য বা এরকম কিছু সম্পর্কে কথা বলছিলাম। আমি যদি আপনাকে বিভ্রান্ত করি তবে আমি দুঃখিত, বিশেষত যদি আমি অস্পষ্ট বা ভুল কিছু বলে এটি করেছি!

— ডেভিড রিচার্বি

@ ডেভিডরিচার্বি, প্রকৃতপক্ষে প্রতিটি সীমাবদ্ধ বর্ণমালা বাইনারি হয়ে যেতে পারে, সুতরাং, আমি বুঝতে পারি না যে বিষয়টি কীভাবে গুরুত্বপূর্ণ does অথবা এই ক্ষেত্রে আমাদের অগণিত বর্ণমালা আছে (যেখানে প্রতিটি সংখ্যার স্বতন্ত্র চিহ্ন রয়েছে)?

— rus9384

$\{0,1\}$